Tercer problema de la L Olimpiada Matemática Española celebrada en Requena los días 28 y 29 de marzo de 2014:
Sean B y C dos puntos fijos de una circunferencia de centro O, que no sean diametralmente opuestos. SEa A un punto variable sobre la circunferencia, distintos de B y C y que no pertenece a la mediatriz de BC. Sean H el ortocentro del triángulo ABC y M y N los puntos medios de los segmentos BC y AH respectivamente. La recta AM corta de nuevo a la circunferencia en D, y finalmente NM y OD se cortan nuevamente en un punto P.
Determinar el lugar geométrico del punto P cuando A recorre la circunferencia.
A por él.
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Creo que hubo algún desmayo entre los jóvenes que leyeron el enunciado.
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Diría que es una elipse con focos en M y O. Al menos es lo que me sale al construirlo con geogebra. Ahí va la captura https://docs.google.com/file/d/0Bw3cJL5D2JhGak5vU3JuUzZKUms/edit. El que lo haya resuelto con lápiz y papel a mano alzada es un crack.
Las rectas NP y AO son paralelas, por igualdades de ángulos se puede demostrar, igualmente lo son AH y MO, altura y mediatriz, entonces también son iguales los ángulos OAM y AMN, estos ángulos son los mismos que los del triángulo DPM, isosceles.
El punto P equidista de una circunferencia y de un punto interior, entonces P pertenece a la elipse de focos el punto y el centro y eje mayor el radio
Un poco tarde, pero ahí va mi solución. Es básicamente la misma que la de Sebas, pero utilizo la homotecia con centro en el baricentro y razón -1/2, que transforma al triángulo en su triángulo medial, para ver que MOAN es un paralelogramo. A partir de aquí es totalmente directo. La circunferencia es la circunferencia focal de la elipse, correspondiente al foco O. Dejo dos enlaces al applet con la solución, en el respositorio de Geogebra y en mi sitio:
https://ggbm.at/kzm32ytm
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/OME2014_3.html