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Introducción
La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.
Todos ellos son importantes y también todos ellos pueden ser útiles en cierto momento. En el transcurso de nuestro viaje por este camino temporal llamado vida nos encontramos (y nos seguiremos encontrando) con muchos de ellos. Bien es cierto que habitualmente toparemos con miembros más bien pequeños, de bajo valor númerico (aunque esto no significa que tengan poco valor). Pero de vez en cuando asistiremos a la aparición de algún miembro cuyo peso como número tiene cierta entidad.
Pero al fin y al cabo nuestra existencia es finita, terminará. Este hecho unido al carácter infinito de los números naturales hace que resulte imposible encontrarse con todos, que sea inviable conocer a todos los miembros de esta familia.
Uniendo estos dos hechos (generalmente nos encontraremos con números relativamente pequeños y nos es imposible conocerlos a todos en persona) es evidente que muchos números grandes quedarán fuera de nuestro alcance en el sentido de que no tendremos el placer de tenerlos delante.
Posiblemente los tres números que os voy a presentar hoy pertenezcan a estos últimos. Bueno, puede que el primero de ellos, por estar relacionado con un juego de mesa muy popular, sí sea conocido por vosotros, pero estoy convencido de que muchos de los que leáis este artículo añadiréis al menos dos números más a vuestra lista mental de miembros conocidos de la familia de los números naturales.
El benjamin

Claude Shannon
Es decir, un 1 seguido de 120 ceros. El hecho de que el número de Shannon sea mayor que la estimación que se baraja para el número total de átomos del Universo, entre y
, deja entrever la magnitud de este número. Es decir, aunque le hayamos llamado benjamin en realidad no tiene nada de pequeño.
Esta estimación del número de partidas de ajedrez fue realizada por Claude Shannon, padre de la teoría de la información. Shannon se basó para ellos en que de media en una partida de ajedrez se realizan 40 movimientos y que en cada jugada que hay que realizar el jugador en cuestión elige entre unos 30 movimientos posibles. Con estos datos Shannon estimó que el número de partidas de ajedrez estaba alrededor de , que es aproximadamente
.
Actualmente se estima que (un número mucho mayor que el anterior) como cota inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez.
El hermano mayor

Stanley Skewes
Bueno, en realidad son los números de Skewes. Vamos a ver quiénes son estos chicos.
El teorema de los números primos establece lo siguiente:
siendo la función que nos da la cantidad de números primos menores o iguales que
y
la siguiente integral:
Hasta principios del siglo XX todas las evidencias disponibles indicaban que era siempre menor que
. Pero en 1914 John Littlewood demostró que existía al menos un número real para el cual
es mayor que
. De hecho fue más allá, demostrando que la diferencia
cambia de signo infinitamente a menudo. Esto es, que hay infinitos números reales para los cuales
es mayor que
.
Pero no dio ningún valor de ese . Ni siquiera una cota.
Y aquí es donde aparece Stanley Skewes. En 1933 Skewes, alumno del propio Littlewood, encontró tal cota. Más concretamente, asumiendo cierta la hipótesis de Riemann, demostró que el número natural más pequeño que cumple que
es mayor que
es menor que el siguiente valor:
Es decir, demostró que este tremendo número es una cota superior del menor número natural con dicha característica.
Más tarde, en 1955, demostró sin utilizar la veracidad de la hipótesis de Riemann que el siguiente número hace la función de cota superior para tal :
(Inciso: ¿Alguien me puede decir cuántas cifras tiene este número?)
Más adelante esa cota se ha mejorado bastante, estando actualmente sobre:
El padre de familia

Ronald Graham
Este número está relacionado con un problema que pertenece a la denominada teoría de Ramsey. Sin entrar en detalles sobre el propio problema, la cuestión es parecida a la descrita en el número de Skewes. Se demostró que existía solución a ese problema y se dio una cota superior para esta solución. Más tarde el matemático Ronald Graham mejoró dicha cota, por lo que Martin Gardner bautizó a este número como «el número de Graham», que denotaremos por .
¿Cuál es este número exactamente?
Pues no es fácil representarlo con la notación habitual. Necesitamos una notación adecuada a la magnitud de este monstruo numérico. En concreto, la notación de Knuth nos va a ser muy útil para dar una idea de la entidad de .
El otro día, en este post sobre la notación de Knuth, calculamos :
O sea, 7625597484986 treses colocados en forma de torres de exponentes. Bestial.
Y digo calculamos porque no llegamos a decir cuál es el resultado de esta expresión ya que se salía del rango del Mathematica. Vamos, tremendamente grande.
Bien, para calcular procedemos de la siguiente forma:
- Tomamos
de la siguiente forma:
. Es decir, un número muchísimo más grande que el comentado antes (no os voy a marear con el desarrollo de
; podéis verlo en el enlace correspondiente de las Fuentes).
- Ahora tomamos
así:
. Esto es, entre los dos treses tenemos
flechas, o sea, un número de flechas igual al resultado obtenido en el apartado anterior. Teniendo en cuenta que
ya es absolutamente inconcebible para la mente humana, podéis imaginar cómo puede ser este
.
- Continuamos así hasta el paso 64. Sí, hasta el 64. Esto significa lo siguiente:
.
.
.
Sí, hay flechas entre los dos treses. Si con tres flechas obteníamos 7625597484986 treses…la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de
escapa totalmente a cualquier concepción humana. Vamos, como dice el título del post, un auténtico monstruo.
Aunque bueno, se sabe que acaba en . Algo es algo.
Y para terminar una pregunta:
¿Conocéis más números «con nombre» que puedan ser catalogados como «monstruos numéricos»?
Fuentes:
- Shannon number en la Wikipedia inglesa.
- Skewes’ number en la Wikipedia inglesa.
- Número de Graham en la Wikipedia en español.
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Creo que los límites de la integral li(x) no están bien… 😉
El Googolduplex creo que es mas grande q el de graham, es 10^[10^(10^100)], es un 1 seguido de entre 16 y 17llones de ceros (trillon, cuatrillon…17llones), nose cuantos digitos tendra graham?
Metafóricamente hablando, si Googolplex tuviera el tamaño de un átomo, g1 tendría el tamaño del sistema solar entero. G, o lo que es lo mismo g64 vendría a ser como todo el universo entero.
Ten en cuenta que el Googolplex se puede expresar no nomenclatura «normal» y g1 no, así que imagínate la magnitud que tiene.
http://magicterra.blogspot.com/2017/05/matemagicreto-el-numero-de-graham.html
¡Y muy interesante el artículo!
Hay uno (al menos) que es incluso mayor que el de Graham (G). Se llama «número de Rober» (R) y se define así:
R = G + 1
🙂
Tu numero?
«Aunque bueno, se sabe que acaba en 7. Algo es algo.» jajajajaj me parto! genial, ^DiAmOnD^! 🙂
Corolario:
El número de Rober acaba en 8 😉
Dem.: No me cabe en el margen, así q la dejo para oro día 🙁
[…] Monstruos numéricos gaussianos.com/monstruos-numericos/ por eliatron el 11:51 UTC […]
Acabo de flipar de una manera increíble!! Excelente artículo! 😀
Y a mí que el número de Shannon ya me parecía grande…
…. …la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de G escapa totalmente a cualquier concepción humana ….. Es mucho mas que eso. Si 3↑↑↑3 que es una torre de mas de 7.6 billones de treses uno sobre el otro (3 ala 3 la 3 ala 3 … ala 3 ala 3 mas de 7,6 billones de veces) y ya en el cuarto y quinto tres va asi : 3↑↑4 = 3↑7625597484987 = qué es un poco más de 10 elevado a la 3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo,… Lee más »
https://gaussianos.com/monstruos-numericos/ …la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de G escapa totalmente a cualquier concepción humana ….. Es mucho mas que eso. Si 3↑↑↑3 que es una torre de mas de 7.6 billones de treses uno sobre el otro (3 ala 3 la 3 ala 3 … ala 3 ala 3 mas de 7,6 billones de veces) y ya en el cuarto y quinto tres va asi : 3↑↑4 = 3↑7625597484987 = qué es un poco más de 10 elevado a la 3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo,… Lee más »
Y lo mejor de todo es que todos esos números, y cualquier otro por grande que sea (siempre que sea finito) distan exactamente lo mismo del infinito.
¿Seguro «Andor»? Si tenemos dos números ‘a’ y ‘b’, podemos llamar sus distancias a otro número N (siempre mayor que los anteriores) como en tal caso, para comparar A y B podemos seguir diferentes criterios (y todos ellos válidos), entre éstos, podemos hacer en el primer caso, si la distancia de N a los números ‘a’ y ‘b’ es la misma entonces deberá ser 1, mientras que en el segundo caso deberá ser 0. Si vamos revisando números finitos, obviamente se cumple, que: 1. si la distancia es la misma, la primera expresión vale 1 y la segunda 0, SIEMPRE.… Lee más »
Pues que infinito no es un numero y los limites no se refieren al valor de un una función en un punto si no a su tendencia en ese punto.
Por lo tanto las dos expresiones que plasmas prueban la afirmación de Andor
Tiene 96301 (:
10 * 10 * 936 + 1
Me temo «Patricio» que son muy pocas cifras, dicho número tiene
dígitos decimales.
(10^1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000)+1.
Estás bastante equivocado Patricio, por ponerte un ejemplo:
Osukaru, yo multipliqué los exponentes y le sumé uno. ¿Por qué decís que yo diría que es 10*4?
Tenés razón josejuan!
jeje, un error de tipografía Patricio, jeje, quería decir 51 (10*5+1)…
{Perdón por el doble comentario}
Mi error fue que a simple viste me fijé mal los paréntesis, creí que cada exponente afectaba al todo general, y no solo al exponente anterior.
Está bien Osukaru 🙂 Si fuera, siguiendo tu ejemplo,
como creí en primer lugar, ahí sí tendría 51 cifras.
Y que me dicen del número del castor atareado? Claro, que dicho número es incalculable, y bien podría ser mayor que todos ellos el número del castor atareado del número del castor atareado del número….., del número de Rober! Casi nada! (Funciones no computables)
[…] Monstruos numéricosgaussianos.com/monstruos-numericos/ enviado por Facso […]
«Marcos», en primer lugar me ha encantado tu mención al «número del castor atareado», no lo conocía. Por otra parte, he alparceado un poco sobre él y resulta que, el «número del castor atareado», no es un número, es una sucesión de números. Dicha sucesión de números de castor ( B(1)=1, B(2)=6, B(3)=21, B(4)=107, … ) tiene la propiedad, de que no es computable y una se sus consecuencias es que: «la sucesión de números de castor crece más rápido que cualquier otra sucesión computable» Por tanto, cualquiera de los números indicados (y sucesiones como Ackermann) son menores (o crecen… Lee más »
Busy Beaver problem.
Bueno… creo que también está la función de Ackermann que genera unos monstruos bastante majos
Gratificaré con 10M de euros a aqué que me diga que puesto de los decimales de Pi ocupa el número de Graham.
Eso que dice »Arturo» puede ser interesante, ¿y si se descubre que el número de Graham aparece en los decimales del número
? Sólo hay dos posibles respuestas: sí o no. Sería un buen problema a plantear, aunque yo lo plantearía también para e, fi, raíz cuadrada de 2, 3 y 5… Quizá, ¿quién sabe?, aparezca en todos y eso sería muy pero que muy interesante.
Uhm… pues creo que el problema de «Arturo» es el más «fácil» de los propuestos por «Ghibertti», tan «sólo» se trata de encontrar (de ver sí hay) esa cantidad de «treses seguidos» (permítaseme la metáfora). Más formalmente, representado Pi en base 3, ¿existe en sus decimales una secuencia de ceros de longitud el exponente de Graham?. Podría ser un caso particular del caso general de demostrar que para cualquier N existe una secuencia de ceros de dicha longitud en las cifras de Pi (siempre en base 3). Quizás, buscando en los desarrollos en serie… NOTA: lo he dicho así, a… Lee más »
Respecto a estos últimos comentarios, parece razonable conjeturar que los números reales mencionados son normales.
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_normal
Buscando por ahí parece que no está probado (se pueda asegurar) que Pi contiene una secuencia arbitraria de un dígito prefijado.
http://www.askamathematician.com/?p=177
http://mark.aufflick.com/blog/2005/06/28/does-pi-necessarily-contain-any-sequence-of-numbers
¡Mecachis!, de existir tal demostración, Arturo me tendría que dar 10M de euros.
Otra vez será 😀
Excelente artigo!
[…] Monstruos numéricos | Gaussianos gaussianos.com/monstruos-numericos – view page – cached * 1 en Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes * 11 en La notación de Knuth, o cómo escribir ciertos números sin morir en el intento * 26 en Límite nulo * 1 en La verdadera muerte […]
El mayor número de todos es chuck(x), punto.
Ya que comentas la complejidad del ajedrez (http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0035-01/temas/partidas.html) parece bastante, no? Pues se puede superar, conoce alguien un juego llamado Go (o Weiqi… dependiendo de donde estés, http://es.wikipedia.org/wiki/Go); pues deja al ajedrez como un juego para niños en cuanto a posibilidades de juego http://en.wikipedia.org/wiki/Go_(board_game)#Computers_and_Go (no marca bien el enlace, tendréis que copiarlo «a mano»).
Saludos.
A mi se me quedó grabado a fuego el nombre de GÚGOL, un 1 seguido de 100 ceros, cuando mi profe de mates en primero o segundo de BUP nos lo puso como ejemplo de la importancia de la imaginación en las matemáticas.
http://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%BAgol
Saludos al blog!
Hola, donde dice:
«El hecho de que el número de Shannon sea mayor que la estimación que se baraja para el número total de átomos del Universo.»
Deberia decir:
«El hecho de que el número de Shannon sea mayor que la estimación que se baraja para el número total de átomos del Universo conocido.»
Por cierto el googolplex –> http://es.wikipedia.org/wiki/Googolplex
Pero incluso es bastante mas grande el googolduplex
–> http://es.wikipedia.org/wiki/Googol
Donde pongo «googol» (y sus derivados) en español, tambien se llama «gúgol» (y derivados)
Yo creo q un poco mas grande que el numero de Rober, es el numero de Petrus = «1 yotta numero de Graham», pero seguro que les hay mas grandes todavia.
Salu2.
Si!, P. ej., un «yottas carotas».
Problema: ¿Cuál es la probabilidad de elegir 3 puntos al azar en una circumferencia y que caigan todos en una misma semicircumferencia?
Dani
Parece ser 1/2.
Sejam
e
os pontos. O perímetro da circunferência é
, em que
é o raio da circunferência. Rectifiquemos a circunferência e atribuamos a um dos pontos a origem das coordenadas. Sem perda de generalidade seja
esse ponto. Ao ponto que lhe fica mais próximo chamemos-lhe
e ao mais distante
. Podemos considerar que
e
são nulos ou positivos. Então
max
. (1)
Para que
e
estejam sobre a mesma semi-circunferência, de ter-se:
A probabilidade pedida obtém-se dividindo (2) por (1):
No me convence tu punto (1), puesto que con tu identificación debería ser 2πr=0 ;).
Por supuesto es 1/2^3, tenemos un espacio de probabilidad uniforme y éste se ha dividido en dos iguales, por lo que los sucesos independientes caiga en A o caiga en B (A+B=conjunto total) tienen la misma probabilidad 1/2.
Ahora se realizar el experimento de elegir de forma independiente tres puntos del espacio total, en tal caso es trivial que P(A A A)=1/2 1/2 1/2=1/2^3
Perdón, error de garrafón
«…los sucesos independientes caiga en A o caiga en B …»
Obviamente esos no son independientes (es que ya estaba pensando en el experimento; las prisas…)
Dani,
Na minha resolução parti do princípio que a semi-circunferência NÃO era pré-definida: apenas os três pontos pertenceriam a uma qualquer semicircunferência.
Por isso, sim, o princípio e o fim da coordenada era o mesmo, 2πr seria coincidente com o 0.
Se for pré-definida é diferente e o resultado será o de josejuan: 1/8.
Uhm… ahora que pienso, ¿las semicircunferencias están predefinidas? (p.e. superior inferior), creo que te refieres a que una vez han sido elegidos, los 3 puedan ser «encerrados» en una semicircunfenrencia cualquiera. En tal caso, podemos lanzar el primer dardo sin preocuparnos de nada, tomaremos éste como que está en la coordenada (1,0) sin pérdida de generalidad y luego basta sumar las probabilidades de que los otros dos dárdos caigan en cuadrantes diferentes (1º y 3º o bien 2º y 4º). La probabilidad de que caiga en un cuadrante concreto es 1/4 por lo que es: 1/4 1/4 + 1/4 1/4… Lee más »
… parece que josejuan vai reser a sua resposta.
Dani, a semi-circunferência é dada ou não?
no es dada
Ok, «Américo» lo ha confirmado (¡antes de poner la prueba! 🙂 ).
Bueno, pues ya están los dos casos ¿no?.
aun no se ha dicho la respuesta correcta 🙂
Circunferência NESTE enunciado é a periferia do círculo ou o círculo?
Atrás quis dizer: … parece que josejuan vai rever a sua resposta.
una circumferencia es el único lado de un círculo
Exacto, Dani, como em português, a circunferência é a linha e o círculo a superfície.
No me convence tu punto (1), puesto que con tu identificación debería ser 2πr=0
Pois é, é verdade!