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Introducción

La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.

Todos ellos son importantes y también todos ellos pueden ser útiles en cierto momento. En el transcurso de nuestro viaje por este camino temporal llamado vida nos encontramos (y nos seguiremos encontrando) con muchos de ellos. Bien es cierto que habitualmente toparemos con miembros más bien pequeños, de bajo valor númerico (aunque esto no significa que tengan poco valor). Pero de vez en cuando asistiremos a la aparición de algún miembro cuyo peso como número tiene cierta entidad.

Pero al fin y al cabo nuestra existencia es finita, terminará. Este hecho unido al carácter infinito de los números naturales hace que resulte imposible encontrarse con todos, que sea inviable conocer a todos los miembros de esta familia.

Uniendo estos dos hechos (generalmente nos encontraremos con números relativamente pequeños y nos es imposible conocerlos a todos en persona) es evidente que muchos números grandes quedarán fuera de nuestro alcance en el sentido de que no tendremos el placer de tenerlos delante.

Posiblemente los tres números que os voy a presentar hoy pertenezcan a estos últimos. Bueno, puede que el primero de ellos, por estar relacionado con un juego de mesa muy popular, sí sea conocido por vosotros, pero estoy convencido de que muchos de los que leáis este artículo añadiréis al menos dos números más a vuestra lista mental de miembros conocidos de la familia de los números naturales.

El benjamin

Claude Shannon

Claude Shannon

El primero de los miembros de la familia es el número de Shannon. Este número es una cota inferior (algo así como una estimación a la baja) del número total de partidas de ajedrez posibles (esto es, de lo que se conoce como complejidad del árbol de juego del ajedrez). En concreto es el siguiente número:

N \acute{u} mero \; de \; Shannon=10^{120}

Es decir, un 1 seguido de 120 ceros. El hecho de que el número de Shannon sea mayor que la estimación que se baraja para el número total de átomos del Universo, entre 4 \cdot 10^{79} y 10^{81}, deja entrever la magnitud de este número. Es decir, aunque le hayamos llamado benjamin en realidad no tiene nada de pequeño.

Esta estimación del número de partidas de ajedrez fue realizada por Claude Shannon, padre de la teoría de la información. Shannon se basó para ellos en que de media en una partida de ajedrez se realizan 40 movimientos y que en cada jugada que hay que realizar el jugador en cuestión elige entre unos 30 movimientos posibles. Con estos datos Shannon estimó que el número de partidas de ajedrez estaba alrededor de (30 \cdot 30)^{40}=900^{40}, que es aproximadamente 10^{120}.

Actualmente se estima que 10^{123} (un número mucho mayor que el anterior) como cota inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez.

El hermano mayor

Stanley Skewes

Stanley Skewes

El segundo protagonista de hoy, al que he bautizado como hermano mayor del trío de números que estamos presentando, es el número de Skewes.

Bueno, en realidad son los números de Skewes. Vamos a ver quiénes son estos chicos.

El teorema de los números primos establece lo siguiente:

\pi(x) \sim li(x)

siendo \pi (x) la función que nos da la cantidad de números primos menores o iguales que x y li (x) la siguiente integral:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{1}{Ln(t)} dt}

Hasta principios del siglo XX todas las evidencias disponibles indicaban que \pi (x) era siempre menor que li (x). Pero en 1914 John Littlewood demostró que existía al menos un número real para el cual \pi (x) es mayor que li (x). De hecho fue más allá, demostrando que la diferencia \pi (x)-li (x) cambia de signo infinitamente a menudo. Esto es, que hay infinitos números reales para los cuales \pi (x) es mayor que li (x).

Pero no dio ningún valor de ese x. Ni siquiera una cota.

Y aquí es donde aparece Stanley Skewes. En 1933 Skewes, alumno del propio Littlewood, encontró tal cota. Más concretamente, asumiendo cierta la hipótesis de Riemann, demostró que el número natural x más pequeño que cumple que \pi (x) es mayor que li (x) es menor que el siguiente valor:

e^{e^{e^{79}}} \approx 10^{10^{10^{34}}}

Es decir, demostró que este tremendo número es una cota superior del menor número natural con dicha característica.

Más tarde, en 1955, demostró sin utilizar la veracidad de la hipótesis de Riemann que el siguiente número hace la función de cota superior para tal x:

10^{10^{10^{963}}}

(Inciso: ¿Alguien me puede decir cuántas cifras tiene este número?)

Más adelante esa cota se ha mejorado bastante, estando actualmente sobre:

1,397162914 \cdot 10^{316}

El padre de familia

Ronald Graham

Ronald Graham

¿Todavía hay algún número mayor que los anteriores que haya tenido una función concreta dentro de las matemáticas? Pues sí. Y es nuestro padre de familia. Dicho número es el número de Graham.

Este número está relacionado con un problema que pertenece a la denominada teoría de Ramsey. Sin entrar en detalles sobre el propio problema, la cuestión es parecida a la descrita en el número de Skewes. Se demostró que existía solución a ese problema y se dio una cota superior para esta solución. Más tarde el matemático Ronald Graham mejoró dicha cota, por lo que Martin Gardner bautizó a este número como «el número de Graham», que denotaremos por G.

¿Cuál es este número exactamente?

Pues no es fácil representarlo con la notación habitual. Necesitamos una notación adecuada a la magnitud de este monstruo numérico. En concreto, la notación de Knuth nos va a ser muy útil para dar una idea de la entidad de G.

El otro día, en este post sobre la notación de Knuth, calculamos 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3:

\begin{matrix} 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3) = & \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \ldots \uparrow 3} \\ & 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \mbox{ veces } 3 \end{matrix}

O sea, 7625597484986 treses colocados en forma de torres de exponentes. Bestial.

Y digo calculamos porque no llegamos a decir cuál es el resultado de esta expresión ya que se salía del rango del Mathematica. Vamos, tremendamente grande.

Bien, para calcular G procedemos de la siguiente forma:

  • Tomamos g_1 de la siguiente forma: g_1=3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3. Es decir, un número muchísimo más grande que el comentado antes (no os voy a marear con el desarrollo de g_1; podéis verlo en el enlace correspondiente de las Fuentes).
  • Ahora tomamos g_2 así: g_2= 3 \uparrow ^{g_1} 3. Esto es, entre los dos treses tenemos g_1 flechas, o sea, un número de flechas igual al resultado obtenido en el apartado anterior. Teniendo en cuenta que g_1 ya es absolutamente inconcebible para la mente humana, podéis imaginar cómo puede ser este g_2.

    • .
    .
    .

  • Continuamos así hasta el paso 64. Sí, hasta el 64. Esto significa lo siguiente:

    G=g_{64}=3 \uparrow ^{g_{63}} 3

Sí, hay g_{63} flechas entre los dos treses. Si con tres flechas obteníamos 7625597484986 treses…la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de G escapa totalmente a cualquier concepción humana. Vamos, como dice el título del post, un auténtico monstruo.

Aunque bueno, se sabe que acaba en 7. Algo es algo.

Y para terminar una pregunta:

¿Conocéis más números «con nombre» que puedan ser catalogados como «monstruos numéricos»?

Fuentes:

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