Os dejo el problema de esta semana:
Determinar cuántas soluciones reales de la siguiente ecuación:
![\sqrt{2-x^2}=\sqrt[3]{3-x^3}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B2-x%5E2%7D%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B3-x%5E3%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "\sqrt{2-x^2}=\sqrt[3]{3-x^3}")
Que se os dé bien.
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A mi me salen solo dos raíces imaginarias: 0,3845776i y -0,3845776i.
¿El enunciado está completo?
Me parece que ninguna, encuentro todas imaginarias:
x=-1.42366-1.01332i
x=-1.42366+1.01332i
x=-0,017921-0.280124i
x=-0,017921+0.280124i
x=1.44158-0.00348i
Para resolverlo elevo los dos lados a la sexta y obtengo una ecuación de sexto grado:
2*x^6-6*x^4-6*x^3+12*x^2+1=0
El Wolfram Alpha me da las soluciones imaginarias anteriores.
Creo que no tine solución dentro de los números reales.
En cambio, dentro de los número complejos o imaginarios si que la tiene:
x=-0,0179215-0,280124i
x=-0,0179215+0,280124i
Igual que lo que han mencionado mas arriba.
Debe estar comprendido entre:![\sqrt{2}\approx 1.414<x<\sqrt[3]{3}\approx 1.442](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B2%7D%5Capprox+1.414%3Cx%3C%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D%5Capprox+1.442&bg=T&fg=000000&s=0 "\sqrt{2}\approx 1.414<x<\sqrt[3]{3}\approx 1.442")
(léase raíz de dos menor o igual a x, raíz cúbica de tres mayor o igual a x).
Para ambos miembros.
Daniel Dávalos, no existe solución real para esa ecuación. No obstante, si existiera la condición a poner sería
, que se deduce del miembro de la izquierda.
Información Bitacoras.com
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Pues elevando ambos miembros a la sexta tendremos estas 6 soluciones pero ninguna Real:
x = -0.01792146754 – 0.2801235605i ∨ x = -0.01792146754 + 0.2801235605i ∨ x = -1.423661050 – 1.013316726i ∨ x = -1.423661050 + 1.013316726i ∨ x = 1.441582518 – 0.003482440571i ∨ x = 1.441582518 + 0.003482440571i
Marco Tac, se puede limitar fácilmente a solo la parte positiva del intervalo que indicas. Con eso, el polinomio de Mmonchi y alguna otra consideración se puede determinar la ausencia de soluciones reales por medios elementales propios de un problema de olímpiada, como este.
Para x negativo, la parte de la izquierda es creciente y la de la derecha, decreciente. Como en x=0, es mayor el término de la derecha, no puede haber soluciones negativas.
La parte de la izquierda nos da la circunferencia
, y la parte de la derecha la ecuación 
. Para que haya solución, tiene que haber algún par x,y con 
, tal que cumpla las dos ecuaciones, pero es fácil ver que el máximo de 
para los puntos de la circunferencia se da cuando x=0 ó y=0, y no llega a 3.
Golvano, ¿cómo de fácil? ¿Sin utilizar cálculo diferencial?
¿Cómo te lo diría? Se puede hacer más fácil pero es más difícil.
Una cosilla (para el futuro) para los de las 6 soluciones a través del wolfram…
¿Cuántas soluciones tiene, en el plano complejo, x^2=1?
Obvio, tiene 2: 1 y -1
Ahora elevo ambas partes al cuadrado
¿Cuantas soluciones tiene x^4=1?
Tiene 4: 1, -1, i, -i
Deduzco entonces que x^2=1 tiene 4 soluciones? Porque eso es lo que ocurre cuando decís que tiene 6. Tenéis 6 candidatas a solución, hay que comprobar luego cuáles sirven con la ecuación inicial
Francesc: Efectivamente, habría que mirar cuáles de esas 6 soluciones satisfacen la ecuación, pero como todas son complejas y el enunciado nos pide determinar el número de soluciones reales, sabemos que no puede haber ninguna.
¿Y con lápiz y papel? ¿Podemos determinar que la ecuación 2*x^6-6*x^4-6*x^3+12*x^2+1=0 no tiene soluciones reales?
Pasar el término independiente a la derecha no es toda la solución del problema, pero casi.
Con ver que
es negativa en 
, 
, tenemos comprobado que no hay raíces reales. Y eso es fácil de comprobar (siempre que sea legal utilizar cálculo diferencial): 
, 
y derivando es fácil ver que el único extremo relativo (máximo) de la función está en 
siendo además 
. Luego no hay raíces reales.
Una manera de atacarlo sería comprobar que la función es siempre positiva y por tanto no tiene ceros. Si la derivamos nos queda 6*(2*x^4-4*x^2-3x+4)*x=0. Como x^6 tiende a infinito positivo en ambos extremos, basta con comprobar que los mínimos de la función son positivos. Esos mínimos están en los ceros de 2*x^4-4*x^2-3x+4=0 y en x=0.
Ahora el problema es resolver la ecuación de cuarto grado 2*x^4-4*x^2-3x+4=0, algo que sí se puede hacer con lápiz y papel, sustituir sus soluciones en y=2*x^6-6*x^4-6*x^3+12*x^2+1 y comprobar que los mínimos son positivos y por tanto no hay soluciones reales.
Podemos transformar la ecuación de sexto grado así:
2*x^6 – 6*x^4 – 6*x^3 + 12*x^2 + 1 = 0
2*x^6 – 6*x^4 – 6*x^3 + 12*x^2 = -1
2x^2(x^4 – 3x^2 – 3x + 6) = -1
2x^2(x^4 + 3(1 – x^2) + 3(1 – 3x)) = -1
El primer miembro es positivo para todo x en [0, 1], por lo que la ecuación carece de soluciones en ese intervalo.
Ahora basta probar que si no las tiene en [0, 1] tampoco las tiene en [1, rq(2)] (rq(2) = raíz cuadrada de 2, es que no tengo demasiada soltura con el LaTeX), lo que es realmente sencillo.
La última ecuación debe ser evidentemente:
2x^2(x^4 + 3(1 – x^2) + 3(1 – x)) = -1
Hallar la soluciones equivale a encontrar los punto de corte de las funciones
f(x)=(2-x^2)^(1/2)
g(x)=(3-x^3)^(1/3)
f(x), circunferencia, es función con simetría par e impar
g(x) es función con simetría impar
Al ser g(0)>f(0) en caso de existir soluciones estarán entre 0 y 1
Estas dos funciones las podíamos escribir de la forma
y=(x-a)^(1/x) siendo x=2 o x=3, 0<af(x), están funciones no se cortan, la ecuación no tiene soluciones reales
Ignacio, ¿cómo de sencillo?
Golvano, simplemente sencillo. las soluciones de la ecuación dada coinciden con las intersecciones de las curvas x^2 + y^2 = 2, circunferencia centrada en el origen y que pasa por (1, 1), e x^3 + y^3 = 3. Ambas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante y = x, pues intercambiando x con y sus ecuaciones no cambian.
Por tanto, si hay una intersección en el arco de circunferencia comprendido entre 45º y 90º, contado positivamente a partir del eje OX, también tendra que haber otra en el arco comprendido entre 0 y 45º. Es decir, que hay solución en [1,
] si y solo si la hay en [0, 1]. Y como en [0, 1] ya vimos con la ecuuación de 6º grado que no la hay, no hay soluciones en absoluto.
Por cierto Sebas, la función g(x)=(3-x^3)^(1/3) no tiene simetría impar (respecto al origen), ni par (respecto al eje OY), sino que es simétrica respecto a la recta y = x. Esto indica que coincide con su inversa, cuando existe.
Marco Tac, tienes razón, ¿pero si tomamos al intervalo
?
Las soluciones serían para x=1:
1=1,2599
Para x=0:
1.4142=1.4422
Parece tener soluciones reales, pero nosé si está correcta.
Galvano
f(x), es circunferencia, par e impar
Perdón, g(x) respecto bisectriz, equivocación al escribir
Gracias
Otra solución parecida, pero sin duda más elegante, es la expuesta por Antonio González en es.ciencia.matematicas:
Partiendo del sistema equivalente
x^2 + y^2 = 2
x^3 + y^3 = 3
Elevando la primera al cubo, la segunda al cuadrado y restando,
(x^2 + y^2)^3 – (x^3 + y^3)^2 = -1
3x^4y^2 + 3x^2y^4 – 2x^3y^3 = -1
x^2y^2(3x^2 + 3y^2 – 2xy) = -1
x^2y^2(2x^2 + 2y^2 + (x-y)^2) = -1
Ecuación sin soluciones pues el primer miembro es evidentemente positivo.
Ignacio Larrosa Cañestro, es una elegante demostración! 😀
Ah, me había despistado. Pensaba que estabas intentando calcular las soluciones reales de la ecuación de sexto grado. Seguías con el problema original, por lo que veo.
Con la misma idea de antes puede generalizar el resultado un pelín:
Si
entonces 
siempre que las expresiones sean reales (es decir, ![x \in [-p^{1/p},p^{1/p}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=x+%5Cin+%5B-p%5E%7B1%2Fp%7D%2Cp%5E%7B1%2Fp%7D%5D&bg=T&fg=000000&s=0 "x \in [-p^{1/p},p^{1/p}]")
) y tengamos además que 
Corrijo: creo que mejor decir
Desglosando la ecuación en 2 funciones, y estudiando los intervalos de existencia de soluciones reales para ambas, observamos que:
y1=(2-x^2)^(1/2) tiene soluciones reales en [-(2^(1/2)),2^(1/2)]
y2=(3-x^3)^(1/3) tiene soluciones reales en (-infinito, 3^(1/3)]
Luego, de haber soluciones reales para la ecuación, solo podrá haber soluciones en el intervalo [-(2^(1/2)),2^(1/2)]
Graficando las dos funciones, observamos que no hay ningún corte entre las dos funciones en este intervalo, luego no existen soluciones reales para la ecuación propuesta.
http://fooplot.com/plot/sxncpiftdq
Iba a decir que esta ecuación la vimos hace poco en es.ciencia.matematicas, pero ya he visto que Ignacio ya publicó mi solución. 🙂
Aficionado, gracias por enlazar la web http://www.fooplot.com
No la conocía y me ha parecido un descubrimiento interesante, sobre todo la parte que permite exportar la página o convertir el gráfico en pdf.
De nuevo gracias.
Mi objetivo ahora es probar que
es menor que ![\sqrt[3]{3-x^3}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=+%5Csqrt%5B3%5D%7B3-x%5E3%7D++&bg=T&fg=000000&s=0 "\sqrt[3]{3-x^3}")
para todos los puntos donde tiene sentido la ecuación en el cuerpo de los reales.
Denotemos![f(x)=\sqrt[3]{3-x^3}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B3-x%5E3%7D+&bg=T&fg=000000&s=0 "f(x)=\sqrt[3]{3-x^3}")
con dominio ![[0, \sqrt{2}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B0%2C+%5Csqrt%7B2%7D%5D&bg=T&fg=000000&s=0 "[0, \sqrt{2}]")
, f(x) es continua en el dominio y además es inyectiva:
Por tanto, como
la función es decreciente (Que sea decreciente es irrelevante pero tomaremos 
para demostrar la desigualdad)
Partiendo de que
vamos haciendo transformaciones y llegamos que 
Pero
es menor que 
por tanto c.q.d.
Ese problema fue, curiosamente, el que me encontré en la Olimpiada matemática. Y de memoria, recuerdo que no le encontré soluciones reales. Cómo pasa el tiempo!