Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
Gaussianos recibió el Premio Prisma 2018 a la mejor web/red social. Haz click en la imagen si quieres saber más.
Los Premios Prismas son una iniciativa de los Museos Científicos Coruñeses para premiar la difusión de la cultura científica y apoyar a profesionales que trabajan en este campo. Más información en Premios Prismas.
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail, haz click en la imagen.
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
Voy a intentar hacer la prueba por inducción 🙂
Aunque dejaré varios comentarios porque no sé porqué, pero en la vista previa, se borran palabras y símbolos látex y estoy desesperando x)
Primero veamos para n = 1
vale como poco 2, ya que son desigualdades extrictas de números enteros positivos. Se tiene que 
es un múltiplo de 2 entonces, y el más pequeño (para maximizar la fracción) sería el propio 2. tenemos entonces que 
tenemos que ver que
Puesto que
tenemos que
Si
entonces el mcm sería mayor y por consiguiente, la fracción con menor valor, lo que implicaría que se sigue cumpliendo la igualdad.
Ahora supongamos para n, y veamos si se cumple para n+1
para todo n positivo. (Es trivial comprobar esta desigualdad)
Para la demostración, haré uso de que
Bien, tenemos entonces que ver si
Echando cuentas, se tiene que
Por lo que equivalentemente se tiene
Como
el último término
porque 
vale como poco n+1, y como su mínimo común múltiplo es un múltiplo suyo, tiene que ser como mínimo 2n+2 (ya que 
)
Aplicando hipótesis de inducción y que el último término
para todo n, se resuelve el problema 😀
Después de una hora luchando con LaTeX, espero que sea correcta la demostración =D
y disculpen si hay alguna incoherencia o no quedó claro. Saludos 🙂
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana. Ahí va el enunciado: Sean números enteros positivos. Demostrar que A por él. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o ……
Eulerianos, el desarrollo que indicas no prueba el enunciado. Te has liado con las desigualdades en el siguiente sentido:
tu razonamiento requiere que
. Efectivamente se tiene que 
. Sin embargo, para que tu prueba fuera válida, lo que debería darse es que 
(y lo que se da es la desigualdad con 
).
El mínimo común múltiplo de dos números (
), donde el menor divide al mayor , 
… , será el mayor : 
?
Alguien me puede explicar por que ha de ser :
😕
Yo en seguida me di cuenta de que construyendo el caso más desfavorable, se demostraba el enunciado, pero después le vi una pata coja a mi razonamiento que no he sido capaz de resolver.
Lo cuento por si a alguien le da alguna idea.
Es obvio que dados dos enteros positivos a y b, con b>a, el mcm de ambos es, como mínimo, el doble del menor de ellos, es decir, 2a. No lo voy a demostrar porque, como digo, la demostración final no me termina de cerrar, pero es muy fácil.
Entonces, el caso más desfavorable se conseguiría cuando los sumandos en la izquierda de la desigualdad son máximos, es decir, cuando los denominadores son mínimos.
No voy a ser muy formal, así que voy a llamar a y b a los números menor y mayor respectivamente en cada sumando.
El primer denominador mínimo se consigue con a=1 y b=2, en el siguente, el mcm más pequeño posible se conseguiría cuando mcm = 2·2, es decir con a=2, y b=4. En el siguiente, el mcm más pequeño se consigue cuando mcm=2·4, es decir con a=4, y b=8. Es decir, que en la izquierda de la desigualdad tenemos una suma de inversas de potencias consecutivas de 2, comenzando en
, lo que nos dejaría en bandeja la demostración del enunciado.
Esto se puede escribir de manera más formal, y más detallada, pero dado que la demostración tiene una pega, lo voy a dejar ahí.
La pega, lo que no soy capaz de demostrar, es que necesariamente haya que usar el caso más desfavorable en cada sumando individual, para conseguir la suma total más desfavorable…
Es muy tarde, mañana le daré otra pensadita.
Si tomamos el mcm de dos números a y b, tendremos como cotas que: a<mcm(a,b)<a*b
tomando que a_(n+1) tiene que ser mayor que a_n, la cota pasa a ser: 2*a_n<mcm(a_n,a_(n+1))<a_n*a_(n+1).
Tomando la suceción que hace crecer menos a mcm con las condiciónes del problema:
a_(n+1)=2*a_n y a_0=1.
entonces a_n=2^n
entonces mcm(a_n,a_(n+1))=2^(n+1)
Al ser a_n la suceción que cumple los requisitos del problema que minimisa el mcm entonces nos da la cota superior a esa suma, la cual es:
sum(1/mcm(a_k,a_(k+1)), k=0…(n-1))=sum(1/2^(k+1), k=0…(n-1))
=sum(2^k, k=0…(n-1))/2^(n)=(2^(n)-1)/2^(n)=1-2^(-n).
Q.E.D.
Alfa tu demostración es muy parecida a mi intento, y lamentablemente contiene el mismo error, me temo.
Es correcta hasta cuando concluiste que, en el caso más desfavorable:
Pero después afirmas que
sin demostrarlo. Entiendo que haces una inducción mental partiendo del resultado anterior hasta llegar a 
El problema de este razonamiento, es que estas presuponiendo que si elijes el valor mínimo para el mcm en cada sucesivo sumando, vas a obtener la suma máxima, y aunque eso, en este caso, parece ser cierto, hay que demostrarlo.
Entiendo que el error es sutil, así que te voy a poner un ejemplo en el que esa misma suposición es errónea. Supongamos que queremos demostrar que:
Si hacemos el mismo razonamiento, podemos «demostrarlo» fácilmente… pero resulta que eso es imposible, porque el enunciado es falso. Por ejemplo, no se cumple para:
La suma es máxima cuando cada sumando es máximo ¿por qué no?
Dados dos números enteros positivos con
es claro que
alcanzándose la igualdad cuando 
Por tanto, para que
elegir los
de tal forma que
es decir,
Por tanto,
Teniendo en cuenta lo anterior, se concluye que
Me acabo de dar cuenta que en la última línea he puesto mal
en lugar de 
José Antonio, la afirmación con la que comienzas tu solución no se puede aceptar sin demostración, porque en este caso cada sumando no es independiente de los demás. Si al hacer máximo un sumando, estas condicionando al siguiente, tienes que demostrar que lo que ganas ahora al maximizar ese sumando, no lo pierdes después en los demás.
Yo sé que el error es un tanto sutil, y que puede pasar desapercibido, pero está ahí.
Puse un ejemplo, en la segunda mitad de mi comentario anterior, en el que demostraba que esto puede suceder. Intenta aplicar tu razonamiento al enunciado de ejemplo que puse, y verás como puedes «demostrarlo» sin dificultad, a pesar de ser falso.
Tienes toda la razón Sive. Requiere demostración la afirmación inicial.
A ver si funciona el siguiente argumento.
Vamos a demostrar que si
es una sucesión que hace máximo
entonces 
Razonemos por inducción:
Para
. Supongamos que 
Hola a todos. Hace mucho que no pasaba por el foro.
Me animo con una demostración:
Si la afirmación inicial fuese correcta, entonces el caso
debería ser cierto (tal como sucede). Además, si 
es cierto, 
debería serlo también. Así
Luego,
Lo que contradice la hipótesis. Así, la afirmación es falsa.
(Un trabajo muy interesente el de gaussianos.com)
Excusen por el mensaje anterior, al parecer las fórmulas no estaban bien escritas: el emacs dejó el salto de línea.
…
Si la afirmación inicial fuese correcta, entonces el caso
debería ser cierto (tal como sucede). Además, si 
es cierto, 
debería serlo también. Así
Luego,
Lo que contradice la hipótesis. Así, la afirmación es falsa.
No entiendo el último paso GCCA.
En general,
no implica que 
. Por ejemplo, 
pero no es cierto que 
.
A continuación se indica una prueba (por inducción) formalizando un poco las ideas expuestas anteriormente:
El caso
es obvio. Supongamos cierta la propiedad para un natural 
y veámosla para 
. Sean 
naturales. Entonces:
Primero, si
entonces 
y 
.
Supongamos, en segundo caso, que
.
Ya que
y 
, tenemos que 
, siendo 
positivo por hipótesis. En particular, 
.
Luego,
.
Finalmente,
.
M, veo tu prueba perfecta. Enhorabuena!
Hola Antonio, lo explico de otra manera (debí ser más explícito)
Si
,
y
.
Luego,
,
y 
.
Así
,
.
donde
De
es posible asumir que existen valores de 
para los cuales no cumplirá la afirmación, puesto que 
puede ser hasta dos veces el valor de 
.
Si
y 
, hay dos posibles conclusiones, que los 
sean lo suficientemente grandes para hacer que 
, por lo que la afirmación cumpliría. Pero si 
, entonces se tiene que cumplir que 
.
, 
y sus mitades en la recta numérica. Como existe un intervalo en el que la propiedad no cumple, la afirmación no puede tomarse como válida para todos los 
enteros positivos.
Esto es como imaginar los valores de
(sería interesante sabe bajo que condiciones se cumple)
Brillante M, sobre todo la segunda parte.
la solucion es 5