Quinto problema de la Olimpiada Matemática de Asturias 2013. El enunciado es el siguiente:
Obtén los dos valores enteros de x más próximos a 2013º, tanto por defecto como por exceso, que cumplen esta ecuación trigonométrica:
A por él.
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Como nos interesaría tener un producto de esos doses en vez de una suma podemos pensar en aplicar la desigualdad aritmético geométrica. 2^(sin(x)^2)+2^(cos(x))^2 = 2*sqrt(2) equivale a (2^(sin(x)^2)+2^(cos(x))^2)/2 = sqrt(2) y por desigualdad aritmético-geométrica tenemos que sqrt((2^(sin(x)^2)*2^(cos(x))^2))<= sqrt(2) Pero el miembro de la izda vale precisamente sqrt(2) (fácil de ver pues es sqrt(2^(cos(x)^2+sin(x)^2))=sqrt(2). Como la igualdad entre medias se alcanza solo si las variables a promediar son iguales de aquí se sigue que 2^(cos(x)^2)=2^(sen(x)^2) lo que implica por inyectividad de la función 2^x que sen(x)^2=cos(x)^2 lo que implica x=45º+k*90º como solución con k entero y ahora acotando se ve que… Lee más »
Las funciones sin^2(x) y cos^2(x) son periodicas. Tienen un periodo de pi/2 de radio. O sea entre -pi/2 y pi/2 se repite su periodo (despues paso a grados, me gusta trabajar con radianes). Entonces la composicion con 2^x ha de ser periodica tambien. Luego, sumando dos funciones de igual periodo obtengo una funcion de, al menos, el mismo periodo (supongo que podria haber alguno mas pequeño). Vamos a buscar cuando esas funciones tienen minimos o maximos. La derivada de estas es: ln2 [(2^(sin^2 (x)) 2 cos(x)sin(x))+(2^(cos^2 (x)) (-2) cos(x)sin(x))]= ln2 [((2^(sin^2 (x)) sin(2x))+(2^(cos^2 (x)) (-2)sin(2x)]= ln2 sin(2x) [2^(sin^2 (x))-2^(cos^2 (x))]… Lee más »
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Si hacemos
la ecuación nos queda
Ahora hacemos
y tenemos:
y los más cercanos a 2013 son 1935 y 2025, como ya se ha dicho.
Me ha parecido demasiado fácil, la verdad.
No sé si es cosa mía pero parece que hay una variación de dificultad muy grande de unos a otros. El de la semana pasada era infinitamente más difícil, creo yo.
Este es muy facilito. Y se puede resolver de muchas formas. Yo usé simplemente esto: cos^2 x = 1 – sin^2 x Entonces 2^(cos^2 x) = 2^(1- sin^2 x) = 2 / 2^ sin^2 x definiendo y = 2^(sin^2 x) tenemos: y + 2/y = 2 sqrt(2) y^2 – 2 sqrt(2) + 2 = 0 y = sqrt(2) Entonces sin^2 x = 1/2 cos^2 x = 1/2 Entonces sin x = +/- sqrt(2) / 2 cos x = +/- sqrt(2) / 2 Lo cual ocurre en x = 45º + n*90º Dividiendo 2013º entre 90º tenemos cociente 22… 22*90º =… Lee más »
Este fue de calle el más fácil de la Fase Local (este problema en concreto lo pusieron como quinto en otras comunidades), y el salto de dificultad como dice golvano de la Local a la Nacional fue bastante importante la verdad. La solución más fácil para mi es sustituir 1 – sen^2 (x), que puede resolverse fácilmente.
Brillante la solución de golvano, increíblemente simple.
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