Olimpiada Matemática de Asturias 2013 – Problema 5

Publicado por ^DiAmOnD^ | 20 mayo, 2013 | Juegos | 6 |

Quinto problema de la Olimpiada Matemática de Asturias 2013. El enunciado es el siguiente:

Obtén los dos valores enteros de x más próximos a 2013º, tanto por defecto como por exceso, que cumplen esta ecuación trigonométrica:

$2^{sin^2x}+2^{cos^2x}=2 \sqrt{2}$

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Daniel Cao

20/05/2013 10:36

Como nos interesaría tener un producto de esos doses en vez de una suma podemos pensar en aplicar la desigualdad aritmético geométrica. 2^(sin(x)^2)+2^(cos(x))^2 = 2*sqrt(2) equivale a (2^(sin(x)^2)+2^(cos(x))^2)/2 = sqrt(2) y por desigualdad aritmético-geométrica tenemos que sqrt((2^(sin(x)^2)*2^(cos(x))^2))<= sqrt(2) Pero el miembro de la izda vale precisamente sqrt(2) (fácil de ver pues es sqrt(2^(cos(x)^2+sin(x)^2))=sqrt(2). Como la igualdad entre medias se alcanza solo si las variables a promediar son iguales de aquí se sigue que 2^(cos(x)^2)=2^(sen(x)^2) lo que implica por inyectividad de la función 2^x que sen(x)^2=cos(x)^2 lo que implica x=45º+k*90º como solución con k entero y ahora acotando se ve que… Lee más »

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Luis Cardenas

20/05/2013 10:58

Las funciones sin^2(x) y cos^2(x) son periodicas. Tienen un periodo de pi/2 de radio. O sea entre -pi/2 y pi/2 se repite su periodo (despues paso a grados, me gusta trabajar con radianes). Entonces la composicion con 2^x ha de ser periodica tambien. Luego, sumando dos funciones de igual periodo obtengo una funcion de, al menos, el mismo periodo (supongo que podria haber alguno mas pequeño). Vamos a buscar cuando esas funciones tienen minimos o maximos. La derivada de estas es: ln2 [(2^(sin^2 (x)) 2 cos(x)sin(x))+(2^(cos^2 (x)) (-2) cos(x)sin(x))]= ln2 [((2^(sin^2 (x)) sin(2x))+(2^(cos^2 (x)) (-2)sin(2x)]= ln2 sin(2x) [2^(sin^2 (x))-2^(cos^2 (x))]… Lee más »

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Bitacoras.com

20/05/2013 12:20

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Quinto problema de la Olimpiada Matemática de Asturias 2013. El enunciado es el siguiente: Obtén los dos valores enteros de x más próximos a 2013º, tanto por defecto como por exceso, que cumplen esta ecuación trigonomé……

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golvano

20/05/2013 12:47

Si hacemos

$y = sin^2x$

la ecuación nos queda

$2^y+2^{1-y}=2\sqrt{2}$

$2^y+\frac{2}{2^y}=2\sqrt{2}$

Ahora hacemos

$z = 2^y$

y tenemos:

$z+\frac{2}{z}=2\sqrt{2}$

$z^2-2\sqrt{2}z+2=0$

$z=\sqrt{2}$

$y=\frac{1}{2}$

$x=45+90k$ con k entero

y los más cercanos a 2013 son 1935 y 2025, como ya se ha dicho.

Me ha parecido demasiado fácil, la verdad.

No sé si es cosa mía pero parece que hay una variación de dificultad muy grande de unos a otros. El de la semana pasada era infinitamente más difícil, creo yo.

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Acido

20/05/2013 13:22

Este es muy facilito. Y se puede resolver de muchas formas. Yo usé simplemente esto: cos^2 x = 1 – sin^2 x Entonces 2^(cos^2 x) = 2^(1- sin^2 x) = 2 / 2^ sin^2 x definiendo y = 2^(sin^2 x) tenemos: y + 2/y = 2 sqrt(2) y^2 – 2 sqrt(2) + 2 = 0 y = sqrt(2) Entonces sin^2 x = 1/2 cos^2 x = 1/2 Entonces sin x = +/- sqrt(2) / 2 cos x = +/- sqrt(2) / 2 Lo cual ocurre en x = 45º + n*90º Dividiendo 2013º entre 90º tenemos cociente 22… 22*90º =… Lee más »

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OCL

20/05/2013 21:17

Este fue de calle el más fácil de la Fase Local (este problema en concreto lo pusieron como quinto en otras comunidades), y el salto de dificultad como dice golvano de la Local a la Nacional fue bastante importante la verdad. La solución más fácil para mi es sustituir 1 – sen^2 (x), que puede resolverse fácilmente.