A estas alturas nadie puede negar que la invención del Cálculo representó uno de los mayores avances de la historia de las matemáticas. Con él se abrieron nuevos horizontes: muchos problemas se simplificaron, y otros, que no tenían solución en aquella época, consiguieron resolverse. Uno de los primeros que se pudo resolver gracias al Cálculo, posiblemente el primero con cierto renombre, fue el problema de De Beaune.

Uno de los grupos de problemas cuyo estudio terminó con la invención del Cálculo fue el cálculo de tangentes, que consiste en calcular la recta tangente a una función dada en un punto. Fermat ya avanzó en este tema, pero solamente para curvas algebraicas. El Cálculo de Newton y Leibniz consiguió generalizar el problema.

También eran de interés los problemas inversos de tangentes, en los que se buscaba determinar una curva a partir de alguna propiedad de sus tangentes. Y el primero en plantear uno de esos problemas fue nuestro protagonista, Florimond de Beaune (1601-1652), jurista francés discípulo de Descartes. El problema de De Beaune consistía en encontrar la curva de subtangente constante (Fede nos habló aquí de las subtangentes de la parábola).

Al parecer Descartes intentó resolverlo por métodos geométricos, pero no lo consiguió. Y tuvo que se Leibniz, con su recién estrenado Cálculo, quien lo consiguiera. Lo hizo en la primera publicación sobre el Cálculo de la historia, titulada «Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante las cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas» y publicada en 1684 en Acta Eruditorum. Al final del mismo Leibniz escribe lo siguiente:

Me agrada añadir como apéndice la solución del problema que Descartes, a propuesta de De Beaune, intentó pero no resolvió. Encontrar una línea de tal naturaleza que la proyección de cualquiera de sus puntos sobre un eje y el corte de la tangente en ese punto con dicho eje formen un segmento de longitud constante.

Ese segmento que el problema pide que sea de longitud constante es lo que se denomina subtangente.

Leibniz consigue resolver el problema en pocas líneas:

leibniz

obteniendo que x=log(w).

La situación se puede plantear como sigue:

ecdif

De aquí, obligando a que s sea constante, por ejemplo igual a k, obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{y}{k}

Dicha ecuación es muy sencilla de resolver (es de variables separables). La transformamos en

\cfrac{dy}{y}=\cfrac{dx}{k}

e integrando a ambos lados obtenemos que

log(y)=\cfrac{x}{k}+C

En la actualidad esto significa que la función que cumple que tiene subtangente constante es la función exponencial (inversa del logaritmo neperiano)

y=A \; e^{\frac{x}{k}}

que es la solución de la ecuación diferencial (es decir, lo que queda si despejamos y).

Y para terminar os dejo un applet de GeoGebra en el que podéis ver que efectivamente la función exponencial tiene subtangente constante. Podéis cambiar el exponente y ver que si ponéis una función tipo kx en dicho exponente la subtangente se mantiene constante cuando movéis el punto P a lo largo de la curva, mientras que si colocáis cualquier otra cosa, o cambiáis totalmente de función, eso no ocurre:

Por cierto, como es natural si tomamos la proyección del punto sobre el eje Y y el corte de la tangente en el mismo eje entonces es la función y=ln(x) la que cumple que el segmento formado por esos puntos tiene longitud constante.

Fuentes y más información:

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