¿Se puede construir un mapa perfecto de la Tierra?

Una de las aspiraciones del ser humano desde tiempo inmemoriales es la de construir un mapa plano perfecto. Es decir, representar correctamente nuestro planeta, esférico, en un plano. Y muchos han sido los intentos de construir dicho mapa, aunque ninguno ha llegado a fructificar. ¿Por qué? ¿Acaso no existe el mapa perfecto? Sea cual sea el caso, ¿existe algún argumento sencillo que responda a esa pregunta?

Bien, antes de responder creo que lo primero que hay que hacer es aclarar qué entendemos por mapa perfecto. Un mapa perfecto sería una proyección de la esfera terrestre en un plano que mantuviera las propiedades métricas de la propia esfera (salvo la escala). Es decir, la transformación que convierte a la esfera terrestre en un mapa plano debería ser una isometría, o, lo que es lo mismo, una aplicación que conserve las distancias (esto es, si dos puntos en la esfera están a distancia , los proyectados de esos puntos en el plano deben estar también a distancia ).

Esto tendría varias implicaciones en nuestro mapa, de entre las cuales vamos a destacar las siguientes:

• Se deben mantener las áreas: Una región en la esfera terrestre y su proyección en el plano deben tener la misma área, salvo el factor de escala.
• Se deben mantener las geodésicas: Una geodésica es una línea de longitud mínima que une dos puntos de una superficie y que está contenida en ella. En una esfera las geodésicas son los círculos máximos, que son las circunferencias obtenidas al cortar la esfera con planos que pasan por el centro de la misma (en un plano, las geodésicas son las rectas). En nuestro caso, las mínimas distancias deben mantenerse, por lo que, con nuestra proyección, una geodésica en la esfera debe convertirse en una recta en el plano.
• Se deben mantener los ángulos: Si en la esfera terrestre dos geodésicas se cortan formando un cierto ángulo, en la proyección las rectas correspondientes a dichas geodésicas deben formar el mismo ángulo.

Ya tenemos los ingredientes, por lo que ya podemos comenzar a cocinar nuestro mapa perfecto. En un plano podemos definir triángulo como «región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos no alineados», y de forma análoga podemos definir triángulo esférico en una esfera como «región de la esfera delimitada por tres círculos máximos que se cortan en tres puntos que no pertenecen al mismo círculo máximo», como puede verse en la siguiente imagen:

Hemos dicho que nuestra proyección perfecta debería conservar las geodésicas, por lo que los arcos de círculo máximo que delimitan el triángulo esférico deberían convertirse en segmentos de recta en la proyección. Por tanto, la proyección de un triángulo esférico sería un triángulo plano.

Pero no sólo eso, sino que según hemos comentado los ángulos entre geodésicas también deberían mantenerse. Y, más concretamente, debería mantenerse la suma de ángulos de cada uno de nuestro triángulos. Pero vamos a ver que eso es imposible.

En una esfera podemos tomar un triángulo esférico en el que cada uno de sus tres ángulos mida 90º: tomamos un arco de círculo máximo desde el Polo Norte hasta el ecuador, después otro igual que forme un ángulo de 90º con el primero y después el arco de ecuador que une los puntos de corte de los arcos anteriores con el propio ecuador, como el que se ve en la figura siguiente:

Por un lado, la suma de los ángulos de dicho triángulo es 270º. Por otro lado, si nuestro mapa fuera perfecto la proyección de este triángulo esférico sería un triángulo plano. En este triángulo plano, como en todos los triángulos planos, la suma de sus ángulos sería 180º. Pero entonces los ángulos no se conservan, ya que las sumas son distintas. Conclusión: no existen isometrías entre la esfera y el plano. O, lo que es lo mismo, no existen los mapas perfectos. Asunto zanjado…

…o no. Por un lado, el hecho de que no exista el mapa perfecto ha hecho que hayan aparecido multitud de proyecciones distintas que nos proporcionan mapas de la esfera terrestre de muchos tipos. En algunos de ellos se mantienen unas características y en otros otras. Sí, en todos hay algo que no se corresponde con la realidad, pero si hubiésemos tenido uno perfecto nos habríamos perdido todo el ingenio que han mostrado los que desarrollaron estas proyecciones.

Y por otro lado queda pendiente indagar un poco más en las razones por las que este mapa perfecto no existe. El argumento de los triángulos descarta su existencia, pero no profundiza en el porqué de la imposibilidad de esta construcción. Si no pasa nada, pronto os contaré más cosas sobre esto.

Fuentes:

• El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.
• Geodésica en la Wikipedia en español.

Esta entrada es mi primera aportación a la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Joaquín desde Matemáticas interactivas y manipulativas.