¿Se puede construir un mapa perfecto de la Tierra?

Una de las aspiraciones del ser humano desde tiempo inmemoriales es la de construir un mapa plano perfecto. Es decir, representar correctamente nuestro planeta, esférico, en un plano. Y muchos han sido los intentos de construir dicho mapa, aunque ninguno ha llegado a fructificar. ¿Por qué? ¿Acaso no existe el mapa perfecto? Sea cual sea el caso, ¿existe algún argumento sencillo que responda a esa pregunta?

Bien, antes de responder creo que lo primero que hay que hacer es aclarar qué entendemos por mapa perfecto. Un mapa perfecto sería una proyección de la esfera terrestre en un plano que mantuviera las propiedades métricas de la propia esfera (salvo la escala). Es decir, la transformación que convierte a la esfera terrestre en un mapa plano debería ser una isometría, o, lo que es lo mismo, una aplicación que conserve las distancias (esto es, si dos puntos en la esfera están a distancia d, los proyectados de esos puntos en el plano deben estar también a distancia d).

Esto tendría varias implicaciones en nuestro mapa, de entre las cuales vamos a destacar las siguientes:

  • Se deben mantener las áreas: Una región en la esfera terrestre y su proyección en el plano deben tener la misma área, salvo el factor de escala.
  • Se deben mantener las geodésicas: Una geodésica es una línea de longitud mínima que une dos puntos de una superficie y que está contenida en ella. En una esfera las geodésicas son los círculos máximos, que son las circunferencias obtenidas al cortar la esfera con planos que pasan por el centro de la misma (en un plano, las geodésicas son las rectas). En nuestro caso, las mínimas distancias deben mantenerse, por lo que, con nuestra proyección, una geodésica en la esfera debe convertirse en una recta en el plano.
  • Se deben mantener los ángulos: Si en la esfera terrestre dos geodésicas se cortan formando un cierto ángulo, en la proyección las rectas correspondientes a dichas geodésicas deben formar el mismo ángulo.

Ya tenemos los ingredientes, por lo que ya podemos comenzar a cocinar nuestro mapa perfecto. En un plano podemos definir triángulo como “región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos no alineados”, y de forma análoga podemos definir triángulo esférico en una esfera como “región de la esfera delimitada por tres círculos máximos que se cortan en tres puntos que no pertenecen al mismo círculo máximo”, como puede verse en la siguiente imagen:

Triángulo esférico

(Imagen tomada de aquí.)

Hemos dicho que nuestra proyección perfecta debería conservar las geodésicas, por lo que los arcos de círculo máximo que delimitan el triángulo esférico deberían convertirse en segmentos de recta en la proyección. Por tanto, la proyección de un triángulo esférico sería un triángulo plano.

Pero no sólo eso, sino que según hemos comentado los ángulos entre geodésicas también deberían mantenerse. Y, más concretamente, debería mantenerse la suma de ángulos de cada uno de nuestro triángulos. Pero vamos a ver que eso es imposible.

En una esfera podemos tomar un triángulo esférico en el que cada uno de sus tres ángulos mida 90º: tomamos un arco de círculo máximo desde el Polo Norte hasta el ecuador, después otro igual que forme un ángulo de 90º con el primero y después el arco de ecuador que une los puntos de corte de los arcos anteriores con el propio ecuador, como el que se ve en la figura siguiente:

Triángulo esférico

Por un lado, la suma de los ángulos de dicho triángulo es 270º. Por otro lado, si nuestro mapa fuera perfecto la proyección de este triángulo esférico sería un triángulo plano. En este triángulo plano, como en todos los triángulos planos, la suma de sus ángulos sería 180º. Pero entonces los ángulos no se conservan, ya que las sumas son distintas. Conclusión: no existen isometrías entre la esfera y el plano. O, lo que es lo mismo, no existen los mapas perfectos. Asunto zanjado…

…o no. Por un lado, el hecho de que no exista el mapa perfecto ha hecho que hayan aparecido multitud de proyecciones distintas que nos proporcionan mapas de la esfera terrestre de muchos tipos. En algunos de ellos se mantienen unas características y en otros otras. Sí, en todos hay algo que no se corresponde con la realidad, pero si hubiésemos tenido uno perfecto nos habríamos perdido todo el ingenio que han mostrado los que desarrollaron estas proyecciones.

Y por otro lado queda pendiente indagar un poco más en las razones por las que este mapa perfecto no existe. El argumento de los triángulos descarta su existencia, pero no profundiza en el porqué de la imposibilidad de esta construcción. Si no pasa nada, pronto os contaré más cosas sobre esto.


Fuentes:

  • El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.
  • Geodésica en la Wikipedia en español.

Esta entrada es mi primera aportación a la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Joaquín desde Matemáticas interactivas y manipulativas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

40 Comentarios

  1. Lo que no entiendo de este razonamiento (que sé que es verdad) es por qué exigir que se mantengan las distancias implica que las geodésicas tengan que ser rectas sobre el plano. Ese paso es el que no entiendo, el resto del razonamiento sí.

    Por cierto, como completitud, el térmico “geodésica” parece muy matemático. En mapas se suele usar el término “ortodrómica”, que es lo mismo pero comprensible por navegantes.

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  2. Juan, pues porque las mínimas distancias en la esfera (que se toman en las geodésicas) deben corresponder con distancias mínimas en el lano (y aquí estas mínimas distancias se toman en las rectas). Por eso las geodésicas deben transformarse en rectas.

    Y sobre lo del término “geodésica”, a mí me gusta más así, ya que un mapa es algo eminentemente matemático, aunque también sea usado por navegantes 🙂

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  3. Esta entrada del bloga habría sido interesante para Ptolomeo…

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  4. La consideración de La Tierra como una esfera ya supone que el mapa no es perfecto. Si complicado es representar una esfera (que no es desarrollable) sobre un plano, más aún lo es representar un elipsoide de revolución, que es la superficie de referencia que se emplea (para la planimetría) en cartografía.

    Me ha gustado el artículo (incluso me ha entrado nostalgia recordando los problemas de trigonometría esférica con sus kilométricas fórmulas). El tema de las proyecciones cartográficas es muy interesante y entretenido. Ojalá esta entrada sea el principio de una serie relacionada con el tema.

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  5. Quiza una forma de hacerlo (desde luego sin ser perfecto) sea utilizar la sombra de los continentes en un plano. Se coge un globo terraqueo transparente en el que los continentes son opacos, se cartografian las sombras… solucionado.

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  6. Personalmente creo que el mapa perfecto para todo no existe, pero sí podemos considerar que en algunas utilidades cierta proyección resulta perfecta, siendo esa misma proyección poco adecuada para otras utilidades.
    De ahí que cuantos más modos diferentes tengamos de hacer proyecciones, mejor y más podremos abarcar.

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  7. Podemos dibujar un mapa lo suficientemente grande como para que parezca plano. Lo ideal sería uno del mismo tamaño que la Tierra, escala 1:1. Pero uno más pequeño también cumpliría su función. Así que podemos preguntar: ¿cual es el mínimo tamaño de un mapa para que se confundan los ángulos con los reales y las áreas sigan siendo proporcionales?

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  8. Al leer la pregunta del título me recordó al antiguo problema de la cuadratura del círculo.
    Algo de lo que se habló aquí en Gaussianos
    https://gaussianos.com/quien-dijo-que-la-cuadratura-del-circulo-era-imposible/
    Aunque, claro, son cosas muy diferentes.

    Por otro lado, pensé en hacer una aproximación a la esfera mediante un poliedro… por ejemplo, un poliedro regular. ¿Cuál de ellos? Pues recordando otro artículo de Gaussianos
    https://gaussianos.com/que-poliedro-regular-es-mas-esferico/
    Sería el icosaedro el que tendría una superficie menor para un volumen dado.
    Proyectando el mapa esférico en las caras del icosaedro obtendríamos un mapa en el poliedro que podríamos llevar a un plano llevándolo a su desarrollo sobre un plano.
    Me puse a buscar y encontré este:

    http://www.actiludis.com/wp-content/uploads/2011/07/icosaedro-terrestre.png

    y este girado y con más detalle:

    http://3.bp.blogspot.com/-gwk3t0f1D0U/T9ioiTODPeI/AAAAAAAADyY/nvJLq8TNgkQ/s1600/mapaTierraIcosaedro.jpg

    Lógicamente el mapa no es perfecto… Por ejemplo, puede observarse que los paralelos al pasar de una cara triangular a otra cambian ligeramente de dirección, luego no son rectas sino una sucesión de segmentos rectos con inclinación cambiante. Pero me parece una aproximación muy interesante por varias razones:

    1. en cada cara del icosaedro las áreas son similares a las áreas reales. No hay unas zonas de la Tierra que vean su área deformada más que otras sino que todas las zonas tienen una deformación o error similar.

    2. en cuanto a las geodésicas, se da la interesante propiedad de que dentro de una cara triangular muchas de ellas son rectas o casi rectas… desviándose del camino recto al cambiar de una cara a otra.

    3. también mantiene razonablemente bien los ángulos

    En resumen, no cumple de forma perfecta ninguna de las 3 propiedades pero creo que tampoco defrauda ninguna de ellas de una forma exageradamente grave.

    Entonces me planteé lo siguiente… Vale, el icosaedro regular se acerca a la esfera, pero ¿no podemos acercarnos más? Está claro que con poliedros regulares no ¿qué tal si intentamos con poliedros irregulares? Hay otros poliedros que se acercan más a la esfera, como las cúpulas geodésicas de Buckminster Fuller… con multitud de caras triangulares que al estar muy cerquita de la esfera el error en cuanto a áreas, ángulos y demás sería muy pequeño en cada cara. En cuanto a áreas la fidelidad sería muy grande. El mayor fallo imagino que es para las geodésicas, que en el plano serían muchos segmentitos rectos que cambiarían frecuentemente de dirección convirtiéndose en algo similar a curvas.
    Pero otro problema que veo en este caso es que el desarrollo en el plano de dichos poliedros sería algo similar a un fractal (una frontera larga llena de pequeños recovecos o dientes). A diferencia del icosaedro donde las caras forman una teselación en el plano uniéndose unas con otras y pudiendo pasar de un triángulo a cada uno de los otros 3 que hacen frontera, en el caso de otros desarrollos de poliedros (dodecaedro regular o las estructuras de Fuller) no habría tanta conexión entre caras. Así que a pesar de tener una gran fidelidad en cuanto a áreas, la utilidad como plano es bastante dudosa.

    De todas formas me alegra haber encontrado el plano de tipo icosaedro terrestre convertible a poliedro 3D y me extraña no haber visto antes mapas de ese estilo.

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  9. Bueno, la Tierra que se puede ver como una esfera tiene curvatura de Gauss constante positiva (el inverso del radio), y el plano tiene curvatura 0.

    Por tanto no pueden siquiera ser localmente isométricas, ya que contradiría el Teorema Egregium de Gauss.

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  10. Quedaría difícil para esas medidas más hoy en día que hay tantos cambios en la esfera constantemente que muchas veces no los percibimos y más en una esfera que esta en crecimiento o decadencia cual predomina y que dicen de esa teoría que América de sur estaba pegada a áfrica

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  11. En este post se demuestra que no existe un mapa completo de la Tierra que satisfaga las propiedades exigidas (preservar áreas, geodésicas y ángulos). Pero… podría existir un mapa de un trocito más pequeño de la Tierra que si cumpla estas condiciones? Por ejemplo, podríamos tener un mapa perfecto de España?

    Quizá se pueda adaptar el razonamiento “global” a este caso más… “local”. A ver si a alguien se le ocurre 🙂

    Y tonibueno, usar geometría diferencial es trampa.

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  12. Otra cuestión:

    Existe algún mapa de la Tierra (o de un trocito) que preserve los ángulos? Sabemos que un mapa así no puede preservar distancias, pero quizá si distorsionemos lo suficiente las áreas podamos asegurarnos de que los ángulos se preservan… o no?

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  13. Y otra más:

    Si un mapa preserva el área… debe necesariamente preservar distancias?

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  14. Acido – existe un mapa de un elipsoide que preserve los ángulos?

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  15. ( …qué otras superficies admiten mapas perfectos? un donut? un cilindro? por qué si? por qué no? y mapas que preserven ángulos? qué es lo esencial en este caso?)

    A ver si la conversación se anima 🙂

    PS: La geometría diferencial sigue siendo trampa. Creo que ^DiAmOnD^ ya nos explicará todo esto con detalle en su momento, así que seguro que agradece si nos limitamos a hablar en términos sencillos e intuitivos, sin estropearle el pastel a nadie. Es perfectamente posible, y esto es lo más bonito de la geometría…

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  16. En lo del elipsoide me has pillado jajaja. Yo se que existe una proyección muy famosa llamada Mercator que preserva los ángulos y por eso es muy útil en navegación (marítima y supongo que aérea también) ya que puedes marcar una recta en el mapa plano… Y también es la usada en Google Maps y otros sitios. Y, como sabemos, al preservar los ángulos no se preservan otras cosas, en concreto las áreas… y en dichos mapas Australia parece tener menor área que Groenlandia y Brasil menor área que Alaska, cuando en realidad es a la inversa. Pero, si no me equivoco Mercator se basa en la proyección de una esfera sobre un cilindro… Así que en el caso de un elipsoide no estoy seguro.
    Intuitivamente me inclinaría a pensar que sí… pero ya sabemos que la intuición es mala consejera muchas veces y sería mejor que lo pensase más detenidamente.

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  17. una consulta: ¿y al revés? se puede armar una esfera mas o menos realista con un plano 2d, la simetria de la pregunta me dice que no, pero es mas intuición que otra cosa….

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  18. “¿qué otras superficies admiten mapas perfectos?”

    Sin usar geometría diferencial el caso del cilindro parece bastante evidente que sí.
    Basta imaginar el cilindro como una cartulina enrollada en forma de tubo, lo cual parece una transformación bastante fiel de cilindro a plano y viceversa.
    Si definimos los puntos del cilindro por unas coordenadas que sean un altura h y un ángulo fi (en radianes) al desenrrollar dicho punto se encontrará en coordenadas h en el eje vertical del plano y fi*R en el eje horizontal (siendo R el radio del cilindro)

    1. Distancias: Subir por el cilindro una altura h1 equivale a subir en el plano una distancia h1… avanzar en el cilindro un ángulo fi1, que equivale a una distancia física en el cilindro de fi1 * R … y se transforma en el plano en fi1*R exactamente. Si lo que tenemos es una composición de ambos movimientos también son equivalentes las distancias o caminos de mínima distancia (“geodésicas”). Y para que no haya problemas con dar más de una vuelta podemos imaginar que en el plano se repite cada 2*PI*R
    Aunque imagino que el concepto de distancia es mínima distancia y no distancia recorrida… y en ese caso con 3 copias en el plano es suficiente: el primer punto se sitúa en la copia central y para calcular la distancia al segundo punto se pinta dicho punto en las 3 copias y se elige la menor de las distancias.

    2. Áreas: el área de cualquier figura en la superficie del cilindro sería equivalente al área en el plano al desenrollar. Para mi es algo evidente, mucho más que una mera “intuicioncilla” pero lamento no dar una explicación más rigurosa. Aunque supongo que bastaría definirlo como integrales. El diferencial en un espacio se transforma en un diferencial en otro espacio y la integral total es siempre proporcional.

    3. Ángulos: la idea intuitiva de ángulo en el cilindro la imagino como avanzar una distancia muy pequeña (diferencial) de tal forma que es tan pequeña en comparación con el radio del cilindro que es aproximable por un movimiento en un plano en un ángulo, que vendría a ser una proporción entre los milímetros que se avanzan en vertical y los que se avanzan girando. Dicho ángulo sería equivalente al formado en el movimiento análogo que se produce al desenrollar en el plano.

    Un caso similar sería el del cono… que se puede formar haciendo un cucurucho. Se podría ver del mismo modo que en el cilindro que se conservan distancias/geodésicas , áreas y ángulos.

    El caso del donut (más conocido como “toro” en matemáticas) creo que no admite la transformación. Aunque no recurra a geometría diferencial razono recurriendo a conceptos topológicos y si no recuerdo mal no puede haber isometría entre una superficie con agujero y otra sin agujero :-p
    Uno podría imaginar el caso del cilindro / tubo … y sugerir que si curvas el tubo uniendo los extremos llegas a un toro. El problema es que si eso lo haces con un papel (uno largo para tener menos problemas) encontrarás pliegues y eso ya da una idea de que las cosas no van bien. Las distancias se contraen en una zona (el interior del toro, que tiene un radio menor) y no en otra así que algo falla: de esa forma no se conservan las distancias.

    ¿Y una cinta de Moebius (o Möbius)? Según lo entiendo es conceptualmente similar al cilindro en el sentido de que hay una “dirección” en la que das vueltas y otra en la que “subes” o “bajas”, de forma transversal a la anterior. Aparte de que puede construirse con una tira de papel. Ahora bien, si en lugar de eso fuese objeto de cierto espesor entonces sería análogo al toro y no sería posible.

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  19. hector04,

    no, si no se puede de una superficie al plano, entonces al revés (de plano a superfice) tampoco se podrá y, al contrario, si una superficie sí permite pasar a mapa plano entonces existe un mapa plano que se puede transformar en dicha superficie.

    Dado que las propiedades exigidas son equivalentes en ambos espacios (origen y destino) la única vía de escape que se me ocurre sería que la aplicación no fuese biyectiva… es decir, que cumpla unas propiedades en origen, que cumpla las mismas en destino pero que varios puntos del origen se transformen en uno en el destino. Pero esto no es compatible con la propiedad de distancias que exigimos… ya que dos puntos distintos en origen deben tener una distancia no nula entre ellos (por definición de métrica… o de la norma que defina la distancia del espacio métrico) y si esos puntos diferentes se transforman en uno en destino entonces la distancia en destino es cero (nuevamente por definición de métrica, la distancia de A a A debe ser 0) y esto entra en contradicción con la conservación de distancias. En resumen, puede haber una aplicación que transforme una esfera en unos puntos de un plano y que dicha aplicación no sea inyectiva, y por tanto no invertible. Ejemplo: una proyección normal de la esfera en plano, digamos “aplastando la pelota Tierra contra un ‘suelo’ situado bajo el polo Sur” (valga la burrada gravitatoria… ¿cómo va ha haber un ‘suelo’ exterior al Planeta Tierra? aunque, qué leches, podemos imaginar dicho ‘suelo’ como una nave espacial con forma de platillo supermasivo que de repente viene de turismo y el planeta Tierra cae hacia ella quedando espachurrado). Es una aplicación y no es invertible… pero dicha aplicación no es isométrica ya que los Polos Norte y Sur que son distantes quedan en destino espachurrados en el mismo punto (a distancia cero).

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  20. “Si un mapa preserva el área… debe necesariamente preservar distancias?”

    Mi primera impresión fue pensar que sí… Pero fue una “intuicioncilla” o “impulso tonto” de forma muy precipitada que enseguida descarté por pura lógica… De ser así ¿qué sentido tendría hablar de forma separada de preservar áreas y de preservar distancias? jajaja Ya se que ese razonamiento no es válido pero, vamos, al menos demuestra un poco de picardía.
    Ahora más en serio, si ya me decanté por pensar que no habrá que buscar un contraejemplo: un caso en el que se preserve el área pero no las distancias.
    Entonces imagino lo siguiente: una superficie rectangular de lado largo igual a 2 y lado corto igual a 1. Un lado corto apoyado en el “suelo” y el plano del rectángulo forma 60 grados con el “suelo”. Hago proyección en vertical sobre el “suelo” y el lado largo queda proyectado con una longitud de 2*cos 60 = 2*(1/2) = 1… así que resulta una superficie cuadrada. Dicha proyección mantiene las áreas. Toda figura sobre el rectángulo quedará achatada y, por tanto, con un área proporcional equivalente siempre a la mitad del original. Sin embargo, unas distancias se mantienen iguales (ej: lado corto, de 1 a 1) mientras que otras se ven reducidas (ejemplo: lado largo, de 2 a 1). Por tanto, no hay una proporción constante entre distancias origen y destino… no hay una constante k tal que:
    d(destino1, destino2) = k* d(origen1, origen2)

    (al menos eso era lo que yo entendía por preservar las distancias… y no se cumple)

    Sin embargo, en este ejemplo las geodésicas sí que se mantienen… El camino más corto en la superficie rectángular será una recta y en la superficie cuadrada protectada también es una recta que es la proyección de todos los puntos de la geodésica en origen.

    Entonces surgiría otra pregunta: Si un mapa preserva el área… debe necesariamente preservar geodésicas? Parece claro que no… pero aquí ya no se me ocurre de momento ningún contraejemplo. Aunque buscando sí se encuentra alguna.

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  21. Acido, Mercator se usa en navegación no porque conserve los ángulos (que lo hace), sino porque conserva la geodésica/ortodrómica: una línea recta en Mercator es la ruta más corta entre dos puntos y con Mercator es muy fácil calcularla.

    Pero Mercator tiene dos problemas: no conserva las distancias (aunque normalmente solo nos enseñen una escala “media” en los mapas Mercator, en realidad la escala varía con la latitud) y sobre todo las loxodrómicas son líneas curvas complejas (espirales). Loxodrómica=línea de rumbo de brújula constante. Las loxodrómicas son las líneas que en la realidad siguen los navegantes que solo tienen una brújula, porque lo que haces es seguir siempre el mismo rumbo de brújula. En el mar, la ortodrómica/geodésica se aproxima tranquilamente con unas cuantas loxodrómicas cada noche y se decide el rumbo del día siguiente.

    En el avión a bajas alturas (hasta 4km), directamente no se usa Mercator por estos dos problemas. El mapa escogido en aviones a baja altura es una proyección cónica conocida como “conforme de Lambert”. En esta proyección la escala de distancias tiene mucho menos error que en una Mercator y además las líneas rectas aunque ya no son “la distancia más corta”, son rumbos de brújula constantes y se pueden seguir fácilmente solo con una brújula sin hacer complejos cálculos para los que no tienes tiempo cuando vuelas.

    En aviones a mayores alturas ya no se usan brújulas sino radiofaros y las aerovías están perfectamente definidas y estandarizadas, así que se puede volver a usar Mercator o cualquier otro mapa porque ya da igual.

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  22. Jeje, en mi comentario de antes lo he dicho todo justo al revés. Lo corrijo.

    – En Mercator las líneas rectas son loxodrómicas. Es decir, líneas de rumbo de brújula constante. Usando en navegación marítima. Cada noche se aproxima de geodésica/ortodrómica (línea de distancia mínima) con varias loxodrómicas (líneas de rumbo constante)
    – En conforme de Lambert, las líneas rectas son geodésicas/ortodrómicas (líneas de distancia mínima). No tienen rumbo de brújula constante y se tiene que comprobar el rumbo a cada etapa con un plotter. Se usan en aviación a baja altura. Ventaja: sí que conserva distancias.

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  23. No me parece relacionado con la pregunta de este epígrafe plantearnos la posibilidad de transformar una superficie de cualquier tipo en una plana de modo que se conserven superficies o distancias o líneas geodésicas. Se trata de ver si existen formas planas que conserven alguna de dichas propiedades y sean representación de una esfera (o un elipsoide o un geoide) y ya hemos visto que es imposible. El transformar un mapa rectangular plano en otro cuadrado no se justifica demasiado porque ya tenemos la representación PLANA.
    Si en Google Maps utilizáis la opción “distancia” veréis gráficamente la curvatura de las geodésicas en la proyección de Mercator que creo que es la que utiliza.
    Quiero puntualizar que hay otra imposibilidad añadida. La distancia entre dos puntos de la superficie terrestre siempre será mayor en la realidad que la medida en el mejor de los mapas, ya que únicamente será exacta cuando tanto los dos puntos como todos los del trayecto entre ambos estén contenidos en un círculo máximo que contiene dicho trayecto. Es decir, la orografía hace perder precisión a las medidas.
    En realidad, digan lo que digan, EL MAPA ES EL TERRITORIO.

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  24. Gracias por tus comentarios, Juan.

    Aunque yo no se mucho de navegación aérea ya me parecía a mi que había algo extraño o “curioso” en tu primer comentario ya que no seguir las distancias mínimas supone cosas como mayor tiempo de vuelo y más gasto de combustible… y me parece muy fácil conseguir esa distancia mínima con un simple GPS y un simple instrumento de cálculo que te diga en cada momento la dirección a seguir.

    Lo que dices en tu segundo comentario ya me parece mucho más razonable. Y, si no entendí mal ese segundo comentario lo que decía yo era correcto: Mercator conserva los ángulos, y, por tanto, una ruta a ángulo costante (rumbo de brújula constante) se transforma en una recta sobre el plano Mercator. Esto imagino que era muy útil cuando no había GPS pero sí brújula. Seguramente ya no se use mucho porque con un simple smartphone (que tienen GPS y aplicaciones) puedes haces las mejores rutas.

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  25. JJGJJG,

    Mi comentario sobre una superficie plana rectangular proyectada sobre una superficie cuadrada era como respuesta a un comentario de Dani. Y no me parece que esté fuera del tema ya que el post original trata de transformaciones y las propiedades que se conservan (áreas, etc) así que no me parece mal hacerse preguntas similares y pensar sobre esos conceptos. La pregunta original del título ya la responde el propio post… así que sobre esa pregunta creo que poco hay que añadir, salvo cosas como lo del Teorema Egregium de Gauss que dijo tonibueno.

    En cuanto a que “La distancia entre dos puntos de la superficie terrestre siempre será mayor en la realidad” no estoy de acuerdo. Si vas subiendo montañas evidentemente la distancia recorrida será mayor… pero si bajas un valle que esté por debajo del nivel del mar podrías en el caso mejor seguir una perfecta recta en 3D, que como todos sabemos siempre será el camino mínimo, y, por supuesto, será menor que seguir la curva por la superficie de la Tierra.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Tierra_bajo_el_nivel_del_mar

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  26. Si vas “por la superficie de la tierra” de un punto a otro de dicha superficie cruzando un valle recorres más camino, en general, que si vas “por el aire” de punto a punto que es la distancia que medirías en un mapa. En el mapa plano mides la distancia en línea recta entre los puntos. Al ir por el valle, tu trayectoria, en sección vertical, es curva y por lo
    tanto es mayor. Si pasas por una elevación, como una montaña, también recorres más espacio que si fueras por un túnel, que es lo que medirías en un mapa plano.
    Perdón por no haber leído la pregunta de Dani que justifica claramente tu respuesta.

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  27. JJGJJG,

    Depende de la profundidad y la forma del valle. A lo que yo me refiero sería un camino totalmente recto, sin seguir la curvatura de la Tierra (sin ir por una geodésica a altitud cero), sino atravesando dicha curvatura.
    Me refiero al concepto de “cuerda de una circunferencia”, que siempre es menor que la longitud del correspondiente “arco de circunferencia”.
    Comienzas a altitud cero (distancia al centro de la Tierra igual a R, radio terrestre), desciendes (puntos de la cuerda de circunferencia más cercanos al centro, distancia al centro menor que R) y luego asciendes a altitud cero. A pesar de no suena nada intuitivo, has descendido y ascendido y a pesar de ello has descrito una perfecta línea recta, una distancia menor que un camino de altitud cero.

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  28. Hola,

    Justamente, tal como decís, cualquier mapa plano de la tierra serà distorsionado. Se puede aspirar a mantener las àreas, los ángulos o algunas distancias, pero no todas estas cosas a la vez.

    El mmaca (Museu matemàtiques Catalunya) obtuvo un premio de la Unesco el pasado marzo en el marco de Math for the planet Earth 2013. Se trata de un mòdulo diseñado por Daniel Ramos (UAB) que permite comprovar intuitivamente la distorsión de diversos mapas de la Tierra. Fué premiado por “comunicar de manera sencilla y interactiva aspectos matemàticos importantes para el planeta”.

    Os lo recomendamos

    Podéis bajar el programa (libre y de código abierto) en
    http://imaginary.org/program/the-sphere-of-the-earth .

    y una entrevista a Daniel Ramos sobre el programa

    primera parte

    http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2013/05/21/136257

    segunda parte

    http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2013/05/22/136261

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  29. Acido, la discusión podría eternizarse. Un mapa plano de la tierra es la proyección sobre un plano de una superficie irregular en 3D. No basta con que dos puntos de la superficie estén unidos por una trayectoria RECTA en el espacio para que su longitud coincida con la medida en el plano. Además la CUERDA de la que forma parte debe ser, en el espacio, paralela al plano de proyección. Si no lo es, la distancia real seguirá siendo mayor que la medida en el plano. La probabilidad de encontrar parejas de puntos que cumplan ambas condiciones es claramente ínfima. Corrijo mi anterior afirmación de que “siempre será mayor” por la de que “casi siempre será mayor” (a efectos prácticos es lo mismo), si eso te satisface más.

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  30. JJGJJG,
    Tampoco quiero alargar la discusión eternamente.
    Estoy de acuerdo contigo en que “casi siempre será mayor” ya que, por un lado, los lugares de la Tierra con altitud menor a cero son escasos. Por los datos que tengo calculo que es seguramente una superficie menor de 1 millón de km^2… frente a un total de unos 500 millones de km^2 (área de la superficie total de la Tierra) … así que tomando un punto de la Tierra al azar la probabilidad de que dicho punto de origen sea de altitud menor que cero sería 1/500 y lo mismo para el punto destino… y que ambos lo cumplan sería 1/250000. Pero no basta con que ambos puntos sean de altitud menor que cero sino que el camino entre esos puntos debería ser a altitud menor que cero, lo cual reduce todavía más las probabilidades, a bastante menos de 1 entre 1 millón. Probabilidad muy baja, pero no imposible.

    Por otro lado, no estoy de acuerdo con tu argumento (aunque, como dije, sí con la conclusión) en la última respuesta. Hablas de una recta y proyecciones. Cuando yo hablé de la cuerda resalté que es una línea recta pero no por el hecho de que su proyección de una longitud más exacta o de una longitud menor sino porque la línea recta es el camino más corto entre dos puntos. Y, en concreto, es un camino más corto que seguir un arco de circunferencia, que sería el camino que se sigue a altitud cero. En un mapa plano que conserve las distancias (y, por tanto, las geodésicas serían rectas en el plano) si en el plano mides 1 cm ese centímetro equivale, por ejemplo, a 1000 kilómetros en la superficie terrestre siguiendo la geodésica a altitud cero. Pero esos 1000 kilómetros si sigues una cuerda serían menos (unos 999 kilómetros, según calculé) así que la distancia “real” puede ser menor que la distancia que el mapa te dice (del mismo modo que si vas por una montaña la distancia “real” será mayor que la que calculas en el mapa). Como curiosidad, calculé que en el camino de la cuerda de 999 kilómetros pasarías por un punto de altitud -20 km !! lo cual no es realista pero puedes elegir un camino menor, de sólo 10 km, o puedes seguir otro camino que no sea exactamente recto pero que siendo a altitud menor que cero sea menor. Por ejemplo, el Mar Muerto está a -423 metros de altitud. Un barco que recorra el Mar Muerto aún siguiendo un arco de circunferencia será un arco de un radio 423 metros, que es un arco menor que el que se recorrería a altitud cero (por ejemplo, en el atlántico). 423 metros comparado con el radio de la Tierra (6 371 000) es el 0.0066% así que el camino recorrido en el Mar Muerto será un porcentaje muy pequeño menor, pero menor al fin y al cabo. Por cada distancia de 1 kilómetro en el mapa en realidad en el Mar Muerto son 6.6 cm menos. No es mucho, ya lo se, pero sigue siendo una distancia menor. No siempre es mayor la distancia recorrida en la realidad, que era lo que estábamos hablando.

    Los ejemplos que puse son realizables (navegar por el Mar Muerto, caminar por un valle, etc.) pero también se puede poner un ejemplo más irreal aunque quizá resulte más claro. Supongamos que señalamos en el mapa dos puntos del ecuador situados a máxima distancia. Dicha distancia es la mitad de la circunferencia terrestre, unos 20 000 kilómetros. Sin embargo, atravesando la Tierra hay un camino imaginario de distancia mucho menor que 20 000 km. Se trata de un diámetro que pasa por el centro de la Tierra y que tiene una longitud de 2*R … 2*6371 km = 12 742 km (mucho menor que 20 000 km).

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  31. Respecto a los comentarios sobre el camino recto, entiendo que este sería un pequeño crater que bajaria aprox nuestra altura desde donde estamos hasta la distancia del horizonte en el mar (no recuerdo si son 11 ó 13 Km) con forma de circunferencia de radio el de la tierra.

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  32. todo depende de donde se plantee la continuidad del mapa aunque eso tiene arreglo, en la realidad virtual se puede hacer un mapa plano que según subamos o bajemos o al contrario del centro de nuestro punto de vista se una por ese lado, pero imaginemos que se une en el ecuador, en tal caso cuanto más nos acerquemos a los polos mayor será el error. ¿cierto o no?

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    • si se puede crear figuras tridimensionales en papel , tan fácil como eso, ¿por que no se va a poder crear un mapa de la tierra? otra cosa es que sea más o menos comprensible.

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