Una de las aspiraciones del ser humano desde tiempo inmemoriales es la de construir un mapa plano perfecto. Es decir, representar correctamente nuestro planeta, esférico, en un plano. Y muchos han sido los intentos de construir dicho mapa, aunque ninguno ha llegado a fructificar. ¿Por qué? ¿Acaso no existe el mapa perfecto? Sea cual sea el caso, ¿existe algún argumento sencillo que responda a esa pregunta?
Bien, antes de responder creo que lo primero que hay que hacer es aclarar qué entendemos por mapa perfecto. Un mapa perfecto sería una proyección de la esfera terrestre en un plano que mantuviera las propiedades métricas de la propia esfera (salvo la escala). Es decir, la transformación que convierte a la esfera terrestre en un mapa plano debería ser una isometría, o, lo que es lo mismo, una aplicación que conserve las distancias (esto es, si dos puntos en la esfera están a distancia , los proyectados de esos puntos en el plano deben estar también a distancia
).
Esto tendría varias implicaciones en nuestro mapa, de entre las cuales vamos a destacar las siguientes:
- Se deben mantener las áreas: Una región en la esfera terrestre y su proyección en el plano deben tener la misma área, salvo el factor de escala.
- Se deben mantener las geodésicas: Una geodésica es una línea de longitud mínima que une dos puntos de una superficie y que está contenida en ella. En una esfera las geodésicas son los círculos máximos, que son las circunferencias obtenidas al cortar la esfera con planos que pasan por el centro de la misma (en un plano, las geodésicas son las rectas). En nuestro caso, las mínimas distancias deben mantenerse, por lo que, con nuestra proyección, una geodésica en la esfera debe convertirse en una recta en el plano.
- Se deben mantener los ángulos: Si en la esfera terrestre dos geodésicas se cortan formando un cierto ángulo, en la proyección las rectas correspondientes a dichas geodésicas deben formar el mismo ángulo.
Ya tenemos los ingredientes, por lo que ya podemos comenzar a cocinar nuestro mapa perfecto. En un plano podemos definir triángulo como «región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos no alineados», y de forma análoga podemos definir triángulo esférico en una esfera como «región de la esfera delimitada por tres círculos máximos que se cortan en tres puntos que no pertenecen al mismo círculo máximo», como puede verse en la siguiente imagen:
Hemos dicho que nuestra proyección perfecta debería conservar las geodésicas, por lo que los arcos de círculo máximo que delimitan el triángulo esférico deberían convertirse en segmentos de recta en la proyección. Por tanto, la proyección de un triángulo esférico sería un triángulo plano.
Pero no sólo eso, sino que según hemos comentado los ángulos entre geodésicas también deberían mantenerse. Y, más concretamente, debería mantenerse la suma de ángulos de cada uno de nuestro triángulos. Pero vamos a ver que eso es imposible.
En una esfera podemos tomar un triángulo esférico en el que cada uno de sus tres ángulos mida 90º: tomamos un arco de círculo máximo desde el Polo Norte hasta el ecuador, después otro igual que forme un ángulo de 90º con el primero y después el arco de ecuador que une los puntos de corte de los arcos anteriores con el propio ecuador, como el que se ve en la figura siguiente:
Por un lado, la suma de los ángulos de dicho triángulo es 270º. Por otro lado, si nuestro mapa fuera perfecto la proyección de este triángulo esférico sería un triángulo plano. En este triángulo plano, como en todos los triángulos planos, la suma de sus ángulos sería 180º. Pero entonces los ángulos no se conservan, ya que las sumas son distintas. Conclusión: no existen isometrías entre la esfera y el plano. O, lo que es lo mismo, no existen los mapas perfectos. Asunto zanjado…
…o no. Por un lado, el hecho de que no exista el mapa perfecto ha hecho que hayan aparecido multitud de proyecciones distintas que nos proporcionan mapas de la esfera terrestre de muchos tipos. En algunos de ellos se mantienen unas características y en otros otras. Sí, en todos hay algo que no se corresponde con la realidad, pero si hubiésemos tenido uno perfecto nos habríamos perdido todo el ingenio que han mostrado los que desarrollaron estas proyecciones.
Y por otro lado queda pendiente indagar un poco más en las razones por las que este mapa perfecto no existe. El argumento de los triángulos descarta su existencia, pero no profundiza en el porqué de la imposibilidad de esta construcción. Si no pasa nada, pronto os contaré más cosas sobre esto.
Fuentes:
- El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.
- Geodésica en la Wikipedia en español.
Esta entrada es mi primera aportación a la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Joaquín desde Matemáticas interactivas y manipulativas.
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Información Bitacoras.com…
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Lo que no entiendo de este razonamiento (que sé que es verdad) es por qué exigir que se mantengan las distancias implica que las geodésicas tengan que ser rectas sobre el plano. Ese paso es el que no entiendo, el resto del razonamiento sí.
Por cierto, como completitud, el térmico «geodésica» parece muy matemático. En mapas se suele usar el término «ortodrómica», que es lo mismo pero comprensible por navegantes.
Juan, pues porque las mínimas distancias en la esfera (que se toman en las geodésicas) deben corresponder con distancias mínimas en el lano (y aquí estas mínimas distancias se toman en las rectas). Por eso las geodésicas deben transformarse en rectas.
Y sobre lo del término «geodésica», a mí me gusta más así, ya que un mapa es algo eminentemente matemático, aunque también sea usado por navegantes 🙂
Esta entrada del bloga habría sido interesante para Ptolomeo…
[…] ¿Se puede construir un mapa perfecto de la Tierra? […]
La consideración de La Tierra como una esfera ya supone que el mapa no es perfecto. Si complicado es representar una esfera (que no es desarrollable) sobre un plano, más aún lo es representar un elipsoide de revolución, que es la superficie de referencia que se emplea (para la planimetría) en cartografía.
Me ha gustado el artículo (incluso me ha entrado nostalgia recordando los problemas de trigonometría esférica con sus kilométricas fórmulas). El tema de las proyecciones cartográficas es muy interesante y entretenido. Ojalá esta entrada sea el principio de una serie relacionada con el tema.
Quiza una forma de hacerlo (desde luego sin ser perfecto) sea utilizar la sombra de los continentes en un plano. Se coge un globo terraqueo transparente en el que los continentes son opacos, se cartografian las sombras… solucionado.
[…] […]
Personalmente creo que el mapa perfecto para todo no existe, pero sí podemos considerar que en algunas utilidades cierta proyección resulta perfecta, siendo esa misma proyección poco adecuada para otras utilidades.
De ahí que cuantos más modos diferentes tengamos de hacer proyecciones, mejor y más podremos abarcar.
Podemos dibujar un mapa lo suficientemente grande como para que parezca plano. Lo ideal sería uno del mismo tamaño que la Tierra, escala 1:1. Pero uno más pequeño también cumpliría su función. Así que podemos preguntar: ¿cual es el mínimo tamaño de un mapa para que se confundan los ángulos con los reales y las áreas sigan siendo proporcionales?
Está Google Earth, XD.
Aquí hay uno de los más reales. No es clásico pero muy real.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Fuller_projection_rotated.svg
Al leer la pregunta del título me recordó al antiguo problema de la cuadratura del círculo. Algo de lo que se habló aquí en Gaussianos https://gaussianos.com/quien-dijo-que-la-cuadratura-del-circulo-era-imposible/ Aunque, claro, son cosas muy diferentes. Por otro lado, pensé en hacer una aproximación a la esfera mediante un poliedro… por ejemplo, un poliedro regular. ¿Cuál de ellos? Pues recordando otro artículo de Gaussianos https://gaussianos.com/que-poliedro-regular-es-mas-esferico/ Sería el icosaedro el que tendría una superficie menor para un volumen dado. Proyectando el mapa esférico en las caras del icosaedro obtendríamos un mapa en el poliedro que podríamos llevar a un plano llevándolo a su desarrollo sobre… Lee más »
Bueno, la Tierra que se puede ver como una esfera tiene curvatura de Gauss constante positiva (el inverso del radio), y el plano tiene curvatura 0.
Por tanto no pueden siquiera ser localmente isométricas, ya que contradiría el Teorema Egregium de Gauss.
[…] Una de las aspiraciones del ser humano desde tiempo inmemoriales es la de construir un mapa plano perfecto. Es decir, representar correctamente nuestro planeta, esférico, en un plano. Y muchos han sido los intentos de construir dicho mapa, aunque ninguno ha llegado a fructificar. ¿Por qué? ¿Acaso no existe el mapa perfecto? Sea cual sea el caso, ¿existe algún argumento sencillo que responda a esa pregunta? […]
Quedaría difícil para esas medidas más hoy en día que hay tantos cambios en la esfera constantemente que muchas veces no los percibimos y más en una esfera que esta en crecimiento o decadencia cual predomina y que dicen de esa teoría que América de sur estaba pegada a áfrica
En este post se demuestra que no existe un mapa completo de la Tierra que satisfaga las propiedades exigidas (preservar áreas, geodésicas y ángulos). Pero… podría existir un mapa de un trocito más pequeño de la Tierra que si cumpla estas condiciones? Por ejemplo, podríamos tener un mapa perfecto de España?
Quizá se pueda adaptar el razonamiento «global» a este caso más… «local». A ver si a alguien se le ocurre 🙂
Y tonibueno, usar geometría diferencial es trampa.
Otra cuestión:
Existe algún mapa de la Tierra (o de un trocito) que preserve los ángulos? Sabemos que un mapa así no puede preservar distancias, pero quizá si distorsionemos lo suficiente las áreas podamos asegurarnos de que los ángulos se preservan… o no?
Sí existe, Dani ¿quieres saber como se llama?
Y otra más:
Si un mapa preserva el área… debe necesariamente preservar distancias?
Acido – existe un mapa de un elipsoide que preserve los ángulos?
( …qué otras superficies admiten mapas perfectos? un donut? un cilindro? por qué si? por qué no? y mapas que preserven ángulos? qué es lo esencial en este caso?)
A ver si la conversación se anima 🙂
PS: La geometría diferencial sigue siendo trampa. Creo que ^DiAmOnD^ ya nos explicará todo esto con detalle en su momento, así que seguro que agradece si nos limitamos a hablar en términos sencillos e intuitivos, sin estropearle el pastel a nadie. Es perfectamente posible, y esto es lo más bonito de la geometría…
En lo del elipsoide me has pillado jajaja. Yo se que existe una proyección muy famosa llamada Mercator que preserva los ángulos y por eso es muy útil en navegación (marítima y supongo que aérea también) ya que puedes marcar una recta en el mapa plano… Y también es la usada en Google Maps y otros sitios. Y, como sabemos, al preservar los ángulos no se preservan otras cosas, en concreto las áreas… y en dichos mapas Australia parece tener menor área que Groenlandia y Brasil menor área que Alaska, cuando en realidad es a la inversa. Pero, si no… Lee más »
una consulta: ¿y al revés? se puede armar una esfera mas o menos realista con un plano 2d, la simetria de la pregunta me dice que no, pero es mas intuición que otra cosa….
«¿qué otras superficies admiten mapas perfectos?» Sin usar geometría diferencial el caso del cilindro parece bastante evidente que sí. Basta imaginar el cilindro como una cartulina enrollada en forma de tubo, lo cual parece una transformación bastante fiel de cilindro a plano y viceversa. Si definimos los puntos del cilindro por unas coordenadas que sean un altura h y un ángulo fi (en radianes) al desenrrollar dicho punto se encontrará en coordenadas h en el eje vertical del plano y fi*R en el eje horizontal (siendo R el radio del cilindro) 1. Distancias: Subir por el cilindro una altura h1… Lee más »
hector04, no, si no se puede de una superficie al plano, entonces al revés (de plano a superfice) tampoco se podrá y, al contrario, si una superficie sí permite pasar a mapa plano entonces existe un mapa plano que se puede transformar en dicha superficie. Dado que las propiedades exigidas son equivalentes en ambos espacios (origen y destino) la única vía de escape que se me ocurre sería que la aplicación no fuese biyectiva… es decir, que cumpla unas propiedades en origen, que cumpla las mismas en destino pero que varios puntos del origen se transformen en uno en el… Lee más »
«Si un mapa preserva el área… debe necesariamente preservar distancias?» Mi primera impresión fue pensar que sí… Pero fue una «intuicioncilla» o «impulso tonto» de forma muy precipitada que enseguida descarté por pura lógica… De ser así ¿qué sentido tendría hablar de forma separada de preservar áreas y de preservar distancias? jajaja Ya se que ese razonamiento no es válido pero, vamos, al menos demuestra un poco de picardía. Ahora más en serio, si ya me decanté por pensar que no habrá que buscar un contraejemplo: un caso en el que se preserve el área pero no las distancias. Entonces… Lee más »
Acido, Mercator se usa en navegación no porque conserve los ángulos (que lo hace), sino porque conserva la geodésica/ortodrómica: una línea recta en Mercator es la ruta más corta entre dos puntos y con Mercator es muy fácil calcularla. Pero Mercator tiene dos problemas: no conserva las distancias (aunque normalmente solo nos enseñen una escala «media» en los mapas Mercator, en realidad la escala varía con la latitud) y sobre todo las loxodrómicas son líneas curvas complejas (espirales). Loxodrómica=línea de rumbo de brújula constante. Las loxodrómicas son las líneas que en la realidad siguen los navegantes que solo tienen una… Lee más »
Jeje, en mi comentario de antes lo he dicho todo justo al revés. Lo corrijo.
– En Mercator las líneas rectas son loxodrómicas. Es decir, líneas de rumbo de brújula constante. Usando en navegación marítima. Cada noche se aproxima de geodésica/ortodrómica (línea de distancia mínima) con varias loxodrómicas (líneas de rumbo constante)
– En conforme de Lambert, las líneas rectas son geodésicas/ortodrómicas (líneas de distancia mínima). No tienen rumbo de brújula constante y se tiene que comprobar el rumbo a cada etapa con un plotter. Se usan en aviación a baja altura. Ventaja: sí que conserva distancias.
No me parece relacionado con la pregunta de este epígrafe plantearnos la posibilidad de transformar una superficie de cualquier tipo en una plana de modo que se conserven superficies o distancias o líneas geodésicas. Se trata de ver si existen formas planas que conserven alguna de dichas propiedades y sean representación de una esfera (o un elipsoide o un geoide) y ya hemos visto que es imposible. El transformar un mapa rectangular plano en otro cuadrado no se justifica demasiado porque ya tenemos la representación PLANA. Si en Google Maps utilizáis la opción «distancia» veréis gráficamente la curvatura de las… Lee más »
Gracias por tus comentarios, Juan. Aunque yo no se mucho de navegación aérea ya me parecía a mi que había algo extraño o «curioso» en tu primer comentario ya que no seguir las distancias mínimas supone cosas como mayor tiempo de vuelo y más gasto de combustible… y me parece muy fácil conseguir esa distancia mínima con un simple GPS y un simple instrumento de cálculo que te diga en cada momento la dirección a seguir. Lo que dices en tu segundo comentario ya me parece mucho más razonable. Y, si no entendí mal ese segundo comentario lo que decía… Lee más »
JJGJJG, Mi comentario sobre una superficie plana rectangular proyectada sobre una superficie cuadrada era como respuesta a un comentario de Dani. Y no me parece que esté fuera del tema ya que el post original trata de transformaciones y las propiedades que se conservan (áreas, etc) así que no me parece mal hacerse preguntas similares y pensar sobre esos conceptos. La pregunta original del título ya la responde el propio post… así que sobre esa pregunta creo que poco hay que añadir, salvo cosas como lo del Teorema Egregium de Gauss que dijo tonibueno. En cuanto a que «La distancia… Lee más »
Si vas «por la superficie de la tierra» de un punto a otro de dicha superficie cruzando un valle recorres más camino, en general, que si vas «por el aire» de punto a punto que es la distancia que medirías en un mapa. En el mapa plano mides la distancia en línea recta entre los puntos. Al ir por el valle, tu trayectoria, en sección vertical, es curva y por lo tanto es mayor. Si pasas por una elevación, como una montaña, también recorres más espacio que si fueras por un túnel, que es lo que medirías en un mapa… Lee más »
JJGJJG, Depende de la profundidad y la forma del valle. A lo que yo me refiero sería un camino totalmente recto, sin seguir la curvatura de la Tierra (sin ir por una geodésica a altitud cero), sino atravesando dicha curvatura. Me refiero al concepto de «cuerda de una circunferencia», que siempre es menor que la longitud del correspondiente «arco de circunferencia». Comienzas a altitud cero (distancia al centro de la Tierra igual a R, radio terrestre), desciendes (puntos de la cuerda de circunferencia más cercanos al centro, distancia al centro menor que R) y luego asciendes a altitud cero. A… Lee más »
Hola, Justamente, tal como decís, cualquier mapa plano de la tierra serà distorsionado. Se puede aspirar a mantener las àreas, los ángulos o algunas distancias, pero no todas estas cosas a la vez. El mmaca (Museu matemàtiques Catalunya) obtuvo un premio de la Unesco el pasado marzo en el marco de Math for the planet Earth 2013. Se trata de un mòdulo diseñado por Daniel Ramos (UAB) que permite comprovar intuitivamente la distorsión de diversos mapas de la Tierra. Fué premiado por «comunicar de manera sencilla y interactiva aspectos matemàticos importantes para el planeta». Os lo recomendamos Podéis bajar el… Lee más »
Acido, la discusión podría eternizarse. Un mapa plano de la tierra es la proyección sobre un plano de una superficie irregular en 3D. No basta con que dos puntos de la superficie estén unidos por una trayectoria RECTA en el espacio para que su longitud coincida con la medida en el plano. Además la CUERDA de la que forma parte debe ser, en el espacio, paralela al plano de proyección. Si no lo es, la distancia real seguirá siendo mayor que la medida en el plano. La probabilidad de encontrar parejas de puntos que cumplan ambas condiciones es claramente ínfima.… Lee más »
[…] Física atómica y nuclear Método científico Medicina Sort Share gaussianos.com 0 minutes […]
[…] ¿Se puede construir un mapa perfecto de la Tierra? Primera aportación de Gaussianos. Autor: Miguel Ángel Morales Medina (@gaussianos) […]
JJGJJG, Tampoco quiero alargar la discusión eternamente. Estoy de acuerdo contigo en que “casi siempre será mayor” ya que, por un lado, los lugares de la Tierra con altitud menor a cero son escasos. Por los datos que tengo calculo que es seguramente una superficie menor de 1 millón de km^2… frente a un total de unos 500 millones de km^2 (área de la superficie total de la Tierra) … así que tomando un punto de la Tierra al azar la probabilidad de que dicho punto de origen sea de altitud menor que cero sería 1/500 y lo mismo para… Lee más »
Respecto a los comentarios sobre el camino recto, entiendo que este sería un pequeño crater que bajaria aprox nuestra altura desde donde estamos hasta la distancia del horizonte en el mar (no recuerdo si son 11 ó 13 Km) con forma de circunferencia de radio el de la tierra.
[…] ¿Se puede construir un mapa perfecto de la Tierra? (1) […]
[…] En geografía usamos diferentes #proyeccionescartograficas. No puede construirse un mapa perfecto. He aquí el porque: http://t.co/EmwavdEKla […]
yo creo que con este articulo si se podría construir un mapa perfecto de la tierra:
Los triángulos de luz y el sintético a priori
http://culturacientifica.com/2013/07/23/los-triangulos-de-luz-y-el-sintetico-a-priori/
Sobre el autor:César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance
Curvatura del espacio tiempo en wikipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura_del_espacio-tiempo
yo creo que con esta figura : hectohexecontadiedro
http://www.korthalsaltes.com/es/model.php?name_en=hectohexecontadihedron
pone hasta como construirlo en papel, ¿no se va a poder hacer eso con satélites?
se podría construir un mapa más cercano a la realidad, perfecto no perdón pero si muy aproximado con + ó – margen de error.
lo que es, es que no se entendería que no es lo mismo.
todo depende de donde se plantee la continuidad del mapa aunque eso tiene arreglo, en la realidad virtual se puede hacer un mapa plano que según subamos o bajemos o al contrario del centro de nuestro punto de vista se una por ese lado, pero imaginemos que se une en el ecuador, en tal caso cuanto más nos acerquemos a los polos mayor será el error. ¿cierto o no?
también podría tener esta forma para que fuera continuo el mapa en papel, también tiene su correspondiente recorte en papel y por lo tanto plano: oloide tallados
http://www.korthalsaltes.com/es/model.php?name_en=faceted_oloid
me resulta difícil a mi saber exactamente la forma que tiene, pero en plano (papel) se comprende mejor
si se puede crear figuras tridimensionales en papel , tan fácil como eso, ¿por que no se va a poder crear un mapa de la tierra? otra cosa es que sea más o menos comprensible.
aquí esta la forma que tiene tridimensional y en movimiento, es increíble e impresionante.
http://www1.ttcn.ne.jp/~a-nishi/oloid/z_ani_2.html
un oloide
BUENAS TARDES. SOY EL PROFESOR JORGE CHANGIR DESDE VENEZUELA. NO SOY MATEMÁTICO NI FÍSICO, PERO SOY UN AFICIONADO Y APASIONADO A ESTAS ESPECIALIDADES. HACE MÁS DE 10 AÑOS DESARROLLÉ POR MI CUENTA, UNA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA, EN DONDE LOGRÉ REPRESENTAR EL ÁREA DE LA SUPERFICIE DE UNA ESFERA BAJO UNA CURVA EN UN PLANO CARTESIANO. AL INTEGRAR DICHA FUNCIÓN, ME DA EXACTAMENTE 4*PI*r^2. HE TRATADO DE PUBLICARLO EN ALGUNA REVISTA DE PUBLICACIONES MATEMÁTICAS SIN OBTENER RESPUESTA.
Estimado profesor Changir,
Dice usted que representó una esfera en un plano manteniendo las áreas, y lo hizo hace 10 años… pero lamento decirle que eso no es ninguna novedad ¡existen desde hace más de 2 siglos! Incluso alguna de hace más de 400 años. Se llaman proyecciones equiárea o equivalentes. Es normal que no lo publiquen. Si intento publicar que he descubierto la rueda tampoco lo van a publicar.
¡Ánimo!
Ah, y recuerde que no es muy correcto escribir todo con letras mayúsculas, es mejor utilizar también letras bajas.
Saludos.