Terminamos hoy con los problema de la Olimpiada Matemática de Baleares 2013, que se celebró el pasado 11 de enero, con el sexto problema, tercero de la segunda sesión. El enunciado es el siguiente:

i) Demostrar que si a,b son números reales positivos cualesquiera, entonces

\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b} \geq \cfrac{4}{a+b}

¿En qué condiciones se da la igualdad?

ii) Dados dos números reales positivos u,v tales que u+v=1, demostrar que

\cfrac{u}{1+v}+\cfrac{v}{1+u} \geq \cfrac{2}{3}

Decir cuándo es válida la igualdad.

iii) Demostrar que si x,y,z son números reales positivos tales que x+y+z=1, entonces

\cfrac{x}{1+y+z}+\cfrac{y}{1+z+x}+\cfrac{z}{1+x+y} \geq \cfrac{3}{5}

¿En qué casos hay igualdad?

Que se dé bien este último problema.

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