Terminamos hoy con los problema de la Olimpiada Matemática de Baleares 2013, que se celebró el pasado 11 de enero, con el sexto problema, tercero de la segunda sesión. El enunciado es el siguiente:
i) Demostrar que si
son números reales positivos cualesquiera, entonces
¿En qué condiciones se da la igualdad?
ii) Dados dos números reales positivos
tales que
, demostrar que
Decir cuándo es válida la igualdad.
iii) Demostrar que si
son números reales positivos tales que
, entonces
¿En qué casos hay igualdad?
Que se dé bien este último problema.
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Respuesta al problema i):
Hacemos denominador común en la parte izquierda:
Multimplicamos la ecuación por
, luego aquí tenemos la primera condición para que se cumpla 
Desarrollamos el paréntesis:
Multiplicamos la ecuación por
, como son dos enteros positivos, esta operación no cambia el signo de la desigualdad:
Restamos a los dos términos de la ecuación el número
:
Agrupamos la parte izquierda:
Que se cumple siempre, independientemente del valor de a y b, solamente teniendo en cuenta la condición que hemos impuesto al principio:
.
La condición que planteas de que b+a no sea 0 está implícita en las condiciones del problema, que dice que tanto a como b son números reales POSITIVOS cualesquiera.
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Llevo casi un par de años siguiéndoos, y siempre he disfrutado mucho con el blog. Hoy me ha dado por comentar, así que allá va. A mí el más sencillo me ha parecido el problema ii). Aunque no sea muy relevante, si y son reales positivos tales que , en realidad y estan entre el y el : . Lo que si uso es que (despejando ; ) y lo meto en la desigualdad a demostrar. Así queda Así tenemos una función de una sola variable a la izquierda de la desigualdad: que (usando las derivadas) alcanza su mínimo en… Lee más »
El primer apartado viene de la desigualdad aritmética-armónica , que dice que para números reales positivos, . Esto se demuestra, por ejemplo, a partir de la desigualdad de Cauchy, o multiplicando y aplicando que . El apartado i es un caso especial de esto, con , y la igualdad sólo se da cuando . Para demostrar la segunda desigualdad sumamos , de manera que queda . Podemos factorizar la parte de la izquierda como . El primer factor es igual a , mientras que el segundo, por la desigualdad demostrada en el apartado i, es mayor o igual a .… Lee más »
Gat
No veo el tercer punto.
la fórmula final, en el numerador lleva 1 en xez de x,y,z
¿me lo puedes explicar?
Juanjo, en la fórmula de la media aritmética-armónica hay un ‘n’ que pasándola al otro lado se transforma en n^2 (en nuestro caso es la fórmula original sólo que invertida), dejándolo todo en 1 en el lado donde hemos «quitado» la ‘n’. En los casos ii) y iii) está igual; no hay ningün paso de más.
O si te refieres al paso previo, lo que ha hecho es sumar 3 al lado derecho y 3 = (1+y+z)/(1+y+z) + (1+x+y)/(1+x+y) + (1+x+z)/(1+x+z) al lado izquierdo. Y luego como todos los numeradores quedan de la forma 1+x+y+z, lo saca como factor común