Una de las cuestiones que se comentan en muchas ocasiones como ayuda para mejorar la enseñanza de las matemáticas es acercar las matemáticas a la vida cotidiana, presentar ejemplos cercanos a la realidad con los que las matemáticas tengan alguna relación, aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de situaciones más o menos reales. Pero a veces, con ciertos ejemplos, conseguimos justamente lo contrario, apartar las matemáticas de la realidad. Vamos a ver un ejemplo con un problema más o menos conocido, el problema de los cocos y el mono.

Al parecer, el problema lo planteó por primera vez el escritor Ben Ames Williams, y su enunciado puede ser más o menos como sigue:

Una embarcación, en la que viajan cinco marineros, naufraga durante la noche a causa de una gran tormenta. Cuando despiertan se encuentran en lo que parece ser una isla y casi automáticamente comienzan a buscar comida, comprobando que lo único que parece haber para comer en aquel lugar son cocos. Ni cortos ni perezosos empiezan con la recolección de los mismos…pero se les hace la noche. Sin posibilidad de continuar deciden repartirlos la mañana siguiente y se van a dormir, no sin antes advertir la presencia de un mono cerca de ellos que los observa con cierto recelo.

El caso es que al rato de estar durmiendo uno de los marineros despierta con un hambre tremenda, por lo que decide realizar el reparto y comerse su parte. Divide los cocos en cinco montones de, digamos, a cocos cada uno y se da cuenta que con esta división sobra un coco. Como acto de buena fe, y mientras se come sus cocos, le da el sobrante al mono. Cuando termina se vuelve a dormir.

Al rato despierta un segundo marinero por la misma razón, el hambre, y realiza la misma operación. Realiza una división de los cocos que quedan (que para él son los que tenían antes de irse a dormir) en cinco montones, sobrando de nuevo un coco. Y, como el anterior, mientras se come su parte, pongamos que de b cocos, le da el que sobró al mono. Al termina de comer vuelve a su sueño.

Y así sucesivamente. Se levanta un tercer marinero, realiza la división, se come sus, pongamos, c cocos, y el que sobra se lo da al mono. Y el cuarto, que se come d cocos y le da al momo el que sobró, y el quinto, que se zampa sus e cocos y entrega el que sobró en el reparto a nuestro amigo el mono.

Cuando amanece los marineros reparten los cocos que han quedado entre ellos y no sobra ninguno

La pregunta es: ¿cuál es el menor número de cocos que había en el montón inicial?

(El mono, sin comerlo ni beberlo, se ha llevado 5 cocos. Imagen tomada de aquí.)

Conocíais el problema, ¿verdad? Seguro que sí. Y seguro que muchos de vosotros, lo conocierais o no, habéis pensado en utilizar ecuaciones diofánticas para resolverlo. Pues estáis en lo cierto. Llamemos N al número inicial de cocos y plateemos las ecuaciones de cada paso:

  • Paso 1: N=5a+1
  • Paso 2: N-a-1=5b+1
  • Paso 3: N-a-1-b-1=5c+1
  • Paso 4: N-a-1-b-1-c-1=5d+1
  • Paso 5: N-a-1-b-1-c-1-d-1=5e+1
  • Reparto final: N-a-1-b-1-c-1-d-1-e-1=5f

Despejando y sustituyendo de arriba a abajo obtenemos la siguiente ecuación diofántica:

1024N=15625f+8404

El problema se reduce entonces a resolver esta ecuación diofántica, para lo que podéis usar el método de resolución de ecuaciones diofánticas que os enseñé en esta entrada. Con él obtenemos el siguiente resultado para el número inicial de cocos:

N=3121+15625t, con t \in \mathbb{Z}

Como, evidentemente, el número de cocos debe ser positivo y nos piden el menor, el valor de t que debemos utilizar es t=0, con lo que obtenemos que el número inicial de cocos recogidos por los marineros es

N=3121

¿Cómo que 3121 cocos? ¿Cómo podrían haber recogido estos cinco marineros tantos cocos en una sola jornada de recolección? Algo irreal esta cantidad. Pero calculando cuántos se comieron cada uno es cuando nos reafirmamos en nuestra idea de que este problema no tiene ninguna relación con la realidad. Según estos datos, el primer marinero se comió 624 cocos, el segundo 499, el tercero 399, el cuarto 319 y el quinto 255 cocos, auténticas barbaridades como podéis ver.

¿Tiene sentido plantear un problema así con ese enunciado? Teniendo en cuenta que con él parece que pretendemos darle algo de realismo al problema, planteando una situación cuanto menos verosímil, ¿no sería mejor hacerlo con un enunciado que haga que la solución tenga algo de coherencia? Es como el típico problema cuyo enunciado es algo así:

Si tengo 80 sandías y me como 50, ¿cuántas me quedan?

¿No se ha podido usar otro número u otra cosa que no sean sandías? Porque ya me diréis qué tiene de realismo comerse 50 sandías de una sentada…

Quizás a más de uno todo esto os parezca una tontería, pero bajo mi punto de vista no lo es, ni mucho menos. La enseñanza de las matemáticas está cada vez más complicada, posiblemente por muchas razones que no tienen nada que ver con lo que comento hoy, pero lo está. Y creo que cosas así no hacen más que contribuir a que estas dificultades en la enseñanza sean cada vez mayores.

Es en entradas como ésta en las que espero con más ganas vuestros comentarios, tanto si sois docentes como si sois alumnos, padres de alumnos o simplemente personas que se interesan por las matemáticas y que se preocupan por su enseñanza y quieren expresar su opinión. Muchas gracias de antemano.

Conocía el problema desde hace ya tiempo, pero lo volví a ver en Mujeres matemáticas, de Joaquín Navarro, donde, hablando de todo un poco, la ecuación diofántica está mal, ya que da como término independiente el valor 11529 cuando en realidad es 8404.

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