El polinomio es bien conocido como generador de números primos. Bueno, genera unos cuantos, no nos vayamos a emocionar. Como decía, se sabe que este polinomio genera números primos distintos para valores de
desde 0 a 39, como ya vimos aquí hace ya bastante tiempo. Este hecho parece ser que era conocido ya por Euler, y la lista de esos números primos es la siguiente:
Para el resultado es 1681, que no es primo ya que
.
Cierto es que mediante interpolación podemos construir un polinomio que genere los números primos que queramos a partir de los valores que elijamos (por ejemplo, un polinomio que dé unos ciertos números primos concretos para
desde 0 a 1000), pero posiblemente el grado del mismo nos quede enorme y con unos coeficientes tremendos. Lo interesante del polinomio de Euler es su bajo grado, 2, y sus sencillos coeficientes.
Y aquí la pregunta es obligada: ¿qué otros polinomios de expresión sencilla generan una aceptable cantidad de números primos?
Pues sí, hay más. Uno de ellos, por ejemplo, es , que es prácticamente igual al anterior…y que en realidad no aporta mucho al asunto. Da primos para
de 0 a 40 (es decir, uno más que el anterior), pero de 1 a 40 salen los mismos que en el caso anterior y el que da de más es repetido. Concretamente es el 41, que aparece para
igual a 0 y a 1.
Bien, vamos a ver si encontramos otro un poco más elaborado en lo que se refiere al listado de primo que proporciona al calcular su valor en una cierta cantidad de números naturales.
El otro día podía verse este tweet en @AlgebraFact:
x^2 – 2999x + 2248541 produces 80 primes from x = 1460 to 1539.
— Algebra Fact (@AlgebraFact) agosto 6, 2012
Vaya, 80 primos, eso es un gran avance…pues no, en realidad no lo es. ¿Por qué no, si da el doble que los anteriores? Porque los primos que da para
de 1460 a 1539 son los mismos que da
para
de 0 a 39. ¿Y por qué son 80 entonces? Porque salen repetidos. En concreto aparece esa lista de primos en orden descendiente
y después se repite la lista en orden ascendente. ¿Por qué ocurre esto? Muy sencillo, este polinomio se consigue apartir del polinomio de Euler mediante la transformación . Vamos, que esencialmente no aporta nada al que ya teníamos.
Lo mismo ocurre con , que da el mismo listado que el anterior al derivar del primero, el de Euler, y que se consigue a partir de él mediante la transformación
.
Bueno, después de todo esto seguro que muchos os preguntáis si existen polinomios que aporten realmente algo a esto de generar números primos. Pues la respuesta es sí. Os pongo algunos ejemplos:
, que da 11 primos distintos para
desde 0 hasta 10.
, igual que el anterio.
, que da 29 primos distintos para
desde 0 hasta 28.
, que da 45 primos distintos para
desde 0 hasta 44.
Y unos cuantos más, como podéis ver en este cuadro sacado de Prime-Generating Polynomial:
¿Habrá más? Sí, evidentemente, mucho más complejos que estos tanto en grado como en coeficientes, o quizás no tanto. Y, por qué no, ¿habrá algún polinomio que dé siempre números primos? Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.
Y para finalizar una cuestión. Volvamos al polinomio de Euler, . Tiene cierto interés ver qué ocurre con dicho polinomio, en el sentido de generar primos, si cambiamos 41 por otro número. ¿Para qué números tendremos un polinomio parecido? Concretamente buscamos los números enteros positivos
tales que
genera primos desde
hasta
. Bien, pues se sabe que eso solamente ocurre con 6 números enteros, que son los siguientes:
que se denominan números afortunados de Euler (Euler’s lucky numbers). ¿Por qué esos exactamente? Pues, sin entrar en detalles, se sabe que unos ciertos números, los llamados números de Heegner, son los únicos números enteros positivos que cumplen que
[MODE MATEMÁTICAS ON]
no son cuadrados perfectos y que el anillo de enteros del cuerpo
es de factorización única.
[MODE MATEMÁTICAS OFF]
Los números de Heegner son los siguientes:
Por otro lado se sabe que los números afortunados de Euler son los enteros positivos para los que
, siendo
un número de Heegner. Mediante una sencilla comprobación vemos que los únicos posibles son los comentados anteriormente:
y que el número de Heegner asociado al 41 es el 163…
…163, interesante número. ¿Que no? Echadle un ojo al punto 2 de este post que escribí hace ya un tiempo…
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La generación de números primos mediante polinomios es fascinante.A lo mejor esto nos puede aportar algo de luz y orientación sobre la distribución de los números primos y su relación con la Hipótesis de Riemann,que nos guíe en encontrar la estructura de los ladrillos de la Matemática.Un saludo.
Me gustaría romper una lanza por el más humilde polinomio generador de primos: n+2, que nos entrega dos primos para los valores 0 y 1
Dijistes dos? https://youtu.be/5NZImsdl_HQ?t=1m
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: El polinomio es bien conocido como generador de números primos. Bueno, genera unos cuantos, no nos vayamos a emocionar. Como decía, se sabe que este polinomio genera números primos distintos para valores de desde 0 a 39, c……
Como
, es obvio que si
ó
son múltiplos de 41 (y ninguno de ellos es cero), entonces
es compuesto.
Ahora bien, puede probarse que hay infinitos números enteros
para los que
es compuesto y tales que ni
ni
son múltiplos de 41. ¿Alguien se atreve a demostrarlo?
Para Manzano.
Muy pronto voy a publicar tres fórmulas que nos dice la forma que debe tener «n» para que n^2+n+p sea un número compuesto, donde p es un número afortunado de Euler.
P(n)=n^2+n+41, P(n)=n^2+n+17 p(n)=n^2+n+11 (estos son los principales)
¿Vale esto?
Para n=43k+1 tendremos:
(43k+1)(43k+2)+41=43^2*k^2+43k*2+43k +2+41= múltiplo de 43, compuesto para cualquier valor de k.
Corrijo, para cualquier valor de k que no haga ni a 43k+1 ni a 43k+2 múltiplos de 41, que siguen siendo infinitos.
Interesante post.
Por comentar algo, además de polinomios, existen otras posibles funciones generadoras de números primos.
Y un teorema bastante curioso. El Teorema de Mills:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Mills
El artículo original de Mills, aquí:
http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/home.html
Breve y conciso.
En el libro de Marcus du Sautoy «La música de los números primos» recuerdo haber leído algo así como que existía una especie de fórmula que genera números primos… en ocasiones. Dependía de un montón de parámetros y para la mayor parte de ellos salían valores no aceptables (negativos, creo recordar), pero cuando salía algo razonable era primo. Hablo de memoria, creo que era algo que Du Sautoy contaba después de las máquinas de Turing pero que vamos, que la fórmula como tal no servía para nada…
En la novela «Cita con Rama» (Arthur C. Clarke) uno de los protagonistas utiliza la serie del 41 para componer una contraseña (que, dicho sea de paso, activa un artefacto nuclear… y hasta ahí puedo contar).
No se menciona el polinomio, sino la curiosa propiedad que tiene esa serie de que la serie compuesta por las diferencias entre términos consecutivos es 2,4,6,8… Este hecho lo utiliza el personaje como regla mnemotécnica para componer la contraseña: empezando en 41 y sumando la serie anterior hasta el término 40.
Hola David,
Yo también he leido “La música de los números primos” ( imprescindible lectura ), y la fórmula que comentas creo recordar que tenía 26 variables y como bien dices, en la mayoría de los casos el resultado no era válido (negativos)
Muy interesante el trabajo de Mills. Es precioso el teorema (y su demostración).
A ratos me gusta jugar con las matemáticas y explorar nuevos caminos. En una ocasión c descubrí un binomio que genera infinidad de números primos, pero que, por supuesto , no es definitivo para obtener todos. Este binomio el siguiente : x= 6n+/- 1. Siendo x el número primo obtenible y n un número natural cualquiera. Compruébenlo y ya me contarán…
He estado trabajando durante 3 años sobre una función recurrente en la cual se encuentran todos los números primos, además de otros compuestos, pero si todos los números primos para un n.
Esta función es peculiar, porque tiene una propiedad especial, ya que todos los elementos son primos entre si, la existencia de números primos hermanos en la distancia y de la cual deduzco la descomposición polinómica de los números primos, etc…
Por ejemplo
29173=2310*12 + 210*6 + 30*6 + 6*2 * 2*0 + 1
Además me interesan mucho sus opiniones. Un saludo
http://arithmoswaki.blogspot.com.es/
Descubrí un fórmula para «n» que al evaluar su valor en n^2+n+p donde p es un número afortunado de Euler, p=2,3,5,1,17,41 siempre da un número compuesto y sus factores siempre son mayores a p, en el caso de p=41, sus factores dan mayores a 41 y generalmente son grandes. saludos. pronto lo publicaré.
¿y si existiera una función polinómica muy simple que SIEMPRE generara números primos (infinitos aunque no todos los números primos) cada vez que se ingresara un valor de «n» que a priori cumpliera una simple propiedad?
Sabemos que p(n)=n^2+n+41 genera números primos desde n=0 hasta n=39. y qué pasa con los números primos que genera el polinomio con n superior a 39 y todavía más qué pasa con los n superiores a 39 que generan compuestos. Los valores de n que genera siempre un número compuesto en p(n)=n^2+n+41 siempre tiene la forma: n= (s^2*x^2-s(s+2)x+41*s^2+s+1)*(k-1)+s*x^2-(s+1)x+41*s donde s,x,k son enteros y s diferente de 0. Además la factorización en dos factores de los compuestos p(n)=n^2+n+41 tienen la forma, p(s,x)*p(s,x,k) donde: p(s,x)= s^2*x^2-s(s+2)*x+41*s^2+s+1 y p(s,x.k)=-p(s,x)*(k-1)^2+(2n+1)*(k-1)+x^2-x+41 estas fórmulas funcionan para todos los polinomios p(n)=n^2+n+p donde p es un número afortunado… Lee más »
He encontrado que el tiinomio X2 + 17x -1 produce números primos. Remplazando a x por números del 1 al 100, 73 resultados resultan ser números primos