Comenzamos el período laboral del mes de septiembre con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:
Sea
una sucesión de números racionales no negativos verificando que
para cualesquiera
. Probar que la sucesión contiene al menos dos términos iguales.
Que se os dé bien.
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No sé si no lo he entendido bien. La sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… creo que cumple las condiciones y no tiene términos iguales ¿es así?
Pues a mi me sale que la sucesión
para todo 
natural, cumple las hipótesis, pero no la tesis. En efecto, en primer lugar, para cada 
natural, 
. Además, dados 
naturales cualesquiera, llamo 
. Entonces, 
. Y que yo recuerde, no hay dos números naturales repes.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Comenzamos el período laboral del mes de septiembre con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado: Sea una sucesión de números racionales no negativos verificando que para cualesquiera . Probar que la sucesión cont……
Evidentemente algo falla en el enunciado … A parte de
, otros contraejemplos se pueden obtener haciendo 
y adjudicando a cada 
con p primo, cualquier primo, sin repetirlos.
Cierto, la condición que satisface la sucesión debe ser
.
Arreglado el enunciado :).
Si p, q son naturales cualesquiera, tenemos que x(p^r)=r•x(p)
Sean p y q primos distintos. Supongamos que x(p)=a/b, x(q)=c/d.
Entonces x(p^bc)=bc•x(p)=ac=ad•x(q)=x(q^ad) siendo p^bc y q^ad distintos.
Puedo demostrar que el enunciado es cierto con valores enteros de x(i) si no imponemos la condición de que m y n sean distintos entre sí. 1) El primer término tiene que ser 0, ya que x1 + x2 = x2. 2) Asigno a cada x(i) con i primo el valor de un número primo diferente (no necesariamente el propio valor de i. 3) en función de esto valores calculo todas las x(i) con valores de i compuestos. 4) Siempre podré encontrar dos parejas de primos x(m), x(n) y x(p), x(q) tales que sus sumas sean iguales. Esto provocaría que… Lee más »
Gracias pcrdeg por resolver totalmente mientras yo escribía mi solución parcial y ahorrarme esfuerzos adicionales para completarla.
JJGJJG encuentro algunos errores en tu razonamiento, en el punto 4) tenemos que
y no 
como indicas, y al punto 5) no le encuentro mucho sentido, por ejemplo, elegimos 
y dices que vas a usar dos índices cuyo producto sea dicho compuesto, es decir, 
y 
para encontrar la repetición, pero en realidad lo único que sabes es que 
que no tiene nada que ver con el 
de partida.
Me parece que estas confundiendo subíndices de los términos de la sucesión y los propios términos.
Un saludo.
Sea a, y b números naturales, X_{n}=a/b , b*X_{n}=a, y por inducción con la hipótesis podemos demostrar que b*X_{n}=X_{n^b}=a
Tomamos X_{2} y X_{3} (vale para cualquier número tal que los dos sean primos entre sí)
X_{2}=a/b
X_{3}=c/d
con a b c y d números naturales.
b*X_{2}=a c*b*X_{2}=a*c
d*X_{3}=c a*d*X_{3}=a*c con esto vemos que c*b*X_{2}=a*d*X_{3}=a*c
por la propiedad inicial sacada de la hipótesis X_{2^(c*b)}=X_{3^(a*d)}=a*c
2^(c*b)!=3^(a*d) son distintos porque los exponentes son naturales, y primos entre sí. Por lo tanto existen dos terminos de la sucesión que son iguales a a*c
juas, no había actualizado… ahora veo que ya lo han resuelto. 🙂
Para Matemáticas07: Tienes razón en que está mal escrito el razonamiento 4), lo que debí escribir es 4) Siempre podré encontrar dos parejas de primos x(m), x(n) y x(p), x(q) tales que sus sumas sean iguales. Esto provocaría que x(m.n) y x(p.q) valgan x(m) + x(n) = x(p) + x(q), siendo m.n distinto de p.q. En cuanto al punto número 5), debo reconocer que, teniendo clara la idea, lo he redactado fatal. Lo que quiero expresar, utilizando tu ejemplo, es lo siguiente: si elijo x7 = 6, bastará buscar la m y la n donde están los primos 2 y… Lee más »
En respuesta a JJGJJG: En principio, del enunciado no se puede extraer que exista algún
tal que 
sea un número primo, por tanto no puedes asegurar que puedas encontrar esas dos parejas de primos de las que hablas. Lo mismo para el punto 5), no tienen porque existir 
con 
. Aun en caso de existir, esto te aseguraria que 
, es decir, 
Un saludo.
En respuesta a JJGJJG: En principio, del enunciado no se puede extraer que exista algún
tal que 
sea un número primo, por tanto no puedes asegurar que puedas encontrar esas dos parejas de primos de las que hablas. Lo mismo para el punto 5), no tienen porque existir 
con 
. Aun en caso de existir, esto te aseguraria que 
, es decir, 
Un saludo.
Efectivamente, me he obcecado con los primos.
La sucesión
verifica las condiciones, ya que 0 es racional no negativo, y la suma de cualesquiera dos términos de la sucesión es 0.
Con esto sólo quiero mostrar que hay al menos una sucesión que verifica lo pedido. La cuestión ahora está en demostrar que vale para cualquier sucesión que verifique las condiciones de la hipótesis.
Resulta interesante observar que si
y suponemos que existen 
tales que 
entonces sucede que
(porque 
)
(porque 
)
, entonces
De donde podemos afirmar que
Por ejemplo, sean
entonces 
pero también 
entonces 
y así podemos ahora razonar que 
de donde se sigue que 
, etc.