Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:
Sea
un número natural y
un número primo. Probar que si
y
, entonces
es un cuadrado perfecto.
A por él.
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¿Qué es la barra vertical? Ya por curiosidad.
Información Bitacoras.com
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Rafa, la barra vertical significa «divide a».
Por lo tanto, lo que se dice es que:
divide a 
y que 
divide a 
El término n^3-1 tiene un divisor de la forma n^2+n+1: n^3-1=(n^2+n+1)(n-1)
Si p=n^2+n+1, 4p-3=4n^2+4n+4-3=(2n+1)^2, luego 4p-3 es un cuadrado.
p-1=n^2+n+1-1=(n+1)n, luego n divide a p-1.
Mmonchi, para que tu demostracion fuera completa tendrias que demostrar
que es necesario que p=n^2+n+1, no?
Que parece que lo es y tambien parece que no hace falta que p sea primo, ejemplo:
n=4
p=21 (no primo)
n**3-1=63
4p-3=81 =9^2 (cuadrado)
n^2+n+1 = p
interesante!
Sí, rtomas, lo de antes no es una demostración porque está al revés. Pero no veo cómo darle la vuelta, además de que como has visto no uso en ningún momento que p sea primo.
p|(n^3-1). Como n^3-1=(n^2+n+1)(n-1) y p>n y además p primo se sigue p|(n^2+n+1)
Pongamos, por tanto, pk=n^2+n+1. Notemos que como p>n, k<n+1.
Ahora bien n|(pk-k) es decir n|(n^2+n+1-k).
Por la anterior cota de k<n+1 se sigue k=1 y p=n^2+n+1
A partir de ahí como indicó Mmonchi.
He estado dándole unas vueltas a algo que me acabo de fijar y no veo el porqué, pero no os parece que n^2+n+1 genera «muchos primos» en comparación a los no primos (al menos con n bajo)? En principio, la proporción de primos menores a un cierto x natural tendía a ln(x)/x y al irse x a infinito está claro que la proporción tira para cero, pero si hacemos la misma historia sólo con los elementos imagen de n^2+n+1 al final eso se va necesariamente a 0? O más generalmente hay alguna función polinómica de N en N donde al… Lee más »
Parece que en ese tema hay bastantes agujeros, véase: http://en.m.wikipedia.org/wiki/Bunyakovsky_conjecture
Por otro lado, la hipótesis
implica que 
: de esto y la desigualdad en la línea anterior se seguiría que
lo cual es claramente absurdo.
Efectivamente. De hecho eso es lo que te lleva a decir que como p|(n-1)(n^2+n+1) entonces p|(n^2+n+1). No obstante ahí radica la importancia de que p sea primo. Si no lo fuese ese razonamiento es inválido pues los factores de p podrían estar repartidos entre (n-1) y (n^2+n+1), pero al ser p primo eso no puede pasar.
Daniel, no me cuadra que
implica 
.
?
¿No será
Si k vale n+1, pk=p(n+1) >= (n+1)(n+1) = n^2+2n+1. Lo cual es imposible pues pk=n^2+n+1
Voy a intentar generalizar el Problema
I) Inicialmente seria:
Notemos que
II) Generalizando seria:
Notemos que
donde:
jejeje, ‘del problema resuelto todos hacen generalizaciones’, parafraseando el refrán, ‘del árbol caído todos hacen leña’.