Nueva entrega de los problemas propuestos en la edición digital de El País…con novedades. La primera es que se amplía el número de problemas a 40, por lo que el de esta semana no será el último (la segunda la comento casi al final del post). La cuestión es que ayer jueves se publicó el problema número 30 de los, ahora, 40 problemas que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.
Este problema treinta se titula Apuesta arriesgada y lo propone Santiago Fernández Fernández, asesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia de Bilbao y responsable de la sección de retos matemáticos del portal DivulgaMAT. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.
Recordamos que se sorteará la colección de libros «Las matemáticas nos rodean» entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 10 de octubre.
Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.
La segunda de las novedades tiene que ver con los propios problemas. Se anima a los lectores a que envíen sus propios desafíos. El objetivo es que al menos tres de los diez que quedan sean de los enviados por los lectores. Si estás interesado en enviar una propuesta de problema debes enviar un mail a desafiolectores@gmail.com antes de que termine el martes 18 de octubre con los siguientes datos:
- Texto del desafío, y de la solución propuesta, en formato texto. Puede ser acompañado de un doc o pdf con un desarrollo más extenso que explique cómo se presentaría y, en su caso, los dibujos o imágenes necesarios.
- Nombre y dos apellidos y lugar de residencia.
- Teléfono de contacto.
Se pide que los desafíos sean razonablemente originales y, en particular, que no se encuentren fácilmente en Internet. No hay limitación en cuanto al tema, pero tienen que poder resolverse con matemáticas de nivel medio o elemental. Y, evidentemente, los autores de estos tres desafíos recibirán la colección de libros que reciben los ganadores de cada semana.
Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos
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Todavía no me he puesto a plantearlo, pero creo que el problema de esta semana se resuelve igual que uno de los anteriores.
Después me pondré a ello y os diré qué tal me ha ido 😉
El problema es sencillo según está planteado.
Es fácil de generalizar si la cantidad que necesita el apostador es múltiplo de la que tiene inicialmente.
Se complicaría un poco quitando la restricción de hacer siempre la apuesta más arriesgada y permitiendo otras más conservadoras.
Más se complica aún si la cantidad deseada no es múltiplo de la inicial.
Información Bitacoras.com…
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Es un proceso estocastico muy simple.
Creo que es el problema peor expuesto y explicado de todos.
¿Por qué no es razonamble apostar 3000? Si ya, porque nos pasaríamos de los 5000 que necesitamos, pero eso hay que decirlo.
Tampoco aclara si los 1000 con los que partimos cuentan para los 5000, o se necesitan 5000 de ganancia neta. Se puede deducir que sí que cuentan de lo anterior, pero si tenemos que andar descifrando el enunciado…
¿Y lo de los billetes al principio a que viene?
A mí tampoco me ha quedado muy claro cómo pueden ser las apuestas. Yo deduzco lo siguiente, pero no estoy del todo seguro:
– Si tenemos 1000, apostamos 1000.
– Si tenemos 2000, apostamos 2000.
– Si tenemos 3000, apostamos 2000.
– Si tenemos 4000, apostamos 1000.
– Si tenemos 5000, dejamos de apostar.
¿Estoy equivocado? A ver si me podéis sacar de la duda cuanto antes, que si no la solución varía bastante.
Rafalillo, eso es lo que he entendido yo :).
Rafalillo, yo creo que las posibilidades son las que tu planteas. Sive, como siempre tienes razón. Me ha parecido una presentación bastante «tosca», de hecho he tenido que leer el enunciado por escrito pues tenía mis dudas. No se si me he equivocado pero lo he resuelto en un momento. Un pequeño árbol de probabilidad, y una simple observación en cuanto a una recurrencia… y listo.
Rafalillo con esa teoría es como lo he resuelto yo.
Pues, en tal caso, como la solución es un número y no es plan decirlo, diré como pista que la probabilidad que nos piden en un valor que está entre el 0% y el 50%.
Un economista resolvería este problema sin pestañear, y le sobrarían datos (da igual que haya que hacer forzosamente la apuesta más arriesgada o no, o que la cantidad deba ser un multiplo de 1000).
Creo que el problema se resuelve fácilmente.
Si no me he equivocado, el resultado es un número natural (o sea un porcentaje «natural», XX%)…
Entonces… ¡todos los racionales son naturales! XD XD XD (no me he podido contener Guille, es sólo una broma).
Buenas, ¡sabéis cuántos problemas más van a poner? ¿O este es el último?
Este es un caso en el que la solución intuitiva resulta ser correcta, lo que es poco habitual en estadística.
La verdad es que es muy, muy facilito … Y el enunciado no lo encuentro tan confuso, la verdad. Y la apuesta, más que arriesgada, raya casi en lo desesperado …
En cuanto al número de problemas, parecen que amplián a 10 más, al igual que la colección.
Rafalillo, anda que te has lucido dando esa pista. El que no sea capaz de llegar a lo que has dicho, desde luego que no va a ser capaz de resolver el problema aún usando tu pista.
Por cierto, de nuevo un problema bastante fácil. Y no es que sea fácil, es que anteriormente salió uno muy muy muy parecido, pero bastante más complicado, mucho más complicado. Habiendo salido el anterior, este no tiene ningún sentido, pero bueno.
Me sorprende que ninguno digáis si os vais a animar a enviar una propuesta de desafío. A mí me gustaría, pero no me veo capaz ni de idearlo ni de luego exponerme a escarnio público si me graban, que aquí las críticas son feroces.
Pues a mí el desafío me ha gustado bastante, creo que el bilbaino lo expone con gracia y desde luego este problema es la puerta para muchos de los problemas estocásticos. Efectivamente se puede resolver de varias maneras, en todas ellas seguramente recurrirá a árboles, recurrencia, conceptos de esperanza. Yo ya mandé mi solución y espero que los de la RSME pongan problemas en esta línea, ya que los problemas difíciles los hay a montones. Por cierto el enunciado está clarito, o al menos a mí me lo parece.
Yo ya he pensado en mandar un problema. Pienso titularlo «Gol en el Camp Nou».
@Prodem yo he criticado muchas veces la exposición del problema, y también he aplaudido cuando me ha parecido digna de aplauso. Por ejemplo, el profesor José Manuel Bayod hizo una exposición magistral en la solución de su desafío, y así lo dije aquí. Vamos, es que ese video es para ponérselo a todo el que aspire a enseñar matemáticas o lo que sea, e ir explicando que es lo que hace bien el profesor y por qué es tan importante que se enseñe así. Y que conste que no conozco al profesor de nada. No me parece mal que se… Lee más »
@Manuel. Me alegro de que te animes. A mí me sigue dando corte. Creo que me dolería que se dijese que mi explicación es «de frenopático» (DRAE: frenopatía. Enfermedad mental).
Sive, un economista quizá permitiría que nuestro jugador inmortal se endeudara, como hace todo el mundo. Así, la primera apuesta sería de 4.000, y pasaría a tener 5.000 ó -3.000.
Y siguiendo este sistema la probabilidad de conseguir los 5.000 sería 1, ¿No?
Vale, no llegaría a 1 porque en algún momento alguna agencia de calificación haría que le cortaran el crédito, pero tendría una probabilidad alta de conseguir los 5.000.
Sive, ahora más en serio, lo que comentas es que da lo mismo lo que apueste nuestro jugador. Si te entiendo bien, quieres decir que si por ejemplo en cada jugada apuesta siempre 1.000 euros, la probabilidad de conseguir los 5.000 euros también será …..
Esto, ¿es fácil demostrarlo?.
#Jesus, si no puede endeudarse, es fácil plantear un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (las probabilidades de ganar partiendo de 1000, 2000, 3000 y 4000 euros), que da el mismo resultado que en las condicones planteadas en el problema inicial.
Ignacio Larrosa, no se si quieres decir que tu sistema de ecuaciones da el mismo resultado para el caso de empezar con 1000 euros o que es igual la probabilidad de ganar empezando con cualquiera de las cantidades, lo cual no es cierto.
Hola a todos! ha sido el primer problema que me he atrevido a solucionar y estoy muy contento, me gustaria hablar con alguien que haya usado lo mismo que yo (una suma infinita) para ver si la función que he diseñado a trozos es aceptable o no. Espero no haberme excedido demasiado si así lo consideras Diamond borralo. Un saludo
Ignacio Larrosa, ¿qué colección es la que amplían, la de los libros RBA que dan los domingos?
Acabo de resolver el problema y me ha parecido muy interesante, desde luego no es evidente para personas con poca formación matemática. La presentación del desafío está bien y se ve que el profesor tiene ganas de comunicar. Quiero felicitar a los del País por esta iniciativa, que dure. Gracias
@Jesus, mi comentario era una pista, para que al menos se pueda conseguir el resultado al cual hay que llegar.
Un economista lo valoraría en términos de riesgos y ganancias. Como en este caso la ganancia es un dato, podría calcular el riesgo fácilmente, y llegaría al resultado correcto.
Cambiando ligeramente el problema, probablemente el economista se equivocaría en su análisis, pero no es este caso.
#JJGJJG, decía que si empieza con 1000 euros y siempre apuesta 1000 euros, la probabilidad de alcanzar 5000 es la misma que en el enunciado del problema. Desde luego que no es la misma que si empieza con 2000, 3000 ó 4000; lo que decía es que con estas cuatro probabilidades se puede formar un sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas que se resuelve muy fácilmente. #alex_cadiz, lo que se es lo que pone en El PAÍS: «Los desafíos matemáticos de EL PAÍS se prorrogan diez semanas más. Prometimos 30 retos para celebrar el centenario de la Real… Lee más »
#Leumas, puede que tu solución sea correcta, pero no es necesario conocer el valor de la suma infinita de una progresión geométrica para resolver este problema #Sive, si llamamos p(k,N) a la probabilidad de conseguir N-mil euros partiendo de k-mil euros con las condiciones de apuesta más arriesgada del enunciado, lo que nos pide el problema es p(1,5) y eso lo tenemos claro y también está claro el valor de p(k,5). Me imagino el valor de p(1,N) y de p(k/N) pero no sé cómo se demuestra. Con la estrategia más sencilla de aportar siempre 1000 si que veo fácil demostrar… Lee más »
Y por cierto, no se por qué le sigo llamando «apuesta más arriesgada» si resulta que tenemos la misma probabilidad de conseguir el objetivo con esta apuesta que con cualquier otra menos arriesgada.
Leumas, sí, se puede hacer con una suma infinita, me imagino lo que has hecho. Pero también te comento que puede salir bastante más fácil. Fíjate en lo que pasa tras los 4 primeros términos de esa serie a ver si puedes reducirlo a algo más sencillo.
#Zurditorium, lo de «suma infinita» puede asustar un poco, pero no es más que la suma de una progresión geométrica de razón menor que 1, que se enseña en 3º de ESO … No sabría decir muy bien cual es el método más sencillo de los dos. para un estudiante de ESO mínimamente aplicado, yo creo que el de la progresión.
Gracias por molestaros en contestar mi post ^^ cuando salga publicada la solución diré lo que hice, aunque seguramente ya lo sabéis jaja. Un saludo!
¿Alguna pista para demostrar el caso general? Es decir, que la probabilidad de conseguir N partiendo de 1 (o partiendo de k si se quiere más general) es …., siguiendo la estrategia de apuesta del enunciado. O más general, apostando cada vez lo que se quiera, sin pasarnos en caso de ganar y sin endeudarnos en caso de perder. #Ignacio, aunque lo de sencillo es muy subjetivo, creo que si hay que elegir entre resolver una suma infinita o resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es más probable que el estudiante aplicado de la ESO elija la… Lee más »
Por cierto Zurditorium, me gustaría, si quieres que una vez que se acabe el plazo de este problema publicases ese algoritmo más sencillo para ver a qué te refieres porque la verdad es que ahora mismo no caigo.
¿Y plantearlo como una cadena de Markov con 6 estados (dos de ellos absorbentes) y resolver el sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas asociado a dicha cadena?
Hola.
Más fácil aun. Es un juego justo, haga lo que haga, la esperanza de ganar debe ser …
En este juego sólo hay 2 posibilidades, o ganamos 4 euros (con probabilidad p), o perdemos 1 euro (con probabilidad 1-p).
La esperanza es la suma de los productos de las ganancias por la probabilidad, así que en este caso
E = 4 * p – 1 * (1-p)
El juego se llama justo cuando la esperanza es cero.
Supongo que te refieres a que como intuitivamente el juego es justo, E debe valer 0, y por tanto p = 1/5.
Me han gustado mucho las explicaciones del profesor Fernández en su resolución.
Como ha comentado patricia90, ya hay solución de este desafío:
Una de cada cinco
La solución es algo más sencilla aplicando recursividad
P = (1/2)^3+ ((1/2)^4 + (1/2)^4·P
Y sale P=1/5
Por cierto, la probabilidad de conseguir 6000€ sí es de un sexto, por idénticos motivos.
¡Qué curioso! El redactor de la solución ha leído gaussianos. Mirad lo que dice en el antepenúltimo párrafo y mi comentario (de 10 de octubre a las 20:13). Es casi una copia literal.
En resumen, la probabilidad de conseguir N mileuros partiendo de k mileuros es k/N, y da igual que se haga siempre la apuesta más arriesgada o cualquier otra posible.
Y a falta de otra demostración nos conformaremos con la que se basa en que la esperanza debe ser 0 por ser un juego justo. Que además queda tan sencilla…
(N – k) p – k (1-p) = 0
p = k/N
A mi sin duda me falta fundamentación teórica en este tema … Pero ¿por qué podemos suponer a priori de que se trata de un juego justo?
Ignacio: porque en cada jugada la esperanza de la ganancia es nula y, por tanto, como el juego es una acumulación de jugadas y la esperanza de una suma es la suma de esperanzas, resulta que la esperanza de ganancia en el juego es nula.
En ese caso, la demostración basada en la esperanza nula no tiene ninguna pega.
Mi solución era la del árbol de probabilidades, que nos lleva de forma inmediata a una progresión geométrica de primer término 3/16 y razón 1/16, que me sigo pareciendo más directa y sencilla que plantear un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque sea muy fácil de resolver, como este.
Sí. En este caso la cadena de Markov es como matar moscas a cañonazos.