Nueva entrega de los problemas propuestos en la edición digital de El País. Esta semana toca el problema número 32 de los, ahora, 40 problemas que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.
Este problema treinta y dos se titula Partículas en movimiento y lo propone Sofía Nieto, estudiante de doctorado en Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.
Recordamos que se sorteará la colección de libros «Las matemáticas nos rodean» entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 24 de octubre.
Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.
Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.
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Yo tengo una demostración no formal (medio cuenta la vieja, medio visualización en 3D), pero no sé si será válida o no.
Los egipcios lo tendrían claro
Información Bitacoras.com…
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JJGJJG: ¿Por qué los egipcios? ¡¡La historia que los relacione no la conozco!!
Mimetist, decir la relación es dar mi solución.
No se si vuestras demostraciones tendran algo que ver con la mia, 50 > 30
Saludos
La mía (2 ó líneas) no tiene nada que ver con eso.
Vale, a 50 o más cm., no nos caben 5 puntos. ¿Pero cabrán a 45 cm? ¿O a qué distancia? Esto, mejor para otro día.
Bueno, no sé si estará bein, pero a mi me sale que a45 cm. sí caben los 5 puntos. De hecho, el límite me da a 48,98 cm. Pero insisto en que no sé si está bien.
Pues yo creo que ya lo tengo más o menos. Me falta redactarlo. Y desde luego no me parece una demostración evidente. Es que una cosa es decir: sí, parece claro que no caben los cinco puntos a 50 cm o más, porque los envio a los vértices y no me caben… y otra hacer un razonamiento concluyente. A mi me ha costado lo suyo, y he tenido que echar mano de una idea que se ha utilizado mucho en matemáticas, y que está relacionada con las palomas…
Pues conociendo a las palomas no es que haga falta complicarse la vida mucho para demostrarlo… El límite anda por 40 y pico, sí, pero los 50 están puestos aposta para hacer el problema accesible y directo.
A mí me ha costado dar con la idea feliz para resolver el problema propuesto por la guapísima Sofía, es decir, que me ha gustado muchísimo (me refiero ahora al problema).
Por lo que dice Pablo mi solución se parece a la suya, aunque los cajones que yo he encontrado para las palomas-partículas dejan abierta la posibilidad de que la distancia mínima entre dos de ellas sea exactamente de 50cm, y tengo que hacer un razonamiento adicional para descartar ese caso.
Una respuesta breve, es suficiente. Números pocos, conocer el teorema de Pitágoras para comprobar una distancia, y para de contar. Lo de para de contar, va en serio porque con uno, dos, tres y cuatro, se acaba la serie. En esta ociasión no da tiempo a decir que no hay quinto malo, sencillamente no hay quinto.
A mi también me costó la «idea feliz», que pienso es la misma que la vuestra. Variante 1: Cajas más grandes, puntos a la misma distancia (50 cm). Triángulo de 60x60x60 -> NO caben 5 puntos. (éste es el original de Sofía) Triángulo de 90x90x90 -> NO caben 10 puntos. Triángulo de 120x120x120 -> NO caben 17 puntos. Variante 2: Misma caja, 5 puntos a menor distancia. A 42,71 cm ( 40*raiz31 – 180 ) nos caben los 5 puntos. ¿Es ésta la máxima distancia a la que nos caben 5 puntos?. La demostración de la variante 2 no la… Lee más »
Julio, me cuesta imaginar una demostración en un par de lineas. A mi me da que no es tan sencillo, pero puedo estar equivocado. Por lo que veo más o menos todos hemos utilizado una idea similar, pero a partir de ahí, no encuentro una forma de plasmarlo si no es llenando por lo menos un folio… Como dice Jesus C yo también he echado mano al hecho de que la distancia entre dos puntos interiores de un triángulo equilatero es siempre menor que el lado (podríamos demostrarlo de muchas formas, pero creo que es de esos resultados que por… Lee más »
Manuel, sólo doy dos cosas por sentadas, que un triángulo rectángulo de catetos 30 y 40, su hipotenusa es 50, entiendo que es algo que no hace falta desarrollar. Y en efecto hay que apoyarse en lo que comentas, la mayor distancia que se puede obtener entre dos puntos de un equilátero coincide con un lado. Pero también lo doy por algo obvio. No hace falta ya más que indicar lo que harías previamente, que se describe en una línea, para que de un golpe de vista, entiendas que es la solución. Lo demás sería literatura. Existen otras opciones para… Lee más »
Dividir el prisma en cuatro cuerpos iguales en cuyo interior cualquier pareja de puntos está a menos de 50 cm. Luego, principio del palomar. Demostrado.
Sí Juanjo, parece que esa es la idea que hemos seguido casi todos. El problema que yo veo, es que supongo que todos hemos dividido el prisma en cuatro prismas tales que la base es un triángulo equilátero de 30 cm de lado, y en estos prismas la distancia máxima entre dos puntos es exactamente 50cm, por lo que no es estrictamente menor que 50cm, como pide el problema. Esta división, por tanto, demuestra que no es posible colocar 5 partículas sin que dos de ellas estén a una distancia menor o igual que 50cm. Si todos lo hemos hecho… Lee más »
En efecto, el razonamiento de Juanjo fue el mio, pero enseguida vi que sólo demostrábamos la existencia de dos puntos a distancia 50, pero no estrictamente menor como pide el problema. Ahora no tengo a mano la solución que mandé. A ver si luego puedo ponerla.
Yo tengo la misma solución y creo que no tiene pegas. Las dudas de SIVE y MANUEL creo que las resuelve el hecho de considerar que las partículas están EN EL INTERIOR DE LA CAJA. Aunque haya EN LA CAJA puntos a estrictamente 50 cm, dos puntos INTERIORES estarán a una distancia ESTRICTAMENTE INFERIOR.
No sé JJGJJG, puede que tengas razón. Pero en el enunciado se dice que las partículas se consideran puntos, así que no lo tengo yo tan claro.
Dado que ese razonamiento adicional no es difícil (aprovechando las simetrías de la figura se queda en dos casos particulares nada más), si yo participara en el concurso, me habría curado en salud y lo habría incluído en mi solución.
Problema nº 32 Intentaré demostrar el resultado exigido por el método de reducción al absurdo, es decir, partiré de la existencia de una configuración de 5 puntos todos ellos situados entre sí a distancia igual o mayor de 50 cm. En adelante, para aclararnos, cuando hable de dimensión “vertical”, nos estaremos refiriendo a las aristas del prisma perpendiculares a los triángulos, cuando diga dimensión “horizontal”, se tratará de distancias en planos paralelos a las caras triangulares. El primer paso será hacer lo siguiente: proyectamos verticalmente los 5 puntos del interior sobre una de las caras triangulares. Ahora tendremos un triángulo… Lee más »
Bien Manuel. Has trabajado con proyecciones en lugar de hacerlo directamente en las tres dimensiones, no se me había ocurrido. Pero la idea es la misma, en realidad.
Ya tenemos solución:
Espacio para cuatro, pero no para cinco
Pero parece que ha habido algún problema con el vídeo, ya que se termina sin que Sofía haya acabado con el razonamiento. Esperemos que lo solucionen pronto.