Quinto problema de la IMO 2013 celebrada en Colombia. Ahí va el enunciado:

Sea \mathbb{Q}_{> 0} el conjunto de los números racionales mayores que cero. Sea f: \mathbb{Q}_{> 0} \rightarrow \mathbb{R} una función que satisface las tres siguientes condiciones:

  • (i) f(x)f(y) \geq f(xy) para todos los x,y \in \mathbb{Q}_{> 0};
  • (ii) f(x+y) \geq f(x)+f(y) para todos los x,y \in \mathbb{Q}_{> 0};
  • (iii) existe un número racional a > 1 tal que f(a)=a.

Demostrar que f(x)=x para todo x \in \mathbb{Q}_{> 0}.

Que se os dé bien.

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