El problema de esta semana está relacionado con números enteros. Ahí va:
Demostrar que el producto de dos números enteros positivos
es par si y sólo si existen otros dos enteros positivos
tal que
Que se os dé bien.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
Gaussianos recibió el Premio Prisma 2018 a la mejor web/red social. Haz click en la imagen si quieres saber más.
Los Premios Prismas son una iniciativa de los Museos Científicos Coruñeses para premiar la difusión de la cultura científica y apoyar a profesionales que trabajan en este campo. Más información en Premios Prismas.
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail, haz click en la imagen.
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
(Esto va a ser engorroso. Seguro que existen métodos más elegantes, pero lo mío nunca ha sido la elegancia, ni mucho menos la concisión).
Empiezo demostrando que, dado cualquier número entero
, se verifica 
o bien 
: si 
es par, entonces se puede expresar como 
, con 
entero, por lo que 
, y entonces 
. Si 
es impar, entonces 
, y 
, de manera que 
.
Ahora, el problema en sí. Supongamos que el producto
es impar. Entonces, tanto 
como 
son impares. Entonces 
. Como 
ó 
, tiene que ser 
ó 
, lo que, como hemos visto, es absurdo. Así pues, si el producto 
es impar, no existen dos enteros 
y 
que verifiquen la ecuación original.
Hemos demostrado uno de los sentidos de la implicación; ahora demostramos el otro: si el producto
es par, entonces existen dos enteros 
y 
que verifican la ecuación. Para ello expresamos la ecuación de la siguiente manera: 
.
Para que este producto sea congruente con 0 (módulo 4), nos basta con que tanto
como 
sean pares. En particular, el caso 
, 
nos vale. Esto significa que 
y 
satisface la ecuación.
Por otro lado, para que
sea un número impar concreto, nos basta con que 
y 
sean sus mitades por exceso y por defecto. Con este resultado y el anterior tenemos garantizada la existencia de 
y 
para cualquier valor de 
en el que al menos una de los dos variables sea par, con lo que tenemos listo el otro sentido de la implicación. Y se acaba la demostración.
Este resultado se puede obtener directamente a partir de otro que me encanta (y que supongo que es bastante conocido, aunque yo lo obtuve por mi cuenta hace un chorro de años y no recuerdo haberlo visto en ningún libro): para que un número
no se pueda expresar como diferencia de dos cuadrados perfectos, es condición necesaria y suficiente que 
sea múltiplo de 2 pero no de 4 (lo que se puede saber mirando simplemente sus dos últimas cifras, si está en base 10).
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: El problema de esta semana está relacionado con números enteros. Ahí va: Demostrar que el producto de dos números enteros positivos es par si y sólo si existen otros dos enteros positivos tal que Que se os dé bien. Entr……
A mí no me parece que tu demostración sea engorrosa… ¡me ha gustado!
La demostracion que hice es la siguiente:
Primero se toma la ecuacion de la siguiente forma
. Es decir que la diferencia entre el cuadrado de un sucesor de un numero y cuadrado de ese numero es un numero impar. Si se suma este numero por su sucesor se obtiene un multiplo de 4: 
que es un multiplo de 4.
Que es un múltiplo de 4, por lo que existen los números d. y c que cumplen la condición.
El cual es impar, por lo que existen números d y c que cumplen la condición
El cual es par, pero no es múltiplo de 4, por lo que no existen números d y c que cumplan la condición
Al analizar el lado derecho si d lo reemplazamos por c+1 tenemos:
Ahora si cambio d por c+2k, es decir, que la diferencia entre d y c es un par se tiene:
Ahora en el lado izquierdo, si tomamos que a y b son pares tenemos:
Ahora si a es par y b impar
Y si a y b son impares
En los dos primeros casos ab es par y en esos casos se cumple la proposición propuesta por el problema.
Esta demostracion es una explicacion, no se si mas sencilla, de la demostracion de Ñbrevu
Ricardo al revisar tu demostracion me parese que tienes un error a menos que lo este entendiendo mal ya que:
1.- que el sucesor de «2c+1» no es «(2c+1)+1»?
2.-tambien particularisas la demostración al suponer «d=c+2k» y que sucede con «d=c+p» donde «p» es primo o mas general que sea un numero impar.
bueno Ñbrevu tu demostración es buena y como dices, no ah de ser muy elegante que digamos pero hay demostraciones menos elegantes, como la que presentaré en seguida almenos eso creo, solo tomare conceptos sencillos como ah de ser la divisiblilidad.
bueno
de «a^2 + b^2 + c^2 = d^2» ………………….(º)
completando cuadrados obtenemos:
((a+b)^2 + c^2 – d^2)/2 = ab
ahora suponemos que «ab» sea un numero impar por tanto necesariamente
(a+b)^2 + c^2 – d^2=(a+b)^2 +(c-d)(c+d) —> tiene que ser un numero par
analisemos la exprecion «((a+b)^2 +(c-d)(c+d))/2 »
de aver supuesto que «ab» es impar entonces «a»y»b» son impares, de donde
(a+b) es par lego (a+b)^2 tambien es par por tanto
[(a+b)^2]/2 ……………..(*) tambien es par
luego para que ((a+b)^2 +(c-d)(c+d))/2 sea impar ya que «ab» supusimos que lo es,
y como (*) es par entonces
[(c-d)(c+d)]/2 ———-(**) esta expresion tiene que ser impar
ya que ,… par + ipar = impar
[(a+b)^2]/2 + [(c-d)(c+d)]/2=((a+b)^2 +(c-d)(c+d))/2=ab
ahora analisemos la expresion [(c-d)(c+d)]/2 en que condiciones es impar.
1.-si «c»y»d» son pares se cumple que [(c-d)(c+d)]/2 es par
2.-si «c»y»d» son impares se cumple que [(c-d)(c+d)]/2 es par
3.-si «c» es impar y «d» es par o viseversa obtenemos que (c-d)(c+d) es un numero impar y si dividimos este numero entre 2 es decir [(c-d)(c+d)]/2 nunca sera un numero entero y menos impar
ahunque es obvio pero es bueno recarcarlo como dice mi profe;
para el que este pensando que sucede cuando «c=d» esto no puede suceder ya que esto implicaria a^2 = -(b^2) lo cual es absurdo dado las condicones del enunciado del problema.
concluimos de 1,2y 3 que en ningun «c»y»d» verifica que la expresion [(c-d)(c+d)]/2 sea impar.
resumiendo, al suponer que «ab» sea impar:
obtuvimos que:
[(a+b)^2]/2 ……………..(*) es par
y [(c-d)(c+d)]/2 ………….(**) no exixte «c»y»d» los cuales lo hagan impar.
lo cual es necesario para que «ab» sea impar esto es :
(*) + (**) =ab <---> par + impar = impar
bueno con esto ultimo vemos que si «ab» es impar no existen «c»y»d» que verifiquen la ecuacion » (º)» con esto termina la demostraciòn de la primera implicacion y la otra implicacion ya que es un analisis de un si y solo si.
Nota.
perdon por no escribir en latex hay pbroblemas con mi pc.
buen dia a todos
y recuerden que la matemática es un pribilegio reservado para pocos sonrian hasta la proxima (xfe)
Con relacion a lo que dijiste, esta bien. Me equivoque al decir el sucesor de ese numero, era el proximo impar
1+3=4
4+5=9
9+7=16
16+9=25
donde los resultados son cuadrados perfectos
Y con relacion a lo segundo, con solo observar :
se ve que la suma entre este termino y el proximo impar es par multiplo de 4 y al sumar este termino con el proximo impar y el impar luego de este da como resultado un impar. Para no confundir mejor lo generalizo:
Disculpa por los errores, cuando se utiliza la palabra sucesor es facil equivocarse. Gracias por el comentario
Bien por la aclaracion Ricardo, y hay que tener cuidado con las definiciones ya establecidas… un gusto bye