Calcular el valor del producto

Publicado por ^DiAmOnD^ | 17 julio, 2012 | Juegos | 30 |

Hoy os traigo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Si $a,b,c$ son tres números enteros tales que $a+b+c=0$ , calcula el valor del siguiente producto:

$\left ( \cfrac{b-c}{a}+\cfrac{c-a}{b}+\cfrac{a-b}{c} \right ) \cdot \left ( \cfrac{a}{b-c}+\cfrac{b}{c-a}+\cfrac{c}{a-b} \right )$

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Betaiv

17/07/2012 10:26

Responde

judyth

Reply to Betaiv

29/09/2015 16:32

hoy me toman examen de mate y n se hallar el valor de un producto

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Rubius

Reply to Betaiv

03/09/2017 19:21

Que pereza, que hago Yo aqui xdd

Responde

chupacabra

17/07/2012 10:58

Cuatro factorial

Responde

mimetist

17/07/2012 11:25

Me he quedado atascado en:

Producto = $1 - 4 [ \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{abc} ]$

Haciendo sustituciones he llegado a despejar esa fracción, obteniendo un valor de 1/4, luego el resultado del producto sería 0.

Me asombra que de 3 comentarios haya 3 resultados diferentes xD.

Responde

andmujika

17/07/2012 12:03

Pues a mi me sale 12

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Bitacoras.com

17/07/2012 12:26

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Hoy os traigo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente: Si son tres números enteros tales que , calcula el valor del siguiente producto: Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comenta……

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Juanjo Escribano

17/07/2012 14:24

A mi 0

Responde

ythorgo

17/07/2012 14:40

A mi también me da 9

Juanjo Escribano

17/07/2012 14:54

Pero está mal seguro

Responde

JJGJJG

17/07/2012 15:01

La solución de Betaiv es la correcta. Vamos a desarrollarla:
Primer factor = (bc(b-c)+ac(c-a)+ab(a-b))/abc=m/n
Segundo factor= (a(c-a)(a-b)+b(b-c)(a-b)+c(b-c)(c-a))/((b-c)(c-a)(a-b)=p/q.
desarrollamos los productos:
m=cb^2-bc^2+ac^2-ca^2+ba^2-ab^2
n=abc
p=ca^2-abc-a^3+ba^2+ab^2-b^3-abc+cb^2+bc^2-abc-c^3+ac^2=(c+b)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2-3abc-a^3-b^3-c^3, pero como a+b=-c, a+c=-b y b+c=-a tendremos: p=-3abc-2(a^3+b^3+c^3). Seguimos:
q=abc-ba^2-ac^2+ca^2-cb^2-ab^2+bc^2-abc=-m
Luego mp/(nq)=3abc+2(a^3+b^3+c^3)/abc
Si en la expresión anterior sustituimos c por -(a+b) nos queda que es igual a 2×3+3=9

Responde

Sherumath

17/07/2012 15:05

A mí también me da 9, y el Maple me lo ha confirmado

Responde

LordWings

17/07/2012 15:47

Parece que no hace falta que los números sean enteros, basta que los tres sean diferentes entre sí (aunque llegaríamos al mismo valor tomando el límite).
En ese caso, yo he llegado a simplificar la expresión inicial, todavía sin sustituir, a
$P=1+\frac{(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b)}{abc}$ .
Sustituyendo, $a+b+c=0 \to P=1+\frac{2a\cdot 2b \cdot 2c}{abc}=9$ .

Responde

Cartesiano Caotico

17/07/2012 18:42

Aún más sencillo, se cogen 3 valores enteros no nulos distintos cualesquiera tal que a+b+c=0.
Entonces se calcula el producto del enunciado y sale 9. Misión cumplida.

Responde

Cristhian Camacho

17/07/2012 19:36

Es igual a $\left ( \frac{ \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{3}} } { \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-2} } \displaystyle{ \sum_{j=i+1}^{n-1} } \displaystyle{ \sum_{k=j+1}^{n} } a_{i} a_{j} a_{k} } \right ) ^{2}$ con $a_{1}+a_{2}+a_{3}+ \cdots +a_{n}=0$

Responde

JJGJJG

17/07/2012 21:52

Cristhian Camacho, tu fórmula, precisamente, da 3^2=9 para cualquier valor de n.
Resultado totalmente impredecible por su sencillez.

Responde

Albert

18/07/2012 10:09

Creo que siendo puristas el enunciado debería decir:

Si a, b, c son tres números enteros DISTINTOS tales que:

a diferente de -b
a diferente de -c
b diferente de -c
a+b+c=0

calcular el valor del siguiente producto…………….

Entonces el resultado es siempre 9

-1

Responde

Cristhian Camacho

18/07/2012 19:01

Totalmente de acuerdo JJGJJG, obtuve esa fórmula de esta otra (de la cual no estoy muy seguro si es correcta):

$\left ( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_{i} } \right )\left ( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} } a_{i}^{p} - \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1} } \displaystyle{ \sum_{j=i+1}^{n} } a_{i}a_{j} \right ) = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} } a_{i}^{p+1} - 3 \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-2} } \displaystyle{ \sum_{j=i+1}^{n-1} } \displaystyle{ \sum_{k=j+1}^{n} } a_{i}a_{j}a_{k}$

Que es muy similar a la ‘Identidad de Gauss’
http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

Responde

Cristhian Camacho

18/07/2012 21:39

jejeje, mil disculpas solo es correcta para $p=2$

Responde

Cristhian Camacho

18/07/2012 22:36

Ahora si, parece que esta correcta
$\left ( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_{i} } \right )\left ( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} } a_{i}^{p} - \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1} } \displaystyle{ \sum_{j=i+1}^{n} } a_{i}a_{j} \right ) =$
$= \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} } a_{i}^{p+1} + \left ( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1} } \displaystyle{ \sum_{j=i+1}^{n} } \left ( a_{i}^{p}a_{j} + a_{i}a_{j}^{p} - a_{i}^{2}a_{j} - a_{i}a_{j}^{2} \right ) \right ) - 3 \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-2} } \displaystyle{ \sum_{j=i+1}^{n-1} } \displaystyle{ \sum_{k=j+1}^{n} } a_{i}a_{j}a_{k}$

Responde

Gabriel

19/07/2012 04:44

Lo que hice fue tomar a+b+c=0 y elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad. Entonces armo una ecuación cuadrática respecto de a, y aplico la formula resolvente. La simplifico, y sumo a+b en ambos lados de la ecuacion, en el miembro derecho sustituyo a+b+c por su valor, que es 0. de alli despejo b, y la tengo expresada asi en función de c, multiplicado por i. Ahora sustituyo en a+b+c=0 el valor de b, y tengo a en función de c. Ahora, con a y b en términos de c y de la unidad imaginaria, los sustituyo en el… Lee más »

Responde

Cristhian Camacho

19/07/2012 17:20

Vamos a resolver paso por paso el valor del producto

$\left ( \cfrac{a-b}{c} + \cfrac{c-a}{b} + \cfrac{b-c}{a} \right )\left ( \cfrac{c}{a-b} + \cfrac{b}{c-a} + \cfrac{a}{b-c} \right ) \quad ; \quad a+b+c=0$

Ahora evaluando

$\left ( \cfrac{(a-b)ab+(c-a)ac+(b-c)bc}{abc} \right ) \left ( \cfrac{c(c-a)(b-c)+b(a-b)(b-c)+a(a-b)(c-a)}{(a-b)(c-a)(b-c)} \right )$

$\left ( \cfrac{(a-b)ab+(c-a)ac+(b-c)bc}{abc} \right ) \left ( \cfrac{c(c-a)(b-c)+b(a-b)(b-c)+a(a-b)(c-a)}{(b-a)ab+(a-c)ac+(c-b)bc} \right )$

$-\left ( \cfrac{c(c-a)(b-c)+b(a-b)(b-c)+a(a-b)(c-a)}{abc} \right )$

$-\left ( \cfrac{c(bc-c^{2}-ab+ac)+b(ab-ac-b^{2}+bc)+a(ac-a^{2}-bc+ab)}{abc} \right )$

Sumando y restando el mismo elemento en el numerador $+c^{2}-c^{2}$ , $+b^{2}-b^{2}$ , $+a^{2}-a^{2}$

$-\left ( \frac{c(bc+ac+c^{2}-c^{2}-c^{2}-ab)+b(ab+bc+b^{2}-b^{2}-ac-b^{2})+a(ac+ab+a^{2}-a^{2}-a^{2}-bc)}{abc} \right )$

factorizando

$-\left ( \cfrac{c((a+b+c)c-2c^{2}-ab)+b((a+b+c)b-2b^{2}-ac)+a((a+b+c)a-2a^{2}-bc)}{abc} \right )$

Y como $a+b+c=0$

$-\left ( \cfrac{c(-2c^{2}-ab)+b(-2b^{2}-ac)+a(-2a^{2}-bc)}{abc} \right )$

$\left ( \cfrac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3abc}{abc} \right )$

Ahora la Identidad de Gauss nos dice:
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc) = a^{3}+b^{3}+c^{3} -3abc$
Pero si $a+b+c=0$ , entonces queda $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$

Volviendo al problema

$\left ( \cfrac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3abc}{abc} \right ) = \left ( \cfrac{2(3abc)+3abc}{abc} \right ) = 3 \cdot 3 \cdot \cfrac{abc}{abc} = 9$

Responde

Paco H

19/07/2012 20:18

Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Álgebra y trigonometría
V. Litvinenko
A. Mordkóvich
Editorial Mir Moscú

1.2 Transformaciones de expresiones racionales
Ejemplo 6, página 13
No es necesario que a, b y c sean enteros, pero si que a, b y c sean distintos de 0
Usa el ejemplo anterior que establece que si a + b + c = 0, entonces:
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Muy buen libro, muy soviético, infinidad de ejercicios…

Responde

Juanjo Escribano

19/07/2012 21:46

Siempre además a b yc y bc, sino la expresión es indeterminada

Responde

Marcelo

20/07/2012 01:32

¿Donde se puede conseguir mas identidades de este tipo? Gracias

Responde

Cristhian Camacho

20/07/2012 18:00

En el link de la wikipedia que se menciona arriba hay algunas y aqui https://gaussianos.com/quienes-somos/ en el comentario del ‘1 de September de 2011 | 23:56’ aunque tiene un error, falta un 3 por ahí

Responde

Eder Contreras

21/07/2012 02:16

Este problema lo puse en la guía de entrenamiento para mis chicos, lo encontré en el libro The ussr olympiad problem book.

Responde

karlox

25/07/2012 05:17

no entiendo xq se hacen tantas bolas es ovbio que al hacer todos los calculos al final las variables se simplifican quedando 9 para cualquier valor de a ,b y c que han que la suma sea 9 ..es sufuiciente poner a=1, b=2, c=-3, no esque no sepa los calculos ..lo que pasa es q creo q lo importa es el resultado y como solo me piden calcular el producto…

Responde

Cristhian Camacho

30/07/2012 23:12

Supongo que es como la vida misma: Es mas importante el camino que el resultado

Responde

eduardo

28/11/2012 12:38

También me dio 9

Responde

Leonardo

06/01/2013 07:21

Alguien me parece que dio lo que sería la solución más simple.
Si el resultado es general, debería ser el mismo para cualesquiera valores de a, b y c que cumplan que a+b+c=0 y no haya dos iguales (por los denominadores del segundo factor).
Entonces se elijen esos tres valores, por ejemplo a=5, b=2, c=-7 y luego se hace la cuenta.

Da 9 para cualquier elección.

Responde

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