Qué extraño es el infinito

Introducción

Los medios de comunicación utilizan muy a menudo las preguntas a pie de calle para pulsar la opinión del pueblo llano sobre cualquier tema de actualidad: intención de voto, paro, seguimiento de un club deportivo…Imaginemos que en una de estas salidas nuestro periodista, Albert Vidhid (afamado columnista y redactor de la revista Infinity), hace la siguiente pregunta a una persona cualquiera:

Albert Vidhid: ¿Qué es para usted algo infinito?

Posiblemente la respuesta no sería muy distinta de ésta:

Viandante: Pues algo que no tiene fin.

A.V.: Uhmmm…un círculo no tiene ni principio ni fin (en el sentido de que no tiene ni principio ni final), pero no parece que cuadre con la palabra infinito.

V.: Pues también es verdad. No sé, entonces…no sabría decir…

No parece por tanto que la respuesta de nuestro viandante sea suficientemente satisfactoria.

A.V.: Vayamos a tomar un café y le pongo un poco al día.

Albert se lleva a nuestro viandante a una cafetería cercana. Nada más sentarse le entrega unos folios. Mientras Vidhid va hacia la barra nuestro paseante comienza su lectura.

Pero entonces…¿qué es algo infinito?

Bien, antes de comenzar quiero aclarar (aunque no creo que haga falta) que todo lo que vamos a hablar aquí tiene que ver con el infinito matemático, es decir, con el sentido matemático del infinito. Hecha esta aclaración comenzamos con el tema.

La palabra infinito es un adjetivo. Por tanto lo primero que necesitamos es saber qué objetos pueden calificarse con este adjetivo. Esos objetos son los conjuntos, las colecciones de elementos.

En matemáticas podemos dividir los conjuntos en dos grandes grupos: los finitos y los infinitos. ¿Cómo saber de qué tipo es cada uno? Aquí entra en juego el concepto de correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca. Al meter la mano en un guante cada dedo entra en uno de los huecos del mismo. Ningún dedo queda fuera ni ningún hueco queda vacío. Eso es la correspondencia uno a uno: cada dedo corresponde a un y sólo un hueco y viceversa. Otro ejemplo: si miramos por la ventana de una clase y vemos que cada una de las sillas de la misma están ocupadas por un único estudiante, que no hay sillas vacías y que ninguna persona está de pie o sentada en el suelo tenemos que cada estudiante se corresponde con la silla que está ocupando. Esto es, el conjunto de sillas de la clase y el conjunto de estudiantes que hay en ella están en correspondencia biunívoca.

En este punto vamos a hacer entrar en escena a nuestro amado \mathbb{N}=\{0,1,2,3, \ldots \}, conjunto de los números naturales. Dejando por ahora al cero aparte (no lo vamos a marginar, como hace mucha gente, simplemente le vamos a dar un tratamiento distinto), vamos a llamar sección de \mathbb{N} de tamaño n, S(n), al siguiente conjunto:

S(n)=\{1,2, \ldots ,n \}

Con esta definición decimos que un conjunto es finito si puede ponerse en correspondencia uno a uno con algún S(n), para algún n\in\mathbb{N}. Es decir, si podemos encontrar alguna sección de \mathbb{N} tal que cada elemento de nuestro conjunto corresponda con un elemento de dicha sección sin que sobre ni elementos de nuestro conjunto ni elementos de la sección. Si para un cierto conjunto no podemos encontrar ninguna sección de \mathbb{N} con la que podamos hacer eso diremos que nuestro conjunto es infinito.

¿Y el pobre cero? Pues también corresponde a algo. Concretamente al conjunto que no tiene ningún elemento, al llamado conjunto vacío (¡qué haríamos los matemáticos sin él!). Repito: el conjunto vacío es el conjunto que no tiene ningún elemento. Eso no significa que no tengamos conjunto, el conjunto vacío sigue siendo un conjunto aunque no tenga elementos.


V.: Ya he terminado. La verdad es que ahora tengo algo más claro el tema de los conjuntos finitos e infinitos.

A.V.: ¿Está seguro? La segunda parte del documento que acaba de leer es un conjunto de situaciones hipotéticas que están relacionadas con el infinito. Estoy dispuesto a mostrárselas, pero antes voy a hacerle una prueba sencilla. Voy a plantearle una cuestión relativa a todo este tema. ¿Está preparado?

V.: Adelante.

A.V.: Bien, ahí va: si a un conjunto infinito le quitamos un elemento nos queda un conjunto ¿finito o infinito?

V.: Evidentemente infinito.

A.V. Nada de “evidentemente”. ¡Quiero una demostración!

Después de darle un par de vueltas nuestro viandante fue capaz de construir una demostración satisfactoria de ese hecho. ¿Podríais hacerlo vosotros?


A.V.: Muy bien, parece que sí que tiene las ideas algo más claras en lo que a los conjuntos infinitos se refiere. Pasemos entonces a la segunda parte. La situaciones hipotéticas que le he comentado antes son parte de una historia sobre un hotel imaginario, el hotel de hilbert, nombre debido a David Hilbert (vaya forma de distribuir las letras, con lo bien que quedan de la otra forma en la placa de la mesa de mi despacho), su creador. Comience a leerlas mientras pido otro café.

El hotel de Hilbert

Supongamos que tenemos un hotel con 1000 habitaciones individuales. Y supongamos que la ocupación es del 100%, es decir, todas las habitaciones están ocupadas por una persona. Si en esta situación llega una persona más al hotel pidiendo una habitación no podrá ser hospedada en él. Básicamente esto se debe a que no podemos poner en correspondencia biunívoca el conjunto de las habitaciones del hotel (de tamaño 1000) con el conjunto de personas que tendríamos en ese instante (de tamaño 1001).

El hotel de Hilbert es un poco especial, ya que tiene infinitas habitaciones, una por cada natural positivo. Todas las habitaciones son individuales, por lo que no pueden coincidir dos personas en la misma habitación. Para simplificar un poco la explicación de cada una de las situaciones que vamos a presentar podemos suponer que las habitaciones están dispuestas en línea recta, una al lado de otra, de izquierda a derecha. Por tanto tenemos una primera habitación…pero no tenemos última.

Un huésped más

Supongamos, como antes, que todas las habitaciones del hotel de Hilbert están ocupadas y que en ese momento llega una persona más al hotel buscando una habitación. En la situación anterior no se podía dar cobijo a este nuevo huésped, pero ahora sí. ¿Cómo? Muy sencillo. El gerente del hotel pide a todos los huéspedes que se muden a la habitación de su derecha, es decir, el de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 3, y así sucesivamente. Como no tenemos última habitación todos los ocupantes del hotel siguen teniendo habitación, quedando además la habitación 1 libre. Ya tenemos dónde instalar a nuestro nuevo huésped.

De hecho cualquier conjunto finito de nuevos huéspedes seguiría sin plantearnos problemas. Por ejemplo, podríamos alojar a una excursión de 200 personas pidiendo a cada huésped actual que se mudara a la habitación n+200, siendo n el número de la habitación que ocupa.

Época estival: infinitos nuevos huéspedes

Estamos ahora en época de vacaciones. El hotel de Hilbert está en la ciudad de moda, razón por la que acuden a él un número infinito de nuevos huéspedes, uno por cada natural positivo. ¿Podremos acomodarlos ahora? Pues sí, también se puede. Lo único que tenemos que hacer es mudar a cada huésped a la habitación que se obtiene de multiplicar por 2 la que tiene en este momento, es decir, si un huésped está en la habitación n lo mudamos a la habitación 2n. Así quedan ocupadas todas las habitaciones pares, quedando libres todas las impares. En ellas es donde colocamos a los nuevos clientes, de la siguiente forma: los colocamos en fila, los numeramos y después colocamos al nuevo cliente m en la habitación 2m-1 (el nuevo cliente 1 va a la habitación 1, el nuevo cliente 2 a la habitación 3, y así sucesivamente).

Estamos en crisis: cierre de establecimientos

En una época de auge hotelero la empresa propietaria de nuestro hotel decidió adquirir infinitos hoteles de Hilbert, uno por cada natural positivo. Pero la crisis llega tiempo después y dicha empresa decide cerrar todos los hoteles menos uno. El problema es bastante serio, ya que en el momento del cierre todos sus hoteles de Hilbert tienen ocupación completa, y después de cerrar deben dejar a todos los huéspedes de todos los hoteles alojados. ¿Cómo podemos, en esta ocasión, acomodar a tal cantidad de clientes? En este caso la solución es algo más complicada, pero posible.

Primero nos vamos al hotel que quedará abierto y mudamos a cada inquilino a la habitación cuyo número corresponde con el doble de su habitación actual, como hicimos antes. Quedan entonces ocupadas todas las habitaciones pares y libres todas las impares. Después numeramos los hoteles que vamos a cerrar con los números primos, es decir, el primer hotel que cerramos es el hotel 3, el segundo el hotel 5, el tercero el 7, el cuarto el 11, y así sucesivamente. Y aquí está la clave: colocamos a los inquilinos del hotel p en las habitaciones p^1,p^2, \ldots, p^n, \ldots. Esto es, los inquilinos del hotel 3 quedarán alojados en las habitaciones 3,9,27,81, \ldots; los del hotel 5 en las habitaciones 5,25,125,625, \ldots; así con todos los hoteles cerrados. Como el conjunto de números primos es infinito (Euclides, con números de Fermat, topológica y por Juan Pablo) podemos así dar acomodo a todos los huéspedes de todos los hoteles.


V.: Vaya, pues sí que son interesantes los conjuntos infinitos. Me han encantado las historias. Pero no sé por qué pero me da que la cosa no queda aquí, que el infinito esconde más sorpresas que no aparecen en estas historias.

A.V.: Qué razón tienes amigo, qué razón tienes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

24 Comentarios

  1. ¡¡Excelente post!!
    Muy aclaratorio.

    Una pequeña correción:
    “Ningún dedo que fuera ni ningún hueco queda vacío” ¿No debería ser “Ningún dedo queDA fuera ni ningún hueco queda vacío”?

    Gracias por el blog!!!

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  2. Estupenda explicación basada en la teoria de conjuntos. Otra forma que me gusta para comprender el concepto de “ocho tumbado” son las paradojas de zenón y el cálculo infinitesimal (¿Sabrian los griegos clásicos el concepto de límite?)

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  3. Me gustó mucho el post. Realmente la Teoría de Conjuntos es una bella rama de la Matemática, que causó una gran revolución en el siglo XIX, cuando fue introducida por el matemático alemán Georg Cantor. Este también creó y desarrolló una aritmética de números infinitos (la aritmética transfinita), gracias a la cual podemos establecer, por ejemplo, una correspondencia biunívoca entre el conjunto N de los números naturales y el conjunto Q de los racionales. Esto se logra con un proceso muy original y sencillo: el proceso de diagonalización de Cantor. Sin embargo, siguiendo estas ideas, se puede demostrar, también de manera simple, que no se puede construir una relación biunívoca entre N y R, el conjunto de los números reales (números racionales e irracionales). Este es uno de los teoremas más sorprendentes de la aritmética del infinito, y uno de los que más me fascinan: el Teorema de la diagonal de Cantor. Lamentablemente, las ideas de Cantor fueron criticadas por algunos de sus colegas que las consideraban demasiado abstractas. Sin embargo, esta teoría sería finalmente reivindicada por otro matemático alemán, que se menciona en el artículo: David Hilbert. Otro teorema igualmente sorprendente, aunque de demostación más compleja son los de Gödel (de completitud e incompletitud).

    Con respecto a la pequeña prueba, ¿qué demostración ofrecéis al respecto?

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  4. Gracias DIAMOND. Conocía desde hace muchos años los populares ejemplos de como alojar un conjunto finito o infinito numerable de huéspedes en el Hotel de Hilbert, pero curiosamente NUNCA había oído hablar de como cerrar infinito-numerable Hoteles de Hilbert alojando a sus huéspedes en solo uno, por lo que he sido agradablemente sorprendido.
    ¿Sabes si estos ejemplos de “Hoteles de Hilbert” son de un solo autor o de varios?

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  5. Si tenemos a \in X, siendo a un elemento de un conjunto X infinito (|X|\geq \aleph_0) y suponemos que |X - a|=n\in\mathbb{N} (es decir, que quitándole un elemento nos queda un conjunto finito) tendríamos una asociación biunívoca (aplicación biyectiva, lo que queráis) entre S(n) y X-a. bastaría asociar entonces al número natural n+1 el elemento a (extender la biyección a S(n+1) con la imagen del elemento n+1 siendo a) y tendríamos una asociación biunívoca (biyección blah blah…) entre S(n+1) y X, pero esto no puede ocurrir porque hemos supuesto que X es infinito. Esto concluye la demostración. 🙂

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  6. Habia leido lo del Hotel de Hilbert en el libro “matemática, estas ahi?” de Adrián Paenza.

    Lo primero que pensé, y sigo pensando como más practico..porque el huesped que llega no se va a la primera habitación vacía? (oo+1) . como lo sería en un hotel finito..

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  7. Pero Pablo, justamente ese es el problema del infinito. \infty no es un número. No puedes contar hasta él. Es simplemente una medida de la cantidad de elementos que tiene un conjunto. La aritmética de cardinales infinitos es una rama fascinante de la teoría de cantor en la que se comprueba por ejemplo que \infty + 1= \infty, \infty+\infty=\infty o \infty \cdot \infty = \infty (Para los más exigentes digamos que en esas operaciones \infty denota algún cardinal mayor o igual que \aleph_0 -cualquiera sirve). También se puede indagar más para descubrir que de hecho hay infinitos “mayores” que otros en cierto sentido, pero ese es otro post, supongo…
    Tu solución no es válida porque no existe la habitación “numero \infty” porque \infty no es un número, y cada habitación está numerada. El hecho de que haya infintas (numerables) habitaciones quiere decir que puedes encontrar una habitación con un número tan grande como quieras… estará la 821731298347623, la 129837123948265982374, pero todas ocupadas si el hotel está lleno…

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  8. Sí, lo leí en el libro de Adrián Paenza, al igual que el compañero Pablo.

    También había otro muy interesante (de hecho, éste me gustó más porque es muy intuitivo).

    “La mejor manera de desafiar la intuición, provocar al cerebro, entrar en conflicto con la lógica, es plantear un problema que involucre al infinito. O mejor dicho, que involucre a conjuntos infinitos. Al mismo tiempo, estos casos suelen activar una catarata de respuestas contradictorias, de debates internos que muestran, una vez más, la riqueza de nuestro intelecto, al que no siempre aprovechamos ni entrenamos.

    Le propongo, entonces, pensar lo siguiente: supongamos que usted tiene infinitas monedas. (Sí, ya sé: infinitas monedas NO HAY, pero éste es un problema que requiere “estirar” la imaginación hasta ese lugar… ¿se anima?). Supongamos que en una habitación está usted con un amigo y que entre los dos tienen infinitas monedas. Como las monedas son todas iguales (digamos de 1 peso), ustedes les pusieron un “número” a cada una y las ordenaron en forma creciente (o sea, primero la número 1, luego la 2, la 3, etc.). Además, en la habitación hay:

    a) una caja enorme (en donde uno de ustedes va a empezar a

    colocarlas), y

    b) un cronómetro.

    El proceso que va a empezar ahora es el siguiente: yo hago arrancar el cronómetro, que empieza en la posición 0 y dará una vuelta hasta llegar a cubrir 60 segundos (1 minuto). Usted tiene 30 segundos para colocar en la caja las monedas numeradas del 1 al 10. Una vez hecho esto, su amigo retira la moneda que lleva el número 1. Ahora, les quedan sólo 30 segundos en el reloj y nos empezamos a apurar. En la mitad del tiempo que les queda, o sea, en los siguientes 15 segundos, usted coloca en la caja las monedas del 11 al 20 y, rápidamente, su amigo retira de la caja la moneda que lleva el número 2. Ahora quedan 15 segundos antes de que se cumpla el minuto. En la mitad de ese tiempo (o sea, 7 segundos y medio), usted tiene que colocar en la caja las monedas numeradas del 21 al 30, y su amigo retirará de la caja la moneda número 3.

    Y así continúa el proceso indefinidamente: usted usa la mitad del tiempo que queda hasta completar el minuto para ir colocando diez monedas por vez en la caja, y su amigo va retirando (en forma ordenada) una por vez. Por ejemplo, y para ratificar que entendimos el proceso, en el próximo paso, en la mitad del tiempo que queda (3 segundos y tres cuarto) usted coloca en la caja las monedas numeradas del 31 al 40 y su amigo retira la moneda número 4.

    Creo que se entiende el procedimiento. En cada paso, usamos la mitad del tiempo que nos queda para ir colocando, sucesivamente –y en forma ordenada–, 10 monedas y sacando también en forma consecutiva la moneda con el número más chico. Obviamente, a medida que va avanzando el cronómetro y se va acercando a cumplir con el minuto pautado, tenemos que apurarnos cada vez más. La idea es ir reduciendo el tiempo a la mitad para colocar 10 monedas y retirar 1.

    La pregunta que tengo para hacer es la siguiente: una vez terminado el tiempo (o sea, cuando expiraron los 60 segundos), ¿cuántas monedas hay en la caja?”

    SOLUCIÓN:

    La tentación es decir, naturalmente, que en la caja hay infinitas monedas. De hecho, después de los primeros 30 segundos hay 9 monedas, después de los 45 hay 18 monedas. Pasados 52 segundos y medio, hay 27 monedas, y luego de 56 segundos y un cuarto, 36 monedas.

    Es decir, luego del primer tramo, quedaron 9 monedas; después del segundo, 18. Luego del tercero, 27. Luego del cuarto, 36. La idea es que, después de cada parte del proceso, aumentamos en 9 la cantidad de monedas. Más aún: si uno “detuviera” el reloj en cualquiera de los pasos, en la caja habría un número de monedas que sería un múltiplo de 9. (¿Entiende por qué? Es que en cada paso ponemos 10 y sacamos 1.)

    Luego de este razonamiento que acabo de hacer, es esperable que uno tienda a suponer que hay infinitas monedas en la caja cuando termina el proceso. Sin embargo, eso es falso. En realidad, en la caja ¡no quedó ninguna moneda! Veamos por qué. ¿Qué moneda puede haber quedado en la caja? Elija usted un número de moneda cualquiera (claro… como usted no puede hacerlo, voy a elegir yo, pero lo invito a que haga el razonamiento por su cuenta): por ejemplo, la número 3.

    ¿Pudo haber quedado la número 3 en la caja? ¡No!, porque ésa fue la que su amigo sacó luego del tercer paso.

    ¿Pudo haber quedado la número 20 dentro de la caja? ¡No!, tampoco ésta, porque luego del paso número veinte sabemos que esa moneda la sacamos.

    ¿Podrá ser la número 100? Tampoco, porque luego del centésimo paso, la sacamos a esa también.

    Entonces, otra vez: ¿qué moneda quedó dentro de la caja? Como se advierte, cualquier moneda que crea que quedó adentro tendrá que tener un número (digamos el 147.000), pero, justamente, al haber llegado al paso 147.000 seguro que su amigo sacó también esa moneda de la caja.

    MORALEJA: a pesar de que atenta fuertemente contra la intuición, el hecho de ir sacando las monedas de la forma en la que describí más arriba, garantiza que, cuando pase el minuto, ¡no quedará ninguna moneda en la caja!”

    Pido disculpas si se hizo muy largo xD

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  9. No entiendo el objetivo del post, no explica qué es el infinito, tan solo realiza un par de demostraciones de Cálculo elemental (de primero de carrera), que se resume en lo que decía Dani, \infty + \infty = \infty

    Pensaba que proponía algo nuevo. Y para alguien que no haya estudiado cálculo, me parece un poco aburrido…

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  10. Lautaro, creo que de hecho esa misma “paradoja” (entre comillas por que no lo es) apareció en un post anterior. Sin duda ^DiAmOnD^ pondrá en link cuando lo lea.

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  11. Laurato, como bien dijo Dani aquí te dejo el enlace al post donde se comentaba el tema:

    El cronómetro y las infinitas monedas

    koke, en el post se explica qué es un conjunto infinito. El resto pretende mostrar algunas situaciones que pueden ser paradójicas para mucha gente pero que en realidad son totalmente válidas. Creo que diciendo que el post se reduce a alguna demostración elemental de \infty + \infty = \infty has simplificado demasiado…

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  12. No, he dicho que se resume en eso, aunque da explicaciones, de hecho me parece que demasiadas, cuenta la historia del hotel sin ser necesario…no amplía nada la información sobre series…

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  13. Repito: el objetivo del post era básicamente contar el tema del hotel para que la gente viera algunas situaciones que pueden resultar paradójicas pero que por la aparición del infinito son totalmente reales. Sólo eso. El objetivo no era ni introducir nada nuevo sobre el infinito, ni hablar sobre series infinitas, ni nada parecido. Lo siento si esperabas otra cosa.

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  14. Chulísimo. No me extraña que todos los algebristas mencionen este hotelito, es magnífico (que no mágico) 😉

    Salud!

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  15. Y la cosa se pone más interesante con los conjuntos transfinitos, ojala esta historia pueda continuar con ellos.

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  16. No se si es adecuado comentar aquí sobre las monedas o sobre el gusano y la cuerda… pero estuve leyendo ambos posts y una cosa que no entiendo es en qué afecta la “velocidad” u “orden” del infinito. Es decir, si el orden de magnitud con el pongo pongo monedas (o alargo la cuerda, en el caso del gusano) creciese en un orden de magnitud diferente, mayor ¿no seguiría siendo cierto que no quedó ninguna moneda sin sacar (ni un centímetro de cuerda que no haya recorrido el gusano)?

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  17. “si a un conjunto infinito le quitamos un elemento nos queda un conjunto ¿finito o infinito?”

    Por reducción al absurdo:
    Supongamos que quedase un conjunto finito… Eso significa que el número de elementos de ese conjunto es un número natural, que llamaremos n. La unión de ese conjunto y el elemento quitado sería el conjunto original ( (C-Elemento) U Elemento = C), y resulta que es otro conjunto cuyo número de elementos es n+1. Luego el conjunto original no es infinito!! Contradicción.
    Por tanto, es imposible que sea finito, sólo puede ser infinito.

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  18. Hola Gaussianos,

    Felicidades por el artículo… como siempre genial. El Hotel de Hilbert es muy, muy flexible. Es un ejemplo clásico de teoría de conjuntos e inevitablemente de nuestro amigo el infinito.
    Por si a alguien le puede interesar hay un tomo de la colección Temas Científicos de la revista Investigación y Ciencia dedicado por completo a “Ideas sobre el Infinito”.
    Donde vienen muchas ideas muy potentes explicadas de forma sencilla y hasta bien ilustradas.

    Una de las cositas más sencillas del concepto de “infinito” y que resuelve muchas paradojas (viene desde Aristóteles) es que el infinito no exite como algo de “hecho” si no como “potenciable”: no hay nada que ya sea infinito en cantidad ahora, pero sí existe en cuanto a que hay procesos iterativos que nunca cesan: por ejemplo siempre puedo sumar un elemento más o contar el siguiente, pero no hay ya infinitos elementos. Así los ejemplos de “tengo ya infinitas monedas” habría que replantearlas en terminos de “tengo un numero de monedas cuyo numero pude ser a priori todo lo grande que queramos”…

    Un Abrazo

    Francisco Jose Menchen

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  19. Lo que me dejó encantado fue la versión del cierre de los hoteles, por la utilización de los números primos, ya que el tema de los primos es algo que me fascina y en lo que espero dedicarme fuertemente.

    Saludos y felicidades por tan excelente blog.

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  20. En el ultimo acomodamiento no quedarían vacias las habitaciones del tipo producto de numeros primos es decir habitaciones como la 15 la 21…

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  21. si deseamos tener una aproximación del infinito (que obviamente no es un número) pues se puede intentar con la matriz de hilbert de orden 100 y su inversa! eso es muy muy representativo , bueno realmente raya lo pintoresco! interesante!

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