Suma de dígitos convergente

Publicado por ^DiAmOnD^ | 7 julio, 2009 | Juegos | 7 |

Hace unos días Tito Eliatron apuntaba (después de verlo en Division by Zero) que hace poco habíamos tenido el honor de vivir el día más perfecto del año, concretamente el 28 de junio. La perfección de este día viene del hecho de que el 6 (correspondiente a junio) y el 28 son los dos primeros números perfectos (es decir, números que son iguales a la suma de sus divisores propios). En su honor publicamos hoy un problema sobre números perfectos:

Consideremos el proceso iterativo consistente en sumar los dígitos de un número dado hasta obtener un dígito entre 0 y 9. Demostrar que si $n > 6$ es un número perfecto par entonces el proceso anterior converge a 1.

Dos ejemplos:
$\begin{matrix} 28 \rightarrow 10 \rightarrow 1 \\ 496 \rightarrow 19 \rightarrow 10 \rightarrow 1 \end{matrix}$

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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Javier

07/07/2009 09:57

$\displaystyle 2 mod 9=2$

$4 mod 9=4$

$8 mod 9=8$

$16 mod 9=7$

$32 mod 9=5$

$64 mod 9=1$

$128 mod 9=2$

Ciclo completado, por tanto

Numero perfecto $2^{n-1}*(2^n-1)$ n>2
Si $2^{n-1} mod 9=1$ entonces $2^{n} mod 9=2\ (2^{n}-1) mod 9=1\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=1*1 mod 9=1$

Si $2^{n-1} mod 9=2$ entonces $2^{n} mod 9=4\ (2^{n}-1) mod 9=3\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=1*1 mod 9=6$ , pero todo numero con resto 3 o 6 al dividir por 9 que no es el propio 3 es divisible por 3 y 2^{n}-1 no es primo.

Si $2^{n-1} mod 9=4 +$ entonces $2^{n} mod 9=8\ (2^{n}-1) mod 9=7\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=4*7 mod 9=28 mod 9=1$

Si $2^{n-1} mod 9=5$ entonces $2^{n} mod 9=1\ (2^{n}-1) mod 9=0\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=0*1 mod 9=0$ , pero todo numero con resto 0 al dividir por 9 es multiplo de 9 y no es primo.

Si $2^{n-1} mod 9=7$ entonces $2^{n} mod 9=5\ (2^{n}-1) mod 9=4\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=4*7 mod 9=28 mod 9=1$

Si $2^{n-1} mod 9=8$ entonces $2^{n} mod 9=7\ (2^{n}-1) mod 9=6\ ((2^{n-1})*(2^{n}-1)) mod 9=8*6 mod 9=6$ , pero todo numero con resto 3 o 6 al dividir por 9 que no es el propio 3 es divisible por 3 y 2^{n}-1 no es primo.

otro

07/07/2009 13:23

Sabemos que todo número perfecto par es de la forma $2^{p-1}(2^p-1)$ donde p es primo. También sabemos que para que el proceso descrito acabe en 1 el número debe ser congruente con 1 módulo 9.

Ahora sólo queda ver cómo se comportan las distintas potencias de 2 módulo 9:
$2^1=2 mod 9; 2^{1-1}=1 mod 9$ , el producto $2^{1-1}(2^1-1)=1 \cdot 1=1 mod 9$
$2^3=8 mod 9; 2^{3-1}=4 mod 9$ , el producto $2^{3-1}(2^3-1)=4 \cdot 7=1 mod 9$
$2^5=5 mod 9; 2^{5-1}=7 mod 9$ , el producto $2^{5-1}(2^5-1)=7 \cdot 4=1 mod 9$
$2^7=2 mod 9; 2^{7-1}=1 mod 9$ , el producto $2^{7-1}(2^7-1)=1 \cdot 1=1 mod 9$
A partir de ahí, se repite. Probado que el producto $2^{p-1}(2^p-1)$ siempre es 1 módulo 9 para todo n impar, también lo es para todo n primo y en particular para los n tales que dicho producto es un número perfecto.

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toniii

07/07/2009 21:55

Por favor, podéis explicar un poco el procedimiento usado y el por qué usais cada cosa? Lo agradecería muchísimo! Gracias y buenas noches

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toniii

07/07/2009 21:57

Bueno, sobre todo, me haría falta saber por qué, para que el proceso iterativo que describe Diamond se cumpla, el número ha de ser congruente con 1, módulo 9

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Dani

07/07/2009 22:19

si un número x se escribe abcd (por ejemplo 3456 es a=3, b=4 etc…) entonces tenemos $x=a10^3+b10^2+c10+d=999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)$ con lo cual vemos que un número es congruente módulo 9 con la suma de sus dígitos. el caso general es idéntico, y basta con iterar hasta llegar a un número menor que 10 para ver que encontrar la clase residual de un número módulo 9 es lo mismo que repetir el proceso de sumar sus dígitos repetidamente.

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Números perfectos « Series Divergentes

10/07/2009 03:24

[…] Como el residuo de 10 entre 9, y por lo tanto de cada potencia de 10, es 1, esto implica que la suma de los dígitos de un número perfecto también tiene 1 como residuo de su división entre 9. Si, a su vez, sumamos los dígitos de este suma, y sucesivamente, entonces siempre terminaremos en 1. Esta propiedad fue propuesta como problema hace algunos días en el blog Gaussianos. […]

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vanesa

03/11/2009 20:21

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vanesa

03/11/2009 20:23

por favor necesito ayuda, nose como explicar porqué todo primo impar es de la forma 4n+1 ó 4n+3 , teniendo q listar tambien los 20 primeros primos, indicando en cada uno a cual de las formas correspone,porfavorrrr

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