El lunes pasado me acerqué a una administración de loterías a validar mi apuesta semanal del Euromillón y me encontré con que esta misma semana entraban en vigor algunos cambios en este sorteo. Recordé entonces este post de Microsiervos que leí el mes pasado sobre el tema. Pero antes de hablar de ellos comento rápidamente cómo funcionaba el Euromillón hasta la semana pasada:

Para validar una apuesta del Euromillón se tenían que elegir cinco números del 1 al 50 y después dos números del 1 al 9 (llamados estrellas). Se conseguía premio si se acertaban 5+2 (los cinco números y las dos estrellas), 5+1, 5+0, 4+2, 4+1, 4+0, 3+2, 3+1, 3+0, 2+2, 1+2 ó 2+1.


Concretamente los cambios principales referidos al propio mecanismo del juego son los siguientes:

  • Las dos estrellas deben elegirse entre los números 1 y 11.
  • Entra una nueva categoría en las premiadas: 2+0.
  • Pasa a haber dos sorteos: uno los martes y otro los viernes (éste es el que había hasta ahora).

¿Qué provocan estos cambios? Pues muy sencillo: que sea más difícil obtener el premio gordo (en general, cualquier premio que corresponda a una categoría con estrellas). Claro: si aumentamos la cantidad de números entre los que elegimos las estrellas habrá más parejas posibles de dos elementos que se pueden formar con ellos, por lo que será más complicado que nuestra pareja de elementos sea la que corresponde a la de un cierto sorteo, es evidente, ¿verdad?

La cuestión que os quería comentar es la siguiente: ¿cómo queda esa probabilidad de obtener el premio mayor? Vamos a utilizar la combinatoria que vimos en el post ¿Cuántos vídeos caben en Youtube? La respuesta está en la combinatoria.

Probabilidades antiguas y nuevas en el Euromillón

Como hemos comentado antes, hasta ahora se elegían cinco números del 1 al 50 y dos números del 1 al 9. Lo que vamos a hacer es contar cuántas formaciones de cinco números entre 1 y 50 y dos números entre 1 y 9 podemos formar. Como tenemos que contar dos tipos de configuraciones numéricas, las vamos a contar por separados y después multiplicaremos los resultados:

  • Números del 1 al 50: Teniendo en cuenta que da igual el orden en que vayamos eligiendo los números (por tanto no importa ese orden) y que no hay repetición de números (no podemos tomar el mismo varias veces), tendremos que usar combinaciones sin repetición. En este caso de 50 elementos tomados de 5 en 5, quedando que hay

    C_{50,5}={50 \choose 5}=\cfrac{50!}{5! \cdot (50-5)!}=2118760

    disposiciones distintas, por lo que tenemos ese número de formas distintas de elegir los cinco números entre los 50.

  • Números del 1 al 9: Igual que antes, no importa el orden y no hay repetición de elementos, por lo que volvemos a tener que usar combinaciones sin repetición, en este caso de 9 elementos tomados de 2 en 2, quedando que tenemos

    C_{9,2}={9 \choose 2}=\cfrac{9!}{2! \cdot (9-2)!}=36

    formas distintas de elegir estos dos números.

Multiplicando ahora estos dos resultados obtenemos la cantidad de apuestas correctas que podríamos realizar en el Euromillón:

C_{50,5} \cdot C_{9,2}=2118760 \cdot 36=76275360

No está nada mal, ¿verdad? Esto nos da la siguiente probabilidad de acertar el premio mayor validando una apuesta:

P(Euromillon \; Antiguo)=\cfrac{1}{76275360}=0.00000001311

Vamos, muy, muy, muuuuuuuy baja.

¿Qué ocurre ahora con la nueva norma sobre las estrellas? Pues que se eligen entre once números en vez de entre nueve, lo que hace que el segundo resultado obtenido anteriormente cambie al siguiente:

C_{11,2}={11 \choose 2}=\cfrac{11!}{2! \cdot (11-2)!}=55

Hay diferencia, pero podría no parecer demasiada. Vamos a calcular igual que antes el número total de configuraciones qu podríamos obtener:

C_{50,5} \cdot C_{11,2}=2118760 \cdot 55=116531800

Guau, casi nada: 116531800 de apuestas posibles, lo que nos da la siguiente probabilidad de llevarnos el premio gordo con una apuesta:

P(Euromillon \; Nuevo)=\cfrac{1}{116531800}=0.00000000858

Comparando los dos resultados obtenidos

\begin{matrix} 0.00000001311 \\ 0.00000000858 \end{matrix}

vemos que la nueva es bastante más baja.

Y lo mismo ocurre con el resto de premios que contienen alguna estrella. Es decir, vale que han introducido una categoría nueva que recibe premio, pero han aumentado bastante la cantidad de configuraciones válidas, por lo que ha disminuido la probabilidad de acierto. Parece que en lo que concierne a las probabilidades nos deberíamos seguir quedando con la Lotería de Navidad.

Y para terminar una curiosidad que también comentan en el artículo de Microsiervos que enlazo al principio de este post. La probabilidad de acertar 2+1 es 1 entre 46, la de acertar 2+0 es 1 entre 23…y la de acertar 0+2 (las dos estrellas pero ningún número) es…1 entre 95. Es decir, es más difícil acertar 0+2 que 2+0 ó 2+1, pero 0+2 no tiene premio. Bien, a ver quién adivina qué he acertado yo en el primer sorteo de esta nueva era, el del martes pasado…Sí, exacto, ningún número y las dos estrellas. Maldita sea…

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