Os dejo el problema de esta semana:
Sea
un polinomio en la variable real
. Demostrar que
.
Suerte.
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Relación entre un polinomio y sus derivadas
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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No es muy diferente del pasado juego sobre la suma de raíces. Se puede hacer desarrollando![\displaystyle{ -\left[p(x)\right]^2 \frac{d}{dx}\frac{p^\prime(x)}{p(x)} }](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B+-%5Cleft%5Bp%28x%29%5Cright%5D%5E2+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bp%5E%5Cprime%28x%29%7D%7Bp%28x%29%7D+%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{ -\left[p(x)\right]^2 \frac{d}{dx}\frac{p^\prime(x)}{p(x)} }")
Usando el problema de las raíces de un polinomio y su derivada… basta comprobar que
PD: no me coje el carácter ‘ en LaTeX
El truco es desarrollar el polinomio en productos
de sus raíces complejas, y utilizar las propiedades de estas raíces cuando el polinomio es real.
Tito, utiliza p(x)^\prime
Tal y como está planteado, el resultado es totalmente imposible. Es más, dados a,b,c cualesquiera es posible encontrar un polinomio p(x) de grado 2 tal que p(0)=a, p'(0)=b y p»(0)=c. Basta tomar a,b,c tales que b^2<ac para encontrar un contraejemplo.
Antonio tiene razón
A lo mejor hace falta que tenga todas las raíces reales y distintas.
Basta con que las raíces sean reales
Me temo que tampoco basta que tenga raíces reales… Sea el polinomio de segundo grado: P(x) = A*x^2 + B*x + C Raíces reales sii (sí y sólo si) B^2 >= 4*A*C Según lo que dice Antonio, en el polinomio de segundo grado la condición es b^2 >= a*c siendo: a = P(0) = C b = P'(0) = B c = P»(0) = 2*A Así que la condición de Antonio es B^2 >= 2*A*C Pero 4*A*C no siempre es mayor o igual que 2*A*C y por tanto raíces reales no implica que se cumpla la desigualdad en x=0 4AC… Lee más »
(Perdón por no vestirlo de LaTeX … no estoy muy puesto en BDSM O_O jejeje)
Perdón por comentar aquí, es que no sabía donde poner esta duda y me corre un poco de prisa resolverla.
Estoy cursando primero de bachillerato y los exámenes estan al caer.
Podríais resolverme la siguiente duda?
tan x = 2·sin^2 x
Gracias por adelantado, y disculpad las molestias.
[Perdón al resto, pero voy a contestar a David] (aunque quizá no debería, pero haré una excepción) tangente = seno / coseno ¿puede ser igual a 2* seno * seno ? En ese caso, diviendo ambos por seno (en caso de que este seno no sea cero, claro, jeje), sería: ¿ 1 / coseno = 2 * seno ? o bien, ¿ 2* seno * coseno = 1 ? EVIDENTEMENTE, la respuesta a la pregunta es NO. 2*sin(x)*cos(x) = sin (2*x) y eso no es lo mismo que 1 siempre, está claro. El seno es 1 cuando el ángulo es… Lee más »
Muchas gracias por ayudarme Acid, y perdón a todos por postear donde no debo.
Debo decir que me encanta esta web, aunque mi nivel aun no es muy bueno y no comprendo demasiadas cosas.
Espero ser más útil en un futuro.
Gracias a todos y reitero mi disculpa.
[Disculpas por seguir desvirtuando]
Acid:
También se cumple la igualdad cuando sen(x) = 0, es decir, cuando x = kπ con k número entero.
Por cierto, a mí también me pasa lo mismo: me gusta mucho la página pero hay muchas cosas que no entiendo.
¡Saludos!
Entonces pregunto, ¿El enunciado del problema de la semana es correcto o no es correcto? Porque yo ya me he hecho un lio
Voy a intentar hacer la demostración de una manera sencilla y simplificada.
Para no entrar en el farragoso terreno de los sumatorios (además no domino el LaTex) voy a considerar el polinomio P(x)=a·x^{n}, despreciando, por ahora, los términos inferiores.
P(x)=a·x^{n}
P'(x)=a·n·x^{n-1}
P»(x)=a·n·(n-1)·x^{n-2}
entonces tenemos que
P(x)·P»(x)=a^{2}·n·(n-1)·x^{2n-2}
[P'(x)]^{2}=a^{2}·n^{2}·x^{2n-2}
por lo que la relación entre expresiones
[P'(x)]^{2}]/P(x)·P»(x)=n
que por definición es un número entero mayor o igual a 0.
Demostrada la relación en un término del polinomio se puede extender a todos los términos de este, manteniéndose la relación al ser una suma de elementos.
fkpozo, Hay varios fallos: [P'(x)]^{2}]/P(x)·P”(x)= n/(n-1) * Si n es 1 (monomios en x) ¡resulta que P» es cero! así que no puedes dividir por P» Al dividir por 0… el razonamiento no estaría bien, aunque cambiando por [P'(x)]^{2}] * (n-1) = n * P(x)·P”(x) ya sí sería correcto y esto prueba que en cualquier monomio se cumple la desigualdad… * Pero el mayor error es la frase final: pensar que si se cumple en un monomio también se cumplirá en un polinomio… P(x) = M1(x) + M2(x) … P'(x) = M1′(x) + M2′(x) … P»(x) = M1»(x) + M2»(x)… Lee más »
Cierto, el enunciado es erróneo. El problema no es mío. A ver si pronto puedo poner el enunciado exacto.
Perdón por las molestias.
Efectivamente, el enunciado es correcto sólo si se asume que el polinomio tiene todas sus raíces reales, sean simples o no. El caso de polinomios constantes es obvio. Pido disculpas por la grave omisión en el enunciado (¡vaya racha que llevo!) y por la tardanza en arreglar este jaleo. Como bien comentaron desde un principio Gulliver y Tito Eliatron, si son las raíces reales del polinomio (de grado ), basta tener en cuenta que 1) si se cumple la propiedad; y 2) si no es raíz de , entonces expresión que se obtiene derivando el cociente Como bien ha notado… Lee más »
Está claro. Sólo faltaría por aclarar el error en lo que decía Acid | 18 de Noviembre de 2008 | 18:26 siguiendo el comentario anterior de Antonio. Para un polinomio cuadrático podríamos encontrar un contraejemplo de la propiedad en si tuviéramos . Entonces, deberíamos poder garantizar que [1] Acid decía (correctamente) que la condición de raíces reales distintas implicaba que [2], pero que esto no implicaba a su vez [1], lo cual dejaba las puertas a un contraejemplo que refutara la propiedad. Pero esto último es incorrecto. Sí lo implica. Porque, una de dos: si es negativo (o cero) [1]… Lee más »
Cierto Hernán… Yo metí la pata hasta el fondo en el supuesto «contraejemplo» que puse. Y como dices, también si B^2 es mayor que 4*A*C serán raíces reales y también será mayor que 2*A*C (entre otras cosas B^2 >= 0 … Es decir, en general Algo >= 4*A*C no implica Algo >= 2*A*C pero siendo ese Algo >= 0 entonces sí) Analizando completamente el caso de segundo grado: P=A*x^2 + B*x + C P’=2*A*x + B , P»=2*A P’^2= 4*A^2*x^2 + B^2 + 4*A*B*x P»*P = 2*A^2*x^2 + 2*A*B*x + 2*A*C Restando: D(x) = 2*A^2*x^2 + 2*A*B*x + B^2 –… Lee más »