Os dejo hoy lunes el problema de esta semana. Ahí va:
Sea
un subconjunto de números enteros positivos del conjunto
(con
números enteros positivos) que cumple que para cualesquiera dos elementos
con
(
) entonces
también pertenece al propio
.
Prueba entonces que:
Que se os dé bien.
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Algo no entiendo de las condiciones. Si tomo el conjunto (1, 2, 3, …, 100), el subconjunto (1, 2, 3) cumple las condiciones impuestas: m=3, n=100 y las sumas de cada dos elementos es menor que 100, sin embargo, la media aritmética del subconjunto sí es menor que (100+1)/2
JJGJJG:
1+3 y 2+3 son < 100 y no pertenecen a (1,2,3), contrariamente a lo que pide la última propiedad. Sin embargo, si tomas n=3, se cumple la propiedad porque no hay ningún par de números cuya suma sea menor que 3, y la media artimética es 2, cumpliéndose la desigualdad final.
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Una pista: no es difícil ver que
para todo 
.
Sabemos que si m=n es un caso particular en el que se cumplen las condiciones (si su suma es menor o igual que n entonces dicha suma será un número menor o igual que n que claramente está en el conjunto ya que el subconjunto es igual al conjunto {1, 2… n}) y que cumple la desigualdad con igualdad. La suma de números de 1 a n es n*(n+1)/2 O dicho de otra forma, la media es (n+1)/2 y hay n números. (la parte izquierda de la desigualdad es la media del subconjunto) Entonces sólo faltaría probar que si faltan… Lee más »
Un descubrimiento que creo interesante: Si 1 pertenece a A entonces m=n Es decir, si está el 1 entonces no puede faltar ningún elemento de 1 a n Prueba previa: si 1 pertenece a A entonces deben pertenecer a A todas las potencias de 2 (menores o iguales a n, claro). Si 1 pertenece, 1+1 = 2 pertenece, 2+2 = 4 pertenece, 4+4 = 8 pertenece… En general, cualquier potencia de 2 menor o igual que n debe pertenecer. Prueba: supongamos que hay un elemento q de 1 a n que no esté en A. Dicho elemento se puede expresar… Lee más »
Simplemente y por simplificar la prueba de Ácido. En el propio enunciado del problema no se restringe a que ai=aj (de hecho aparece un menor o igual en la cadena de 1,i.j.n) con lo cual supongo que lo del uno lo puedes argumentar sumando unos todas las veces que quieras. Idem con doses, treses, etc.
Creo que la prueba de Acido no es válida. Siguiendo con el ejemplo, la unión de los múltiplos de 2 y los múltiplos de 3 no es una unión disjunta, porque hay elementos que pertenecen a los dos conjuntos (por ejemplo, el 6). Eso hace que no se pueda aplicar un argumento tan sencillo como que la media de la suma va a ser la suma de las medias. Por otra parte, al unir los dos conjuntos habrá que añadir también nuevos elementos, por ejemplo 5 = 2 + 3. De hecho, si a y b son coprimos, cualquier número… Lee más »
Yo también creo que Manzano ha dado justo en el clavo, ordenando el conjunto de menor a mayor se comprueba lo que manzano dijo y… VOILÀ.
A ver lo que dice Manzano: a(i) + a(m-i+1) >= n+1 por ejemplo, para i=1 el elemento primero a(1) sumado al elemento último a(m) es mayor o igual que n+1 … ¿no puede ser n? No, porque entonces n pertenecería a A y n>a(m) lo cual contradice que a(m) fuese el mayor. Pero, ¿¿¿se cumple esto en para todo i ??? Por ejemplo i=2 El elemento segundo sumado al penúltimo ¿debe ser mayor o igual que n+1??? En este caso no me resulta tan sencillo verlo… ¿qué pasa si la suma es n? Pues que ese n debe pernecer a… Lee más »
Golvano, tienes razón… no sería la unión. En caso de ser la unión, me dio por intuir que si en ambos la media es mayor en la unión también lo sería… lo cual es falso en general. En general si tienes conjunto que en media es mayor que algo y lo unes a otro que en media es mayor que eso la unión puede tener una media menor que eso. Por ejemplo, {30, 50, 100} en media (60) es mayor que 59, {32, 48, 100} en media (60) es mayor que 59 pero {30, 32, 48, 50, 100} tiene una… Lee más »
A pesar de lo anterior tenía la duda de si en el caso de múltiplos no se pudiese llegar a eso (que la media de la unión siguiese siendo mayor)… aunque al no ser la unión tampoco serviría probarlo. Pero hice un contraejemplo con múltiplos de 2 y 3: * Múltiplos de 2: {2, 4, 6, 8, 10, 12} : Media_2 = 7 * Múltiplos de 3: {3, 6, 9, 12}: Media_3 = 7.5 Si n=13 en ambos casos se cumple que la media es >= (n+1)/2 = 7 * Unión: {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}: Media_U… Lee más »
Ácido, ese «a(intermedio)» ha de ser mayor o igual que
ya que de lo contrario a(intermedio) no podría ser el intermedio.
Un ejemplo del razonamiento a seguir:
Asumiedo que los elementos están ordenados de menor a mayor.
Si
, entonces 
, contradiciendo que 
era el máximo de A, luego 
.
Si
, entonces 
, contradiciendo que 
era el penúltimo, luego 
.
Y así…
Daniel San, igual se me escapa algo… pero no acabo de ver eso que dices. Por decir una chorrada, {1, 2, 3, 20, 21} n=22 … 3 es el intermedio pero no es mayor o igual que (n+1)/2
… ya se que ese conjunto A que puse no cumple las condiciones pero no acabo de ver por qué el elemento intermedio debe ser mayor o igual que (n+1)/2
No me vale «es que no podría ser el intermedio» o «es imposible»… quiero la prueba.
Daniel como se garantiza que
no es 
Simplemente, si tomas el elemento k empezando por arriba y el elemento k empezando por abajo, su suma tiene que ser mayor que n, porque si no habría k elementos (sumando desde
hasta 
) por encima, y ya no sería el elemento k. Si son impares, emparejas el central consigo mismo y aplicas el mismo razonamiento.
Karl, no te lo puedo garantizar, pero si
, entonces 
sea el penúltimo.
De nuevo se incumple el hecho de que
Ácido, suscribo el comentario de Golvano previo al mío.
Daniel San, Dices «Un ejemplo del razonamiento a seguir: Asumiendo que los elementos están ordenados de menor a mayor.» «Si a(2) + a(m-1) menor o igual que n, entonces a(m-1) menor que a(2) + a(m-1) perteneciente a A, contradiciendo que a(m-1) era el penúltimo» Bueno… en el caso a(1) + a(m) la contradicción se ve más clara. En este caso puede ser que a(2) + a(m-1) fuese a(m) y eso no contradice que a(m-1) sea el penúltimo ¿verdad? Aquí hay que explicar que si a(2)+a(m-1) fuese a(m) entonces podemos formar un a(1)+a(m-1) que es mayor que el penúltimo y menor… Lee más »
Algo falla: A=(4, 5, 9) subconjunto de {1, 2,…, 12}. La única pareja que cumple la condición es a1=4 y a2=5, pues 4+5=9, que es menor que 12, y 9 a su vez pertenece a A. Sin embargo, (4+5+9)/3 = 6 pero n+1/2 = 6.5, y la desigualdad estaría al revés. Es decir, algo en el enunciado está mal.
O soy yo que no capto bien el enunciado… que también podría ser.
tu conjunto está incompleto, te falta 4+4=8; 4+8=12; 5+5=10. Lee bien el enunciado, i puede ser igual a j 😉
Pues tiene usted toda la razón. Y si hubiera leído los comentarios también me hubiera percatado que lo de i = j ya se menciona.
Es falso, basta tomar los conjuntos A={1,2,3}; subconjunto de {1,2,3,4,5}.
Petronicio,
El conjunto A que has dicho no cumple las condiciones. Ya que 1 y 3 pertenecen a A pero 1+3=4 no pertenece a A… ni 2+3=5 tampoco pertenece a A. (siendo 4 menor que n y 5 igual a n)
Acido, entonces esa condición hace que el conjunto A sea vacío debido a que si a
(que es el más alto del conjunto A) le sumas otro número de A el resultado no pertenece a A.
Y el enunciado dice «entonces» lo que significa que no es información adicional, sólo es un resultado de la información ya entregada y también debería poder ser demostrable.
No Petronicio. Por ejemplo: Si el subconjunto A de {1, 2,…, n} es este mismo {1, 2, …, n} (es decir m=n) entonces se cumplen las condiciones del problema: solo basta tomar las parejas de números que suman < ó igual que n, i.e. cualquier emparejamiento con los i,j < n/2 o también emparejados como en la famosa fórmula de la suma de los n primeros números naturales {(n-1)+1, (n-2)+2,….(n-1/2)+(n+1/2), n/2+n/2} (si n fuera par) y entonces dichas sumas sí están contenidas en A; el resto de sumas no y las desechamos.
Perdón, en el mensaje anterior la lista de parejas sumadas debería acabar en {…,(n-2)/2 + n/2, ((n-1)/2 + (n-1)/2)}.
Petronicio, El enunciado dice cualesquiera elementos de A cuya suma sea menor que n y que siempre dicha suma debe pertenecer a A. Por tanto, si es el elemento mayor de A ( a_m ) es por ejemplo n entonces al sumarle otro elemento la suma será mayor que n y no es necesario que dicha suma pertenezca a A. Otro ejemplo, si A no tiene el elemento 1 y a_m = n – 1 entonces a_m + a_i = n – 1 + a_i será mayor que n ya que a_i es mayor que 1… Un ejemplo: sea el… Lee más »
No termino de ver la pista de Manzano :
Algo se me escapa. Esta claro para i=1 e m-i+1=m pero no lo veo para el resto de sumas.
¿Alguien me lo puede aclarar?
Antonio, Yo tampoco lo veía a la primera. Quizá te ayude el comentario de Golvano golvano | 11 de noviembre de 2013 | 23:17 o el mio posterior a ese… Pero intentaré decirlo más claro (por reducción al absurdo). * Supongamos que no se cumple a(i) + a(m-i+1) >= n+1 Suponer eso es equivalente a decir que a(i) + a(m-i+1) es menor o igual a n (y por tanto debe pertenecer a A) Nótese que a(m-i+1) que es el elemento i-ésimo empezando por arriba. Para i=1 sería el primero empezando por arriba (el mayor, el último) Para i=2 sería el… Lee más »
Gracias por la aclaracion, Acido.