Resolver el cuadrado y el cubo de un binomio de forma gráfica

Ayer, en el artículo Sumando números impares apareció la identidad . Todos nos aprendimos de memoria esta identidad pero seguro que muchos no llegaron a comprenderla del todo, simplemente la guardaron en la memoria para cuando hiciera falta. A este colectivo les puede ayudar mucho la imagen que nos ha enviado Papá Oso. Aquí os la dejo junto con una sencilla explicación:

Construyamos un cuadrado de lado n+1. Su área será . Ahora desde el vértice inferior derecho medimos n unidades hacia arriba y hacia la izquierda y trazamos paralelas a los lados. Nos queda un cuadrado de lado n cuya área será , otro cuadrado de lado 1 cuya área es 1 y dos rectángulos de lados 1 y n que tendrán área n·1=n cada uno. Es evidente que la suma de esas áreas debe ser el área total del cuadrado. Pero como vemos la suma de esas áreas es . Obtenemos así la identidad buscada. Y ahora la imagen:

Sobra decir que esto es aplicable al cuadrado de cualquier binomio, es decir, a sean cuales sean a y b:

Y a cualquier otra identidad notable de este tipo. En esta página (de donde he sacado esta última imagen) podéis ver alguna otra.

Y claro, uno puede plantearse si esto serviría también para el cubo de un binomio. Pues sí, claro que si, pero ahora sería un cubo lo que dividiríamos en partes.

Se tiene que . Vamos a verlo:

(Imágenes sacadas de aquí)

Y para terminar una presentación en flash en la que podemos ver la construcción gráfica de estas dos potencias de binomios (con un añadido: demostración gráfica del teorema de Pitágoras distinta a la que nosotros dimos): Geometrizando.

Aunque todo lo que hemos contado en este artículo sea bastante evidente seguro que ha servido para aclarar más estos temas tan sencillos a muchos lectores y lectoras de Gaussianos.