De entrada, quiero decir que no me gusta hablar «mal» de profesores universitarios. En general, me inspiran mucho respeto tanto por lo que han trabajado para llegar ahí como por la labor que realizan, tanto en las clases como en sus investigaciones. Pero, por desgracia, tengo que volver a comentar un caso que por su gravedad creo conveniente sacar a la luz en este blog. Y sí, digo «volver a comentar» por que ya lo hice, al menos, una vez, con otra persona. Vayamos al caso en concreto.

Al tema. La cosa comenzó hace unas semanas. En las clases de la universidad se impartía un tema sobre resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En ellos, como muchos sabréis, es habitual realizar el cálculo de los rangos de ciertas matrices. Pues bien, parece que para este profesor la matriz 0 (es decir, la matriz en la que todas sus entradas son 0) tiene rango 1. Si recordamos que podemos definir el rango de una matriz como el número de filas (o columnas) independientes, y que una fila de ceros es siempre dependiente (es decir, no cuenta para el rango), es evidente que la matriz 0 tiene rango 0 (todas sus filas serían dependientes). Vamos, un error grave.

Más aún. El siguiente tema trataba sobre espacios vectoriales. Sobre ello, recordemos que una base de un espacio vectorial finito se puede definir como un conjunto de vectores de dicho espacio vectorial que cumple que es el mayor conjunto de vectores independientes que se puedan tomar en él. Por otra parte, la dimensión de un espacio vectorial finito es el número de vectores que contiene una base suya. Bien, pues para este profesor el espacio vectorial trivial (el que contiene solamente al vector 0) tiene dimensión 1. Vamos, otro sinsentido.

Imaginad mi cara al escuchar estas cosas de boca de mis alumnos y de verlas en sus propios apuntes (sí, más o menos como en la imagen…). Pero eso no es nada comparado con la que me han enseñado hace un par de días. En esta ocasión es el cálculo el protagonista. Concretamente, el estudio de la derivabilidad de una función a trozos. Dicha función es la siguiente:

f(x)= \begin{cases} 1+x+\cfrac{x^2}{2}, & x < 0 \\ 1, & x=0 \\ e^x, & x > 0 \end{cases}

A la vista de su estructura, es claro que es continua tanto para x < 0 como para x > 0. Por otra parte, estudiando los límites laterales y el propio valor de la función, es fácil comprobar que también lo es para x=0. El tema está ahora en el estudio de la derivabilidad. La función es claramente derivable tanto para x < 0 como para x > 0 (por estar definida en esos intervalos por funciones derivables), y nos quedaría ver si lo es para x=0. Para ello, el profesor hace lo siguiente (está copiado textual de los apuntes de una de mis alumnas):

f'(x)=\begin{cases} 1+x, & x <0 \\ 0, & x=0 \\ e^x, & x >0 \end{cases}

\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{x \to 0^-} (1+x)=1} \\ \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^+} e^x=1} \\ \\ f'(0)=0 \end{matrix}

No, no es ninguna broma, esto es lo que hace. Y, a la vista de estos resultados, llega a la conclusión de que f(x) no es derivable en x=0. En serio, no os engaño. Bueno, pues esto es una barbaridad como un piano de cola, y por partida doble: tanto el estudio de la derivabilidad con ese método como el cálculo de la derivada en x=0 derivando directamente el valor de la función inicial en dicho punto. Tendríais que haber visto mi cara cuando me encontré con esto…flipante.


Vamos a ver cómo se debería haber hecho este estudio. La definición de derivabilidad en un punto es la siguiente:

Una función f(x) es derivable en un punto x_0 si existe el siguiente límite:

\displaystyle{\lim_{h \to 0} \cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

En el caso de que exista, el valor de dicho límite es f'(x_0).

En nuestro caso, x_0=0. Como nuestra función tiene definiciones distintas a ambos lados de dicho punto, debemos calcular las llamadas derivadas laterales (los límites laterales asociados al límite que acabamos de escribir). Vamos a ello:

\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{h \to 0^-} \cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x \to 0^-} \cfrac{1+h+\frac{h^2}{2}-1}{h}=\lim_{h \to 0^-} \cfrac{h(1+\frac{h}{2})}{h}=\lim_{h \to 0^-} (1+\frac{h}{2})=1} \\ \\ \displaystyle{\lim_{h \to 0^+} \cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x \to 0^+} \cfrac{e^h-1}{h}=[L'Hopital]=\lim_{h \to 0^+} \cfrac{e^h}{1}=e^0=1} \end{matrix}

Como veis, las dos derivadas laterales dan el mismo resultado numérico, por lo que dicha derivada existe, y su valor es el obtenido en ambos casos. Vamos, que la función sí es derivable en x=0, y además sabemos que f'(0)=1.


Repito, lo último que querría es tener que comentar cosas así, sobre todo viniendo de profesores universitarios. Pero creo que el tema es suficientemente grave como para hablar sobre ello. Y claro, a mí personalmente me crea un problema: ¿qué hago? ¿Les explico a mis chicos estos cuestiones de la forma correcta o de «la forma del profesor»? Evidentemente, lo que hago es explicarles todos estos temas de la manera adecuada. Ahora, la pregunta es: ¿cómo va a corregir este profesor? ¿Dará como incorrecto un ejercicio en el que alguien diga que el espacio vectorial trivial tiene dimensión 0? ¿O que una función como ésa es en realidad derivable en 0? Y digo más…¿será que este profesor tiene algún problema con el 0? Espero vuestras sugerencias y opiniones, porque yo todavía no he salido de mi asombro…


Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tengo el honor de alojar en Gaussianos.

Imagen tomada de aquí.

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