Si no lo veo no lo creo

De entrada, quiero decir que no me gusta hablar “mal” de profesores universitarios. En general, me inspiran mucho respeto tanto por lo que han trabajado para llegar ahí como por la labor que realizan, tanto en las clases como en sus investigaciones. Pero, por desgracia, tengo que volver a comentar un caso que por su gravedad creo conveniente sacar a la luz en este blog. Y sí, digo “volver a comentar” por que ya lo hice, al menos, una vez, con otra persona. Vayamos al caso en concreto.

Al tema. La cosa comenzó hace unas semanas. En las clases de la universidad se impartía un tema sobre resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En ellos, como muchos sabréis, es habitual realizar el cálculo de los rangos de ciertas matrices. Pues bien, parece que para este profesor la matriz 0 (es decir, la matriz en la que todas sus entradas son 0) tiene rango 1. Si recordamos que podemos definir el rango de una matriz como el número de filas (o columnas) independientes, y que una fila de ceros es siempre dependiente (es decir, no cuenta para el rango), es evidente que la matriz 0 tiene rango 0 (todas sus filas serían dependientes). Vamos, un error grave.

Más aún. El siguiente tema trataba sobre espacios vectoriales. Sobre ello, recordemos que una base de un espacio vectorial finito se puede definir como un conjunto de vectores de dicho espacio vectorial que cumple que es el mayor conjunto de vectores independientes que se puedan tomar en él. Por otra parte, la dimensión de un espacio vectorial finito es el número de vectores que contiene una base suya. Bien, pues para este profesor el espacio vectorial trivial (el que contiene solamente al vector 0) tiene dimensión 1. Vamos, otro sinsentido.

Imaginad mi cara al escuchar estas cosas de boca de mis alumnos y de verlas en sus propios apuntes (sí, más o menos como en la imagen…). Pero eso no es nada comparado con la que me han enseñado hace un par de días. En esta ocasión es el cálculo el protagonista. Concretamente, el estudio de la derivabilidad de una función a trozos. Dicha función es la siguiente:

f(x)= \begin{cases} 1+x+\cfrac{x^2}{2}, & x < 0 \\ 1, & x=0 \\ e^x, & x > 0 \end{cases}

A la vista de su estructura, es claro que es continua tanto para x < 0 como para x > 0. Por otra parte, estudiando los límites laterales y el propio valor de la función, es fácil comprobar que también lo es para x=0. El tema está ahora en el estudio de la derivabilidad. La función es claramente derivable tanto para x < 0 como para x > 0 (por estar definida en esos intervalos por funciones derivables), y nos quedaría ver si lo es para x=0. Para ello, el profesor hace lo siguiente (está copiado textual de los apuntes de una de mis alumnas):

f'(x)=\begin{cases} 1+x, & x <0 \\ 0, & x=0 \\ e^x, & x >0 \end{cases}

\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{x \to 0^-} (1+x)=1} \\ \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0^+} e^x=1} \\ \\ f'(0)=0 \end{matrix}

No, no es ninguna broma, esto es lo que hace. Y, a la vista de estos resultados, llega a la conclusión de que f(x) no es derivable en x=0. En serio, no os engaño. Bueno, pues esto es una barbaridad como un piano de cola, y por partida doble: tanto el estudio de la derivabilidad con ese método como el cálculo de la derivada en x=0 derivando directamente el valor de la función inicial en dicho punto. Tendríais que haber visto mi cara cuando me encontré con esto…flipante.


Vamos a ver cómo se debería haber hecho este estudio. La definición de derivabilidad en un punto es la siguiente:

Una función f(x) es derivable en un punto x_0 si existe el siguiente límite:

\displaystyle{\lim_{h \to 0} \cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

En el caso de que exista, el valor de dicho límite es f'(x_0).

En nuestro caso, x_0=0. Como nuestra función tiene definiciones distintas a ambos lados de dicho punto, debemos calcular las llamadas derivadas laterales (los límites laterales asociados al límite que acabamos de escribir). Vamos a ello:

\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{h \to 0^-} \cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x \to 0^-} \cfrac{1+h+\frac{h^2}{2}-1}{h}=\lim_{h \to 0^-} \cfrac{h(1+\frac{h}{2})}{h}=\lim_{h \to 0^-} (1+\frac{h}{2})=1} \\ \\ \displaystyle{\lim_{h \to 0^+} \cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x \to 0^+} \cfrac{e^h-1}{h}=[L'Hopital]=\lim_{h \to 0^+} \cfrac{e^h}{1}=e^0=1} \end{matrix}

Como veis, las dos derivadas laterales dan el mismo resultado numérico, por lo que dicha derivada existe, y su valor es el obtenido en ambos casos. Vamos, que la función sí es derivable en x=0, y además sabemos que f'(0)=1.


Repito, lo último que querría es tener que comentar cosas así, sobre todo viniendo de profesores universitarios. Pero creo que el tema es suficientemente grave como para hablar sobre ello. Y claro, a mí personalmente me crea un problema: ¿qué hago? ¿Les explico a mis chicos estos cuestiones de la forma correcta o de “la forma del profesor”? Evidentemente, lo que hago es explicarles todos estos temas de la manera adecuada. Ahora, la pregunta es: ¿cómo va a corregir este profesor? ¿Dará como incorrecto un ejercicio en el que alguien diga que el espacio vectorial trivial tiene dimensión 0? ¿O que una función como ésa es en realidad derivable en 0? Y digo más…¿será que este profesor tiene algún problema con el 0? Espero vuestras sugerencias y opiniones, porque yo todavía no he salido de mi asombro…


Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tengo el honor de alojar en Gaussianos.

Imagen tomada de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

49 Comentarios

  1. Bueno mi amigo, yo soy profesor universitario, aunque no de formación matemática estrictamente, soy ingeniero con un doctorado en electrónica e hice dos años (poco menos en realidad) de la licenciatura en matemática y cuando me toca explicar fundamentos teóricos de “señales y sistemas” trato de no ser estrictamente formal, aunque siempre enfatizando en que la fundamentación matemática es más complicada que la que presentamos, que se hace a modo de justificación. No me parece del todo correcto lo que hacemos, pero no es una carrera de licenciatura estrictamente. De todos modos, por ejemplo ayer había un enunciado teórico que decía “Toda serie de Fourier representa una señal de potencia” y analizamos el enunciado detalladamente, bueno yo lo analicé y recuerdo que hacemos hincapié en que las señales perióodicas son de potencia. Sin embargo en un seminario de programación consideramos el ejemplo de un tren de impulsos o deltas de dirac, cuya potencia es claramente infinita, por ende sería una señal superior. Matemáticamente, la señal delta de dirac no es una función. De acuerdo, pero el enunciado no hacía referencia ni limitación alguna a la naturaleza matemática de lo que representamos por serie. Todo esto para decir que siempre, aún cuando no se trate de errores tan groseros, hay cuestiones donde hay o bien errores, o bien cosas no definidas correctamente sin ambigüedad. Podría dar un ejemplo en primaria donde yo con 11 años tuve que corregir a la maestra cuando decía que 0 a la 0 daba 1, pero no es lo mismo, porque su formación no era la de un profesor de matemática. Saludos, espero este comentario aporte algo. Muy buenos los posts por cierto

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    • Compañero Fernando, estoy de acuerdo con tu comentario respecto a la no formalidad matemática fuera de la carrera de matemáticas y que bien se pueden crear errores de manera involuntaria. Pero, ¿qué ocurriría si este profesor, tras ser corregido por algún alumno, no se da cuenta de que está mal lo que ha realizado y prosigue en empeño de enseñar de esta forma? No voy a discutir el método empleado si es riguroso o está lleno de incoherencias matemáticas, pero el resultado final debería ser correcto, lo realice un matemático o no. Pues siendo un tanto exagerados, ¡de ello depende de que el día de mañana un puente colgante no se caiga!
      Por ello pienso que si de verdad es un buen profesor, entonces se preocupará cuando alguien le ponga en duda e investigará sobre la veracidad de lo que hace. Lo importante es estar en un continuo aprendizaje, sin importar quién te enseñe.
      Un saludo

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      • Chapeau!!! El segundo link tiene una demostración deliciosamente simple. El primero no me convenció. Así pues me equivoqué, mucho no me puedo reprochar tenía 11 años, y la maestra la verdad tenía otros errores, pero como dice el dicho hasta un reloj parado acierta dos veces al día a hora. Saludos

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  2. ¿Porque es un error usar el método para ver la derivabilidad en un punto? Es más formal hacerlo por la definición, pero ese método también “funciona”. Se puede demostrar fácilmente.

    Por otro lado, afirmar que no es derivable en x=0 es una barbaridad. Eso es de bachillerato.

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    • Es que lo que está haciendo dicho profesor no es estudiar la derivabilidad de esa función, que es lo que pide el problema (si es que verdaderamente pedía eso), sino estudiar la continuidad de la derivada. Y sí, la función sí es derivable en todo su dominio, lo que no es es de clase C^1.

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      • De clase 1 es toda función con función derivada continua ¿no? Entonces la de ejercicio es de clase1

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        • La función del ejemplo es diferenciable en todos son puntos ya que en el punto “problemático” que es el x=0, la derivada calculada según su definición es un límite que efectivamente existe y vale 1 como ha sido demostrado en esta entrada.
          Otra cosa diferente es la FUNCIÓN DERIVADA, que lamentablemente no es continua, ya que en x=0 presenta una discontinuidad evitable pues f'(0)=0 mientras que los límites valen 1. Por esta razón no sería de clase C1.

          Corríjanme si me equivoco. Un saludo

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          • La derivada en 0 vale 1.

            Hay funciones derivables en todo su dominio pero con derivada discontinua, pero son bastante más raras que la del ejemplo.

  3. Creo que el método que usa para determinar si la función es derivable en 0 es correcto, salvo claro lo de f'(0) = 0. Si la función es continua y las derivadas a izquierda y derecha (no las derivadas laterales en el punto) tienen el mismo límite, la función es derivable y ese límite es su derivada, teorema del valor medio mediante … Ahorta el contrario no es cierto, a pasar de que no coincidan o no exidtan los límites de las derivadas, puede que la función sea derivable. Un ejemplo de esto creo que es f(x) = x*sen(1/x) si x =/= 0 y f(x) = 0 si x = 0, o algo parecido (lo digo de memoria).

    En lo demás, totalmente de acuerdo …

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  4. Estimado Euleriano, seguramente ha habido un error de expresión de mi parte. De hecho varios al haber releído lo que posteé apurado. Para simplificar, el enunciado al que me refiero es de parcial, de hecho un V o F, de modo que no hay problema en el sentido que no es algo que se enseña erróneamente. Lo más importante de todo es enseñarle a los alumnos que pueden terminar haciendo cálculo de estructuras para puentes o no, que deben analizar con detalle todo, que es en lo que siempre hacemos hincapié. Por supuesto que si se encuentra un error se debe corregir. Confucio decía que cometer un error y no corregirlo es cometer dos errores. Y también es cierto que uno siempre continúa aprendiendo por lo que modificamos las guías y el módulo teórico casi continuamente tanto para corregir errores como minimizar o tratar de minimizar las malas interpretaciones. El punto es que todo aquel que haga ciencia no estrictamente teórica (y me atrevo a decir con alguna reserva que también el teórico en algunos casos) debe estar dispuesto a hacer suposiciones y aproximaciones, por supuesto con la debida justificación del caso.

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  5. El fallo, como decís, está en f'(0)=0, pues no se puede llegar a tal conclusión aplicando la derivada habitual en un punto ‘aislado’. En caso contrario, podríamos definir una función numéricamente idéntica a la anterior, con f(x)=x+1, o 2x+1, si x=0. Esto daría f(0)=1, pero derivando con ‘este método’ nos dan f'(0)=1 o 2, aunque numéricamente son indénticas, lo cual es contradictorio.
    Por tanto, lo correcto es derivar con la definición, para x=0. Por último, la función será derivable, con derivada continua. El problema es que no se hace hincapié en cuando podemos comprobar que es derivable simplemente calculando su derivada mediante el método de derivación y cuando no.
    El ejemplo de la función x^2 sin(1/x) (y 0 si x=0), como función continua y derivable, de derivada discontinua en x=0 es útil para ver que a veces la intuición nos puede fallar.
    De todas formas, un fallo de este tipo por parte de un profesor universitario es de tarjeta amarilla, por lo menos.

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  6. Muy fuerte lo que nos cuentas. Yo lo que entiendo es que quieres decir que un determinado profesor, no es que explique mal, que de esos conocemos muchos, sino que transmite un conocimiento erróneo, y pones un par de ejemplos aclaratorios al respecto.
    Escribo esto por que por los comentarios me da la sensación que se diluye un poco el mensaje clave de esta entrada del blog.
    Al margen del formalismo y la flexibilidad que se quiera dar a una explicación, siempre buscando alternativas para que los alumnos entiendan claramente, lo que está claro es que el contenido de lo transmitido no se debe desvirtuar al punto de transmitirlo erroneamente.

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  7. He dado clase de varias asignaturas de matemáticas en Informática y evidentemente las cosas se explican de distinto modo que si fuesen alumnos de la carrera de matemáticas, pero sin decir cosas que no sean ciertas. Menos rigor pero nada que no sea cierto.

    Si profundizamos más empezaremos a pensar quien da clase de matemáticas en la Universidad, quiero decir que de que especialidad son, quizá no saben tanta matemática como creen.

    Esto ya se arrastra desde hace muchos años en la enseñanza secundaria donde para dar matemáticas vale cualquiera y así nos ha ido, pero esto ya da para un debate en profundidad.

    Paciencia Miguel Ángel y salva lo que puedas

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  8. Y porque tú sólo te dedicas a las matemáticas. En otras ciencias estos errores son más usuales (pongo dos ejemplos de física que conozco):
    Ej.1.- cuando yo estudiaba, lo que decía el catedrático al enseñar teoría de la relatividad (sobre si la masa de una nave crece al acercarse a la velocidad de la luz), lo contradecía el profesor titular que nos enseñaba a resolver problemas: ¡de esa misma asignatura!.
    Ej.2.- un profesor titular de Ciencias de la Vida, (antiguo amigo y compañero de curso), me enseñó hace años una ficha de demostración en la que, al creer que la entropía es una medida del desorden, lo aplica a los sistemas vivos y termina confundiendo a sus estudiantes.
    En ambos ejemplos: una discusión profunda en el seno de los departamentos universitarios, solucionaría estos asuntos. Pero si no se castiga al profesor que diga una burrada en clase: pues así estamos.

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    • Lo del punto 1 que citas no es un error. Es solo cuestión de definiciones. En los primeros tiempos de la relatividad se solía decir que m aumentaba con v (se sigue haciendo en muchos textos) pero esto aunque vale para explicar algunas cosas (como la potencia necesaria para acelerar una partícula) falla en otras. Por ejemplo, la “masa inercial” de una partícula sería diferente si la fuerza es paralela o perpendicular a la velocidad (una va como gamma y la otra como gamma al cubo). Por ello, hoy día hay muchos que lo explican dejando la masa constante (la “masa en reposo”) y poniendo explícitamente los factores gamma en las ecuaciones. Por ello, no hay contradicción en que una persona diga que la masa aumenta y otra que diga que no, ya que son interpretaciones. Lo importante es que las ecuaciones sean las correctas.

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  9. Aquí no se trata de más o menos formalización, esto que cuentas es pura chapuza inadmisible incluso en un profesor de la ESO. Por desgracia no me sorprende demasiado: conozco personalmente ese campus que piadosamente no nombras y el que mencionas no es el único ejemplo.

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  10. Yo no diría que las cosas hay que hacerlas con menor rigor por no ser de matemáticas, creo que tiene más que ver con el formálismo de las exposiciones teóricas.

    Un enunciado puede ser riguroso pero poco formal desde el punto de vista matemático, sin que le reste validez al mismo.

    Lo de este profesor es de juzgado de guardia y sería necesario un buen toque de atención. Lástima que no existan los mecanismos para casos tan flagrantes.

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    • Muy interesantes los comentarios, este blog es magnífico.

      El ejercicio esta construido a propósito (véase el segundo trozo), precisamente para que el alumno incauto acostumbrado a estudiar la derivabilidad de una función mediante el procedimiento de estudiar la continuidad de la función derivada, note que “algo no encaja” y se plantee que quizás existan casos donde una función pueda ser derivable en un punto y a la vez la función derivada en ese punto no ser continua.

      Para estudiar funciones a trozos creo recordar que normalmente en los institutos se enseña que la función derivada es útil para estudiar la derivabilidad “dentro” de los trozos pero para estudiar la derivabilidad en “los puntos de conexión” de los trozos hay que hacer los límites laterales pues no te puedes fiar de la función derivada
      ¿Es así? ¿Os parece correcto?

      En cuanto al profesor lo lógico sería que algún alumno le diera el toque preferentemente por lo privado, y que el profesor rectifique inmediatamente y le esté infinitamente agradecido. Si no es así puede acudir a su superior jerárquico ,pero eso no suele suceder.

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  11. Gracias todos por vuestros comentarios, les echaré un ojo a todos con mas detenimiento estos días.

    Os dejo otro caso de otra persona de por aquí que me llegó hace un tiempo:

    Profesora dice en clase que la traspuesta de la adjunta no es lo mismo, en general, que la adjunta de la traspuesta. Y después, en uno de los ejercicios de la relación correspondiente a ese tema, pide que se demuestre que la traspuesta de la adjunta es igual que la adjunta de la traspuesta.

    Pues eso.

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  12. La función a la que me quería referir en mi anterior comentario era x^2*sen(1/x), o cos(1/x) que viene a dar lo mismo, un ejemplo de función derivable en un punto pero cuya derivada no es continua en él, pues carece de límite en ese punto.
    El resto son errores conceptuales de caballo. Y no se cual peor, si hallar una derivada con un valor en un punto o considerar el vector nulo como linealmente independiente, o la matriz nula de rango 1 … A mi me da la impresión, sin mayores datos, que este individuo no se toma muy en serio sus clases.

    En cuanto a los profesores de la ESO, María, efectivamente sería también imperdonable en ellos un fallo de este tipo, pero los que dan solamente ESO nunca explican nada ni remotamente parecido.

    En cuanto a los que dan Matemáticas en 2º de bachillerato, José Ángel, son en su práctica totalidad matemáticos o físicos (como yo antes de jubilarme), y nunca vi a nadie, en 35 años, que tuviese errores comparables a estos.

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    • No sé dónde has dado clase, pero dejando aparte que profesores de la ESO y de bachillerato son lo mismo, te puedo decir que he conocido a montones de químicos, de ingenieros y de economistas (incluso algún biólogo y farmacéutico) dando clase de matemáticas en los institutos y, lo que es peor, formando parte de los tribunales de oposición para acceder a la profesión. Y en la ESO también se pueden explicar cosas interesantes o meter bastante la pata y destrozar el gusto por las matemáticas de los jóvenes.

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      • María,
        Los profesores de la ESO y el Bachillerato no son “exactamente” lo mismo. Yo no voy a criticar este hecho,solo puntualizarlo: por un lado, en el primer ciclo de la ESO sigue habiendo maestros adscritos, que antes daban hasta 8º de EGB y ahora dan clase hasta 2º de ESO, aunque son un cuerpo a extinguir; por otro lado hay centros, en Galicia llamados CPI(centros públicos integrados) que no tienen bachillerato, pero sí Infantil, Primaria y ESO. Obviamente, aunque los profesores de 3º y 4º sí cumplen los mismos requisitos que los de Bachillerato, si uno pasa mucho tiempo trabajando hasta el grado de abstracción que suponen los logaritmos y los sistemas no lineales, es lógico que se vaya olvidando de los rigores del Cálculo, incluso elemental.

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  13. Encuentro bien que cuando se encuentran errores se corrijan. Soy profesor de matemáticas y frecuentemente mis alumnos corrigen errores que cometo en nuestros encuentros. Creo que esto es bueno para mí y mejor para ellos. En este caso opino que el error es remarcable y es necesario hacerlo notar.

    El tema en cuestión no es estrictamente universitario. En mi caso se trata y discute en grupos de bachillerato, porque los alumnos con intuición plantean la posibilidad de encontrar derivadas en un punto a partir de las derivadas en el entorno del punto, especialmente cuando les planteas derivar funciones definidas a trozos.

    En el enlace del final del comentario comparto un apunte elaborado a partir de las discusiones en el aula. Una función que encuentro muy atractiva para el estudio, en x=0, es

     f(x)=\arcsin\left(\frac{1}{1+x^2}\right)

    https://goo.gl/nc3TZk

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    • Muy chulos tus apuntes. Matemáticas de instituto de primera categoría. Si tienes más material de este tipo no dudes en compartir. 🙂

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        • Ramón Nolla, ¡vaya montón de material has elaborado!!

          Tienes mi más profunda admiración…

          Echaré un vistazo a lo que ofreces, y trataré de usar algo.

          Otra vez más, me descubro el sombrero… o_O

          Recomiendo a todo el mundo que le eche un vistazo, probablemente quedaréis igual de asombrados que yo.

          PS. Está en catalán, pero se entiende :-p

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  14. Ahora hablo de memoria, pero juraría que he visto confundir la derivabilidad de una función con el hecho de que sea de clase 1 en libros de texto de bachillerato.
    Con respecto al ejemplo de la traspuesta y la adjunta, suena distinto: quizás la profesora dijo que los conceptos son distintos, no que sean distintos los valores. Por ejemplo, (-2)³ y -2³ responden a operaciones distintas (cubo de -2 y opuesto del cubo de 2, respectivamente), pero los resultados obtenidos son iguales. Otro ejemplo sería el del polémico ejercicio Common Core de 5·3=3+3+3+3+3 ó 5+5+5

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  15. A mi me suspendieron un examen de mates (en la carrera de Química) por usar un método de resolución de ecuaciones diferenciales distinto al dado en clase. Los apuntes de clase me resultaban un galimatías, en los ejercicios de ejemplo veía cosas que no se correspondían con lo que según lo estudiado tenían que dar, muchas cosas raras así que decidí acudir a los libros de la bibliografía recomendada a ver si me aclaraba si era yo el equivocado o los ejercicios y, aparte de ver que yo tenía razón, descubrí un método que me resultaba más sencillo que el dado y decidí usarlo. Cuando vi que había suspendido, extrañado porque pensaba que me había ido muy bien, decidí ir a revisar el examen y tenía el ejercicio correspondiente tachado. Le pregunto por qué a la profesora y me dice que es que ese no es el método usado en clase. Le digo que no pero que está en la bibliografía recomendada y a regañadientes decide revisar el ejercicio (comparar el resultado con el que ella tenía, no pienses que se puso a hacerlo) y al comprobar que da igual me da los puntos correspondiente.
    Al final me suspendió de todos modos porque en dos ejercicios de demostraciones las hice directamente sin repetir el enunciado de lo que se me pedía al inicio del ejercicio ,es decir, si la pregunta era algo así como “Demuestra que para todo “lo que sea” existe un número natural tal que…” no poner lo mismo con la nomenclatura matemática sino pasar directamente a demostrarlo. Le dije que cómo me iba a poner un cero en esas preguntas si estaban bien resueltas por no repetir lo mismo que en el enunciado y me dijo que es que me podía haber aprendido el ejercicio de memoria. Le conteste que le acababa de demostrar que había estudiado resolviendo un ejercicio de un modo no dado en clase y que si por poner antes de todo el ejercicio una A bocabajo y una E al revés no iba estar resuelto de memoria pero no hubo modo, suspendido. Un examen de 9.75 se quedó en 4.75 y porque protesté, pues me puso 2.25
    Por cierto, a esa profesora le hacías una pregunta en clase y como no viniera en los apuntes que llevaba se volvía loca para contestar, aunque fuera una simple corrección en un ejercicio que estuviera haciendo de que se le hubiera ido un signo al cambiar de miembro.

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  16. Estimados señores.
    Soy ingeniero en ejercicio de su profesión. No se preocupen, en la carrera aprendemos que los profesores no son fiables y aprendes a aprender y tener criterio.
    Seguro que si olvidan su profesión se dan cuenta de que a ustedes les pasa lo mismo.

    Un cordial saludo de un atento lector.

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  17. ¡Buenas, saludos a todos desde la Argentina! En mi opinión, con formación en la hija (¿predilecta?) de la matemática, la física (bueno, bueno, no se enojen) me parece, sin hacer ningún análisis de todos los que ya se han hecho en este foro, que deberías exponer tus planteos al profesor. La quejas, las críticas y los debates, pienso que van hacia los lados, en todo caso hacia arriba. Nunca hacia abajo. No creo que los alumnos deban participar de estos errores, ni que el profesor sea expuesto delante de ellos. Primero exponer estas mismas explicaciones en persona con él, y si no entra en razón o te contradice, proponer una reunión departamental, del consejo o del órgano inmediatamente superior a ustedes a fin de zanjar las diferencias de manera clara y democrática. Es claro que tenés razón y que el resto de tus colegas lo verán así, no creo que en ese caso pueda el profesor seguir sosteniendo su postura. Luego verán cómo corregirle el contenido ya expuesto a los alumnos. Saludos nuevamente a todos.

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  18. Cuesta creer que un profesor universitario pueda decir barbaridades del calibre que mencionas. No son imprecisiones, son simplemente barbaridades. Parece no entender qué es una base en un espacio vectorial, qué es el rango de una matriz, o qué es la derivada (con su método de “derivar” me comprometo a demostrar que la “derivada” de cualquier función es nula). Y no tiene nada que ver con las impreciosiones que se cometen en otras disciplinas. Entiendo que un profesor de sísica no siempre se preocupe por ciertos formalismos (comprobar que las funciones que se usan son suficientemente regulares, por ejemplo, o que las hipótesis de determinado teorema se verifican y se puede aplicar), pero no se puede consentir que se digan cosas absurdas. Y en cualquier caso, si uno comete imprecisiones, debe saber dónde las comete, y cómo deberían areglarse. Una de las rzones por las que mucha gente no entiende bien ciertas disciplinas como la física es porque el profesor de turno es muy impreciso en las matemáticas, y el alumno nunca tiene claro qué se puede hacer y qué no. Dicho esto, los ejemplos que pones en este blog son de traca.

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  19. Tremendo. Me pregunto qué estudios tendrá el profesor. Si es matemático creo que habría que cerrar la correspondiente facultad de forma preventiva.

    Si no es un caso de enajenación mental transitoria, creo que los alumnos deberían quejarse. Para algo están los decanos.

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  20. Hace años le di clases particulares a una chica durante bastante tiempo. Cogimos mucha confianza y ella estaba contenta conmigo, pero por razones laborales tuve que dejar de darle clases y se buscó otra persona: el hijo de una profesora de matemáticas. Un día estaba yo tranquilo en casa y me llamó preocupada porque no entendía nada (2º de Bachillerato) y que tenía examen al día siguiente. Le dije, calma, vamos poco a poco. Empezamos a comentar ejercicios y soluciones y era obvio que la chica me entendía mejor a mí, sin más. Pero de repente llegamos a un ejercicio que me dice que a ella y a su profesor del instituto le sale diferente que al particular. Al repasar el ejercicio cuál es mi sorpresa que el particular hizo la siguiente operación matricial para despejar una ecuación: ABX = BAX… Indagando me enteré que ese chico era biólogo y tal… Y no hago una acusación general, pero ahí lo dejo.

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  21. Hola, yo soy profesor universitario, de hecho imparto álgebra lineal, es mi primer semestre, tengo un Master pero en otra ciencia, he tenido algunos tropiezos y cuando mis alumnos me debates trato de despejar la duda, si no se la respuesta les pido la oportunidad de la siguiente clase resolver la duda, en tu caso yo les daría la respuesta correcta a los alumnos y si pudiera hablaría con el docente y le daría mi retroalimentacion. Te lo digo pero depende del docente, a mi me gustaría que me aconsejaran en ese sentido soy muy profesional, lastima que en mi caso no me retroalimenten solo tienen comentarios acerca de mi nula experiencia. Saludos

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  22. Hola a todos,

    En primer lugar, buen post, pero mal mensaje: Una cosa es quitarle el rigor matemático total a un asunto para transmitir una idea, siguiendo el dicho ese de que “a veces los árboles no nos dejan ver el bosque”, y otra muy distinta es no saber lo que se está diciendo, como ocurre en el ejemplo de la derivabilidad de la función a trozos.

    Por cierto, eso de que 0^0 es 1 porque es el límite cuando x tiende a 0 de la función x^x sería como decir que 0/0=1, porque es el límite cuando x tiende a 0 de la función x/x (que, evidentemente, es la función 1), ¿no creéis? 😉

    Un saludo,
    Antonio R.

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    • Entiendo que el mensaje se debe transmitir con el rigor en correspondencia al nivel de los alumnos. El problema es que la cuestión de la derivabilidad de según qué funciones, a veces no queda más remedio que aplicar la definición de derivada. Es posible que resolverlo mediante la definición sea demasiado riguroso para alumnos de bachillerato, y algunos salen con un concepto algo equivocado de la derivación, por no abordar el problema como corresponde.

      Otro asunto son los problemas derivados del abuso del lenguaje, como el que comentas, sobre la cuestión de 0^0 y otras indeterminaciones. El caso es que se debe hacer hincapié en que, si se habla de 0/0, 1/0, etc. lo que se dice en realidad es qué valor toma el límite del cociente de dos funciones, en la que la del numerador tiene por límite 1 y la del denominador 0, por ejemplo, aunque la expresión 1/0, por sí misma, carezca de sentido. Sería demasiado complejo explicarles bien como definir una extensión de los reales en la que sí tengan sentido estas expresiones, y más en cómo usarlas correctamente.

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  23. Yo tengo muy mala experiencia de mi paso por la Universidad. Puede que en otros sitios mejore, pero lo mío fue de traca. Lo saqué en mis 5 años, por cierto, y salvo los primeros años de suficiente pelao, a partir de 3º notable-sobresaliente. Vamos, que no escribo con resentimiento.
    Pero tengo que decir que en la Univ. Murcia, Fac. de Matemáticas, promoción de 1991-95 la MAYORÍA de mis profesores fueron MUY malos.
    Desde Gabriel Vera (analisis complejo, 4º) (oh, sí, yo SÍ voy a dar nombres…) alias “mr.Trivial”, capaz de decir “este ejercicio es trivial”. Ponerse a resolverlo, y 2 días y 6 pizarras más tarde, añadir “¿veis? era fácil”(sic); hasta Salvador Schz-Pedreño (EDO, análisis 3º) que entró un 4 de Julio en un examen final diciendo (sic) “Me ha salido un poco largo, olvidaos de poder hacerlo entero”, incluyendo un ejercicio que necesitaba var.diferenciables y se daba el año siguiente: “el que esté interesado, se acerca a mi mesa y le explico los rudimentos para que pueda hacerlo” (el ejercicio NO se quitó del examen, se puntuó); hasta el actual rector José Orihuela, que faltaba más que venía y unas excusas de vergüenza (“se me ha intoxicado la chacha”, “se me ha pinchado una rueda en la autovía”…)
    Pero la palma se la lleva “don” Procopio Zoroa Terol, por aquel entonces emérito, de Estadística 3º. Tenía que haber estado jubilado AÑOS antes, porque, sin ser delicado, estaba GAGÁ. Tenía un libro, con tipografía horrible hecho en ChiWrite, tipo de letra arial-de-impresora-24-agujas, monótona a más no poder, y el fulano era capaz de decirnos “voy a escribir lo mismo que está en el libro PARA QUE USTEDES NO SE CONFUNDAN si cambio de letra”. Vergonzoso “profesor”, colocó a la hija Noemí (y al marido, y a la amiga de la hija, y a …), que sigue con los mismos usos y costumbres: Ay de tí si no compras el libro, o si te ve con otro libro. Mirando con caras de extrañeza el libro, tomándolo en la mano y copiándolo en la pizarra
    Con decir que lo más importante, incluso más que que compraras su libro, era que si repetías, tenías que darle una foto nueva para la ficha; si no, era capaz de suspenderte y/o no darte las notas…
    Vaya ASCO de Universidad Nepótica Española :,-(

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    • Mi esperencia en una carrera de Ingeniería en los años 80 fue similar a la tuya. Los dos primeros años a academias para poder aprobar y los tres últimos “pasables”.

      Profesores de Cálculo que no sabían resolver correctamente los problemas que habían puesto en el examen del día anterior, idem. los en Física 1, etc, etc, etc.

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      • Desde luego, fue una experiencia nefasta. En ingenierías en Cartagena, contaban mis amigos que era peor. Profesores “titulares” que no aparecían por clase, venía el subalterno jovenzuno de turno, limpiachaquetas de profesión :,-(
        En una Universidad donde “el prestigio” se medía en porcentaje de suspensos, del 90% de “prestigio” p’arriba en todas las carreras científicas. Tampoco es que ahora sea mejor, con la pléyade de carreras “mierderas” de humanidades, que hay un ciento y la mar (y al que le pique, que se rasque…) Comprendo, en cierto aspecto, a ministros diciendo que sobran universitarios. Desde luego, sería deseable un mayor número de gente cualificada y con experiencia. La experiencia lo hace todo, un electricista experimentado y formal no le ha de faltar trabajo. Pero, tiene que haber, por decir algo, un solo ingeniero eléctrico por cada 20 electricistas (también por decir un número)

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    • Hola Yo,

      Yo también me he licenciado en Matemáticas por la Universidad de Murcia en 2011. Por los años en los que dices que te la sacaste, a lo mejor coincidiste con Antonio Cantero, de Molina, que me dio clase a mí en Bachillerato. Te escribo porque tengo una colección de exámenes de la carrera (todos de Murcia) desde hace muchos años, por si conservas los tuyos y me puedes mandar los que tengas a mano, que tengo curiosidad por ver cómo se las gastaban Salvador y demás por aquella época.

      Si estás interesado en ver los que tengo yo, mándame un correo a antonio_armf@hotmail.com

      Saludos,
      Antonio R.

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  24. Que útil sería tanto para profesores como para alumnos poder consultar El Libro del que hablaba Erdős. Así nos evitaríamos algunos disparates matemáticos. Como aun no existe, hay que dudar de todo lo que nos digan, aunque se trate de una afirmación de un reconocido matemático.
    Respecto a tu pregunta, el objetivo sería enseñarles a ser críticos, que sepan llegar y entender la ‘respuesta correcta’ y entender porque otras respuestas no resultan ser correctas.
    Saludos!

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  25. El estudio de la derivabilidad es razonable hacerlo calculando las derivadas laterales mediante la definición; pero hay otros caminos:
    1) Como limite de la derivada f ‘ (x) por la izquierda en 0 vale 1, por la regla de L’Hopital esto implica que la función f es derivable por la izquierda en 0 y esta derivada lateral vale 1
    Como limite de la derivada f ‘ (x) por la derecha en 0 vale 1, por la regla de L’Hopital esto implica que la función f es derivable por la derecha en 0 y esta derivada lateral vale 1
    En consecuencia f es derivable en 0 y f ‘(0)=1
    Es posible que el profesor quisiera hacerlo así, pero se equivocó. No lo quiero justificar, pues lo referente al algebra lineal es inadmisible.

    2) El polinomio de grado 2 que define la función para valores negativos de x es la fórmula de Mc-Laurin de exp(x) luego definiendo f(0)=1, f es derivable dos veces en 0 y f ‘(0)=f ”(0)=1

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  26. Me ha llamado la atención el comentario sobre la endogamia en la universidad en su vertiente de enchufar a tu familiar directo. De esta especialidad ibérica no se habla mucho. Se habla sobre la endogamia “a secas” pero la endogamia de “sangre” si se investigara nos quedaríamos para tomarnos un tranquimazin. Yo conozco dos casos de familiar directo enchufado con plaza fija, ¿Cuántos casos conoceis vosotros?

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    • Respecto a endogamia de sangre en la Univ, sí, lo cierto es que abunda más por ser sobrino, mejor dicho, tener padrino. Pero cuenta un amigo que en la Facultad de Derecho hay también un caso similar: padre, madre e hijo, algún dirigente local de IU, para más señas.
      Pero, yo me decía, bueno, en carreras de letras, el nepotismo puede ser más acusado. En Ciencia, se supone que tienes que probar tu valía, y es incontestable y tal… Era ideas ingenuas, de 1º y 2º de carrera. Cuando te haces un par de años mayor, y ves lo que hay después de 5º, te enteras de primera mano de cómo va el asunto. Este “eminentísimo” Procopio Zoroa, colocó a: la hija, la amiga de la hija (las 2 únicas tesis que dirigió en 40 años de profesor univ, ¡tela!! Pa’ no dar el cante), y al marido de la amiga, creo que también.
      El doctorando va produciendo investigación, que va atribuyendose el kahuna de turno, que es de lo que se nutre para publicar. Y ya, luego, si tiene la paciencia suficiente, y tiene las tragaderas pero que bien grandes, va aguantando las veleidades del kahuna, que te pase uno recién salido por encima en sus favores, etc etc etc y eventualmente, hallehop! terminas haciendo un recopilatorio de lo que has ido poniendo a nombre de tu kahuna, añades algo nuevo, y ya eres doctor. Trabajo en equivo, colaborativo, me parece que lo llaman. Esto en la mayoría de los casos, en los que no, los honra. En la universidad donde PADECÍ mi carrera, Murcia, Facultad de Matemática, ésto era del repelente modo que cuento, en demasiados casos.

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    • Hola.

      Endogamia en la UNED: Por ejemplo, dos hermanos que tenían el “monopolio” de Matemática Discreta, Padre, madre y dos hijos en “Informática y Automática”. Dos hermanos catedráticos en “Lenguajes y sistemas informáticos”. Y eso sólo relacionados con mi carrera, Informática. El resto de titulaciones creo que es aún peor.

      Saludos.

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  27. Algebra: si el profesor debe haber tenido un mal día y seguramente se debe haber corregido, yo solo quiero recomendar un muy buen material para repasar los conceptos avanzados de Algebra lineal y sus aplicaciones y auto-evaluarse por la web, es el libro de David Lay, 4ta edición, que además trae una licencia por un año para ingresar en el portal de Pearson Education, además este libro basa problemas para el uso con software matemático (ej MATHLAB, además de tener un enfoque teórico y demostrativo, en mi caso tengo productos (free costo) con los cuales hice esos ejercicios propuestos! Antes demoraba muchísimo tiempo en resolver ecuaciones, calcular det, obtener los valores y vectores propios,etc,etc hoy se hace muy rápido con el uso de esos programa ! A mí el álgebra líneal me encanta pues es parte de la matemática que puede usarse en muchísimas ocasiones! Ok gracias!

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  28. Cito: “por desgracia, tengo que volver a comentar un caso que por su gravedad creo conveniente sacar a la luz en este blog”

    QUÉ LÁSTIMA

    ¿Conveniente en qué sentido? Siempre me gustó este blog por compartir ideas matemáticas interesantes. Esta publicación resulta ser un comentario personal sobre un error humano. Queja muy válida pero muy distante de la esencia del blog.

    Es CHISME

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  29. Una profesora empeñada en que no podíamos usar que: ” la derivada del valor absoluto en x\neq 0 es la función signo” porque por decreto ley el valor absoluto no es derivable. Costó más de dos puntos en el examen final.

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