Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Aquí teneís el enunciado:
Sea
una sucesión de números reales positivos tal que
para todo
. Probar que la sucesión
es convergente.
.
Que se os dé bien.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
Tienes un 20% de descuento y envío gratis en toda la web de La Tostadora con al menos dos artículos. Usa el código GAUSSIANOS entrando con el enlace de la imagen.
Y usando el código REBAJAS tienes un 30% de descuento hasta el 8 de agosto con al menos 3 artículos.
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail haz click en la imagen.
Si tienes alguna duda, pregunta o sugerencia visita ForoGauss, nuestro foro (click en la imagen). Seguro que alguien te podrá ayudar
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
Visita XRooMers, nuestro nuevo blog sobre escape rooms.
En él encontrarás reseñas e información sobre los juegos de escape que hemos realizado y podrás dar tu opinión sobre ellos y tus propias sugerencias.
Y no te pierdas nuestra clasificación: The XRanking.
Desarrollando los primeros términos en función de a(1) y a(2) obtenemos:
a(3)=((a(1)+a(2))/2; a(4)=(a(1+3a(2))/2^2; a>(5)=(3a(1)+5a(2))/2^3;….
Los coeficientes de a(1) y a(2) son dos términos sucesivos de (2^k-(-1)^k)/3, lo que se comprueba fácilmente por inducción.
Sustituyéndolos en la fórmula del término general y operando obtenemos:
a(n+1)=((a(1)+2a(2))/3)(1-(-1)^n/2^n) cuyo límite, para n creciendo indefinidamente es
(a(1)+2a(2))/3, luego es convergente.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Aquí teneís el enunciado: Sea una sucesión de números reales positivos tal que para todo . Probar que la sucesión es convergente. . Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si……
JJGJJG, es que a(n+1) <= (a(n) + (a(n-1), no igual.
Si a(n) es decreciente, esta claro, pues está acotado inferiormente por 0, por lo que converge. Pero si a veces crece y a veces decrece, ahy que demostrar que la diferencia entre términos consecutivos tiende a cero. Y esto no lo veo del todo claro, porque la diferencia entre términos consecutivos no tiene porqué tender monótonamente a cero, aunque estoy casi seguro que a la larga tiende a cero de cualquier forma.
Tengo que pensarlo más …
el problema no plantea una igualdad si no una desigualdad, en mi opinion se resuelve viendo que la sucesion es monotona y acotada
para acotarla procedemos por induccion, tenemos a(2)<=[a(1)+a(0)]/2<=max[a(0),a(1)]
lo suponemos cierto desde 2 hasta n y lo vemos para n+1
a(n+1)<=[a(n)+a(n-1)]/2<=max[a(n),a(n-1)]<=max[a(0),a(1)] ya que es cierto en n y n-1
si suponemos que la sucesion es creciente ya estaria hecho, y si no habria un m tal que
a(m)<a(m-1), luego a(m+1)<=[a(m)+a(m-1)]/2<a(m-1), luego a(m) y a(m+1) son menores que a(m-1) y por ahi me he quedado, con ver que a(m+1)<=a(m), bastaria, pero no estoy seguro de que eso sea cierto
Jeje, no tiene por qué ser monótona. De hecho, con toda seguridad no es monótona creciente debido a qué en cada paso se reduce la cota máxima. Si tomas el a(n+1) > a(n) entonces necesariamente a(n+2) < a(n) por lo que queda claro que no puede ser monótona creciente. Si que puede ser monótona decreciente, en cuyo caso la serie puede converger a cualquier valor positivo menor que la media de los dos primeros números. Pero podría no se monótona como bien se temía ILC. En ese caso la serie puede converger a cualquier valor positivo inferior al valor calculado… Lee más »
Creo que mi primer razonamiento es suficiente. Si siempre elijo el valor correspondiente al signo igual el límite será el obtenido: (a(1)+2a(2))/3
Si en cualquier momento elijo un a(k) menor que el obtenido para el signo igual, a partir de ese momento el valor máximo obtenible por aplicación del proceso sería:
(a(k)+2a(k-1))/3, que también es un valor acotado, luego sigue siendo convergente.
En el peor de los casos, podría elegir para dos términos sucesivos valores infinitamente pequeños, con lo que el límite también lo sería.
En resumen, la serie converge hacia un valor comprendido entre 0 y mi primer límite.
Discrepo con JJGJJG… que sea acotada solamente no implica que converja.
Basta tomar alguna sucesion como
La clave es la desigualdad.
a(n+1)=(a(n)+a(n-1))/2-f(n)
Así habrá que demostrarlo para cualquier función f(n) positiva y que garantice que a(n+1) es positivo. JJGJJG lo ha hecho para f(n)=0 pero me temo que no sea suficiente.
Pau, según el enunciado a(n) son reales POSITIVOS, luego tu f(n) no puede lícitamente volverlos negativos, en contra de lo supuesto.
Diego ten en cuenta que la sucesión esta formada por reales positivos. Yo creo que con ese dato y el desarrollo de JJGJJG el problema ya esta resuelto.
Se puede intentar probar que se trata de una sucesion de Cauchy.
Oups! Perdón, me debo haber explicado mal. La función f(n) podria ser f(n)=a(n-1)/2 y la sucesión seria siempre positiva. ¿No? ¿Hago algo mal?
|a(n+1) – a(n)| <= |(a(n)+(a(n-1))/2 – a(n)| = 1/2 |a(n)-a(n-1)|
Es de Cauchy.
Pau, haciendo se convierte en una sucesión de valor constante. jjbbrr, no se que es una sucesión de Cauchy, pero desde luego tu inecuación no es correcta. Basta probar con 3 términos como 10, 20, 10. Según tu inecuación, sería lo cual es falso. Yo creo que la explicación de JJGJJG es correcta, aunque parece como si no estuviera del todo demostrada. Da la sensación de que queda un cabo suelto. Propongo la siguiente demostración: 1. Creamos la sucesión , es decir una sucesión del mayor de cada dos terminos consecutivos de la sucesión 2. Se puede demostrar que es… Lee más »
Cartesiano, por ahí vas bien. Ahí va mi intento. Es un poco confuso pero espero que se entienda. Vamos a estudiar la subsucesión de elementos donde es monótona no creciente y la subsucesión de los elementos donde es creciente, probaremos que ambas convergen al mismo límite, y ya que cada elemento de pertenece a una de estas subsucesiones, habremos probado la convergencia de . Consideremos pues los elementos donde la sucesión no crece, esto es, verificando . Es fácil probar que tal subsucesión es monótona no creciente y acotada, de donde se deduce su convergencia. Consideramos ahora los elementos donde… Lee más »
Cartesiano caótico, haciendo
se obtiene
que es convergente y converge hacia 0. Pero era sólo un ejemplo de que 
no tiene porqué ser 0 ni hacer negativa la seria.
Si cada término es, como mucho, la media de los dos anteriores y los dos primeros son finitos, no hay manera de llegar a un término que se mayor que el primero y el segundo, por muchos términos que se tomen.
Otra historia, para cuando se tiene tiempo y ganas, es ver que desde un cierto término en adelante la diferencia entre el término y el límite de la sucesión se hace tan pequeña como se quiera.
Vuelvo a mi tema, Jeje
luego podemos decir que
Como ya ha dicho JJGJJG
¿Entoonces qué pasará cuando introduzcamos un
?
Pues por el mismo método que ha explicado JJGJJG, el límite de convergencia se verá reducido en
Por lo que siempre que mantengamos las restricciones de
, obtendremos que la serie cenvergerá a
El problema es fácil si se analiza bien que implica que una sucesión acotada (por arriba y por abajo), como es el caso que nos ocupa, no tenga límite. En una sucesión así (doblemente acotada pero no convergente), podemos encontrar un valor que llamaré tal que, a partir de un determinado término, la sucesión nunca toma valores mayores que , pero o bien tomará infinitas veces este valor, o bien podemos encontrar términos arbitrariamente cerca de . De igual manera, por debajo, existirá un valor tal que, a partir de un determinado término, la sucesión nunca toma valores menores que… Lee más »
Perdón, un error en la fórmula final (signo MENOS delant del sumatorio):
El el ejemplo que he puesto antes
resulta 
y la serie converge a 0
Es evidente que si
y 
<M, entonces 
<M 
En particular se concluye que
es acotada por lo que existen I=lim inf 
y S==lim sup 
Perdón. Di a publicar antes de tiempo. Espero no equivocarme de nuevo:
Es evidente que si
y 
<M, entonces 
<M 
En particular
es acotada por lo que existen I=lim inf 
y S=lim sup 
. Hay que demostrar que I=S.
Supongamos
y sea h=
Como lim sup
<S+h 
con 
Como lim inf
< I+h
Entonces:
Así pues
, con lo que todos los términos sucesivos son menores que S-h, y lim sup 
(absurdo)
Por tanto I=S y se concluye el resultado.
La sucesión
, es monótona decreciente (y de términos positivos), así que tiene límite 
.
Expresando los valores
en función de los términos la sucesión 
se obtiene
Por tanto es fácil ver entonces que
tiene límite dado por
Buena demostración M.
Los demás en general, creo que se han confundido un poco con los límites superiores e inferiores de la IGUALDAD. Parece claro que el límite inferior es cero. Pero por alguna razón la intuición nos hace tratar de mantener el término lo más arriba posible 😉
Pero dime una cosa M, qué razonamiento te ha llevado a construir la sucesión
así, solucionando todo el resto de la demostración?
Saludos
Cartesiano, como se lee en muchos de los comentarios, se ha buscado una sucesión monótona decreciente a partir de la original. Esto se puede hacer de varias formas, y en particular la que ha propuesto Cartesiano Caotico en su comentario de 13 de June de 2012 | 00:58 también permite concluir el enunciado (
). Sin embargo, parece algo más natural elegir 
, pues basta sumar 
a ambos miembros de la desigualdad de la hipótesis para obtener directamente la monotonía.
Pero no es necesario complicarse tanto, basta con suponer que conocemos las cotas exactas de la sucesión a partir de un con un i suficientemente alto (suficientemente alto quiere decir: lo suficiente como para que no exista un j>i, tal que las cotas a partir de sean diferentes). Si la sucesión no converge, estas cotas «estables» superior e inferior deben existir, así que para demostrar que la sucesión converge, basta con demostrar que si la sucesión alcanza una de las cotas, ya le será imposible alcanzar la otra. Este esquema de demostración no sólo tiene la ventaja de convertir este… Lee más »
Estoy con Sive, las cotas a las que te refieres son el máximo y el mínimo del conjunto derivado de la sucesión. Si no es convergente, al menos la sucesión debe tener dos puntos de acumulación distintos. Por otro lado, como el conjunto derivado es cerrado, siempre tendrá un máximo y un mínimo que son las cotas de Sive. Después de esto, como dice Sive, el resto del problema es juego de niños. Aprovecho para agradecer a Sive esta idea, ya que es aplicable a otros casos. Por otro lado, la demostración de M me parece genial, sobre todo como… Lee más »
Es cierto, Ratoncillo de biblioteca, que dejé ese detalle pendiente, pues es más engorroso de escribir que de entender. Pero, en fin, se puede justificar del modo siguiente:
hemos puesto
y 
, 
, con 
. Para ver que entonces 
converge a 
, basta definir
Luego, ambas sucesiones
y 
tienen igual límite 
.
Lamento discrepar profundamente con Sive por varias razones, y no te lo tomes a mal, pero: – Las demostraciones se hacen o no se hacen. Si es un juego de niños deberías tardar menos en demostrarlos que en «explicar lo fácil que es», y si no tal vez no sea un juego de niños. – Ese concepto que tienes de un «i» suficientemente alto es completamente erróneo. Cuando hablamos de límites, o hablamos de un término ‘i’ cualquiera o hablamos del . No existen esos términos «suficientemente altos». De hecho dices «no exista un j>i, tal que las cotas a… Lee más »
Gracias M, en mis cálculos me salía en lugar de , probablemente me equivocaría en los cálculos porque los hice un poco rápido, de todas formas no tiene importancia, la idea queda clara. Cartesiano Caotico con permiso de Sive propongo una demostración basada en su idea: Sean el mínimo y el máximo, respectivamente, del conjunto derivado de la sucesión. Supongamos que la sucesión no es convergente, entonces (ya que por lo menos el conjunto derivado tiene dos puntos). En el intervalo donde , sólo hay un número finito de términos de la sucesión, ya que si hubiese infinitos por el… Lee más »
Cartesiano Caotico, tienes razón en que una demostración a medias no es una demostración, pero es que yo no di una demostración, di un esquema de demostración, precisamente para discutir si es válido o no. Además, lo que yo dejé sin probar no sólo es un juego de niños (que lo es), es que además lo probó JJGJJG en el primer comentario. En matemáticas se habla de números «suficientemente altos», «suficientemente bajos», y «suficientemente cerca» de otros continuamente, y lo único que se exige es que se aclare rigurosamente que significa eso de «suficientemente». No entiendo muy bien esta parte… Lee más »
Ops, siento el desaguisado de las negritas, esto me pasa por no usar la vista previa…
Sive, creo que o no te explicaste bien (ese es el problema de explicar una demostración y no hacerlo formalmente) o yo no lo entendí bien. Creo que tal vez, con tu propuesta querías decir que para cualquier sucesión que elijamos existe otra que converge y la acota por arriba y por abajo, y por tanto debe converger a ese mismo valor. Sin embargo, yo creo que no dijiste eso precisamente, aunque tras leer a Ratoncillo de Biblioteca parece ser que fui yo el que no lo supe interpretar. Por otro lado, creo que en ningún momento habéis expresado de… Lee más »
No, probablemente yo no me expliqué bien. En esto de las matemáticas soy autodidacta y a veces no me expreso con corrección… aunque yo me entienda. De hecho tuve que explicarlo dos veces para que alguien entendiera lo que estaba diciendo (aunque yo creo que lo expliqué mejor la primera vez), y seguro que Ratoncillo de biblioteca tuvo que poner de su parte más de lo que hubiera sido necesario si yo lo hubiese explicado mejor. De todos modos hablar de «un valor de i suficientemente alto», no es un eufemismo, es que yo procuro evitar pensar en el infinito… Lee más »
Por cierto, ¿habéis entendido el último párrafo de mi comentario anterior? lo he vuelto a leer y me he dado cuenta que me hice un poco el lío, lo escribo de nuevo: Sea tal que para todo (este existe ya que sólo hay un número finito de términos de la sucesión en ). Sea , entonces teniendo en cuenta lo anterior y la desigualdad que define la sucesión, vemos que para todo pero esto contradice que sea punto de acumulación de la sucesión. Observación: Si entonces todos los términos de la sucesión a partir del coinciden con . Esta es… Lee más »
Este problema nos lo metieron en una guía de análisis, pero solo con la igualdad. Ahora bien, me sale una duda ¿Probada para la igualdad la desigualdad no es clara?
Saludos!
Eder Contreras en el caso de la igualdad la sucesión de los pares y la sucesión de los impares son monótonas y de sentido contrario (una creciente y otra decreciente) y es fácil ver que el supremo de la creciente coincide con el ínfimo de la decreciente. Pero esto no ocurre con la desigualdad.
No se si alguien lo mencionó, pero la solución me parece muy intuitiva: cada término es el promedio de los dos anteriores. De ahí que la sucesión esta acotada por los dos valores iniciales.
Pero no es monótona, por la misma observación. Así que me quedo con la demostracion de jjbbrr. Le llevó un renglón demostar que la sucesión es de Cauchy.
Hola esm. Opino lo contrario que tú. No es intuitivo, hay que demostrarlo. La intuición no es una demostración, sobre todo cuando la intuición juego malas pasadas en una gran variedad de situaciones (aunque en otras se muy útil). La demostración de jjbbrr que indicas no es una demostración, sobre todo porque no es correcta. Puedes leer mi comentario del 13 junio con un contraejemplo. Desde luego que es de Cauchy, tanto como que es convergente. Lo curioso es que siendo tan «intuitivo» la demostración no se haya realizado «fácil y rápidamente». Claro que tal vez no sean términos equivalentes… Lee más »
Para Cartesiano caótico, tu argumento 13 Junio 00:56 no es válido, dado que el teorema de Cauchy habla que existe M natural tal que si n mayor que M se cumple…
Tu contraejemplo no sirve dado que solo has dado los 3 primeros términos de la sucesión. Ya el 4º será menor = 15 y así sucesivamente
Que la sucesión es de Cauchy esta ya descrito aunque no de forma 100% precisa en los diferentes comentarios anteriores.
Para todo m,n > N Mod(a(m) – a(n)) < € o su equivalente
lim mod(a(n+1) – a(n)) = 0 con n tiende a infinito
mod(a(n+1) – a(n)) <= mod(a(n)-a(n-1)) / 2 ya se ha visto arriba y siguiendo el mismo proceso n veces <= mod(a(2)-a(1))/ 2**n.
Su límite cuando n tiende a infinito es 0 obviamente y la serie es de Cauchy y converge en R (son equivalentes en R)
CARTESIANO CAÓTICO
Creo que coincidimos más de lo que discrepamos, solo que quizá no me expresé con suficiente claridad. Nunca aceptaría como demostración una idea intuitiva. Y claro que intuitivo no es lo mismo que fácil y rápido, pero me parece mucho más agradable demostrar algo cuando se entiende más claramente su significado, lo cual puede dar la intuición.
Admito que me apresuré al hablar, y no solo por lo de la intuición. La desigualdad no es correcta, y aunque lo fuera, no aseguraría que la sucesión es de Cauchy. Sigo aparte
JJBBRR
Primero, la desigualdad que planteas no es cierta, pues |a|<|b| no implica |a+c|<|b+c|. Por ejemplo, |1||-2+3|
Cuidado con el valor absoluto y las desigualdades triangulares.
Además, cuidado con Cauchy. Sigo aparte.
|1| < |-2| sin embargo |-2+3| < |1+3|
JUANJO ESCRIBANO
Desde luego que el contraejemplo es válido. La desigualdad pedida en el enunciado tiene que valer para todo n, y como 10 20 10 pueden ser términos consecutivos de la sucesión, alcanzan para ver que hay un n que no cumple lo pedido.
Si aún así no te convence, la desigualdad es incorrecta pues |a|<|b| no implica |a+c|<|b+c|. Por ejemplo, |1| < |-2| sin embargo |-2+3| < |1+3|.
Además, lo de los equivalentes tiene también un problema. Sigo aparte
CUIDADO CON CAUCHY
Dado que la sucesión converje, sabemos que será de cauchy. Pero para demostrarlo no alcanza con ver que |a(n+1)-a(n)| tiende a cero. Basta con ver ejemplos como log(n) o sqrt(n), que cumplen con tal condición y sin embargo divergen.
Las hipótesis de cauchy son más exigentes.
{x(n)} es de cauchy si para todo ε>0 existe un N natural tal que para cualesquiera n,m>N, |x(n)-x(m)| < ε.
Para todos n,m. Osea que a partir de cierto N, ε acota la distancia entre dos elementos de la sucesión, sean estos consecutivos o lejanos.
Para Cartesiano Caótico y esm.
El contraejemplo no es válido porque lo que se requiere en la demostración de convergencia es que la condición se cumpla a partir de un N natural y los contraejemplos por tanto tienen que serlo a partir de ese N.
Por ejemplo, 10, 20, 10, 0, 0, … la sucesión no lo cumple pero para N>5 se cumple. Precisamente a esto se refieren las expresiones orales de: siendo n un número suficientemente grande o tan grande como quieras, …
Hola ESM, cuando digo que la condición es equivalente creo que es cierto. En cambio creo que falta indicar que sea acotada para que sea convergente. Demuestro la equivalencia: Sea una sucesión de Cauchy a(i), por tanto para todo €(1) > 0 existe N natural tal que para todo par de números m,n > N se cumple que mod(a(m) – a(n)) < €(1). Fijamos m = n +1 y tenemos que mod(a(n+1) – a(n)) < €(1) y por la definición de límite, el lim mod(a(n+1) – a(n)) = 0 cuando n tiende a infinito implica lo que acabamos de escribir.… Lee más »
Hay un error.
El parrafo
Mod (a(m) – a(n)) = mod (a(m) – a(m-1) + a(m-1) – … – a(n+1) + a(n+1) – a(n)) 0 existe N tal que para todo n < N Mod(a(n+1) – a(n)) N Mod(a(n+1) – a(n)) < €(2),
Se me come la demostración. La idea es que el modulo de a(m) – a(n) es menor o igual que la suma de los modulos a(i+1) – a(i) (restando y sumando los a(i) intermedios) y esta suma es <= (m-n) €(2) por la definición de límite poniendo €(2).
Si para €(1) (serie de Cauchy) calculo €(2) = €(1) / (m-n) y aplico lo anterior queda demostrado