En el momento en el que este post aparezca publicado yo estaré en Guadalajara en el segundo examen de mi oposición: el examen oral. Voy con pocas esperanzas ya que este año apenas he podido estudiar (de hecho es muy probable que simplemente haga acto de presencia), pero estoy obligado a ir. Por todo esto os dejo un problema de oposición. Concretamente fue uno de los problemas del examen de oposición de Andalucía de 2004, la primera oposición a la que me presenté. A ver qué os parece:
El conjunto
tiene estructura de anillo con la suma y el producto de números reales.
Probar que no tiene estructura de cuerpo y encontrar un elemento que no tenga inverso para el producto.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
¿Está bien el enunciado? Porque a mí me da la impresión de que a+b*4 donde a y b son racionales es exactamente igual a Q (basta con tomar b=0 y a cualquiera), con lo que evidentemente es un cuerpo.
Anillo pero no cuerpo…
[c&p] os dejo un problema de oposición. Concretamente fue uno de los problemas del examen de oposición de Andalucía de 2004, la primera oposición a la que me presenté. A ver qué os parece: Probar que no tiene estructura de cuerpo y encontrar …
En el comentario primero sólo se demuestra que el subconjunto de elementos b=0 y a cualquiera sí tiene estructura de grupo.
Pero para demostrar que el conjunto total no tiene estructura de grupo respecto al producto se tiene que buscar un elemento distinto de 0 que no tenga inverso, el inverso de cualquier elemento del grupo es 1/(a+4b), basta con
tomar a = -4b, asi por ejemplo se tiene que el elemento (1, -4) distinto de 0 no tiene inverso.
La estructura de cuerpo para este conjunto obliga a tener inverso de todo elemento distinto del 0, tu elemento con a =-4b es: -4b+4b = 0, por lo tanto no es válido este argumento, creo que el enunciado es erróneo por el comentario de Odo
Como dice Odo, ese conjunto es idéntico a los racionales, se vé inmediatamente por doble inclusión (poniendo b=0 obtenemos cualquier racional, y si a y b son racionales entonces a+4b también lo es). ¿Seguro que en lugar del 4 ese no aparece algo como una raíz cuadrada de algo?
Con lo que dice Odo se ve que ese conjunto incluye Q … todo elemento de Q está en ese conjunto. Ahora hay que ver que no hay más elementos en ese conjunto que no estén en Q. Si el número que multiplica a b es 4… evidentemente b*4 pertenece a Q, ya que 4 pertenece a Q y b pertenece a Q. Y como a pertenece a Q, la suma también pertenece a Q… así que no hay otros elementos que no sean de Q. Por tanto el conjunto, tal como está enunciado es Q. Para que no fuese… Lee más »
¿Qué tienen que ver los números reales con todo esto? Esa parte del enunciado me despista.
Creo que casi todos os centrais sólo en el conjunto en sí.
¿Y no será que directamente existen elementos distintos del neutro para la suma, (0,0), que no tienen inverso multiplicativo?
Creo que udayajivi tiene razón. Cualquier elemento del conjunto { (b,-4b) ,, b es racional } no tiene inverso multiplicativo, y dicho conjunto tiene más elementos que el (0,0).
udayajivi, El conjunto no está descrito como vectores o pares de números… sino como números. Por tanto, para b = 1, a=-4 el número de ese conjunto es cero… y no sirve como contrajemplo, ya que el cero (elemento neutro de la suma) es normal que no tenga inverso respecto al producto. Para que no fuera cuerpo, debe encontrarse un elemento DISTINTO DE CERO que no tenga inverso. Supongamos que es a+b*PI : Sea a = 0, b=1 … el número es PI, su inverso respecto al producto de reales, sería 1/PI y ese número es imposible obtenerlo como a+b*PI… Lee más »
Perdon, cierto Acid, no son pares de números.
Entonces tiene que tener alguna errata, sí.
Acid, efectivamente
no es cuerpo ya que 
es trascendente (ni siquiera es cerrado para el producto).
En fin, dado lo confuso de la situación, y motivado por un comentario previo sobre raíces cuadradas de algo, les propongo esta cuestión: hallar todas las soluciones de la ecuación
Domingo,
Creo que la única solución es x=4, y=1
(Sólo 11+5 (=16) es potencia de 2…)
pero ahora tengo que demostrarlo.
Tengo que demostrar que cualquier otra potencia de 11 (y mayor que 1) al sumar 5 nunca es potencia de 2.
Por mi experiencia en oposiciones tengo mi opinión: el enunciado era así de absurdo.
Recuerdo un ejercicio de oposición en el que, después de un complicado planteamiento con bolas rojas y negras, preguntaron por la probabilidad de obtener una bola azul (que no existía).
jajaja,
bluff, lo que preguntaban era el porcentaje de bolas rojas multiplicado por la probabilidad de que fuera Daltónico jajaja
(debe ser que son retorcidos… o quizá simplemente inútiles… seguro que si alguien les preguntaba si habría error le dirían que no)
Se me resiste lo de las potencias de 11 y de 2.
A lo más que he llegado es que:
La última cifra de las potencias de 2 siguen la secuencia 2,4,8,6 …
Y que siempre 11^y + 5 acaba en 6
Así que basta con comprobar que 11^y + 5 no es 2^(4*z) = 16^z
Por otro lado, he desarrollado 16^z como binomio de Newton, de la forma (11+5)^z …
llego a : 11^z + z*11^(z-1)*5 + … z*11*5^(z-1)+ 5^z
pero no se si sirve de algo
Bueno, después de unas cuantas opiniones doy la mía: ese conjunto es exactamente , como dijo Odo en el primer comentario, por lo que sí es un cuerpo y el enunciado es erróneo. Lo demuestro como comentó vengoroso en el cuarto comentario, por doble inclusión: Sea . : Sea . Como y tanto la suma como el producto de números racionales son operaciones cerradas en se tiene que . Por tanto . : Sea . Al ser racional se tiene que también lo es. Evidentemente . Por tanto podemos expresar de la siguiente forma: . Es decir, puede ponerse de… Lee más »
^DiAmOnD^ , creo que te traicionaron los nervios… yo al leer el enunciado también pensé en buscar rápidamente el contraejemplo… ya que con eso estaba resuelta la última pregunta y luego la primera (al existir contrajemplo, implica que no es cuerpo). Pero una vez que me di cuenta de que era Q, buscar contraejemplo ya no tenía sentido, porque no lo hay… entonces yo habría tirado por demostrar que es Q, que el enunciado estaba mal y hacer un enunciado bueno (como cambiar el 4 por PI). Aunque el enunciado esté mal, desde luego lo que nunca van a hacer… Lee más »
Y a próposito de todo esto: ¿qué es exactamente un examen de oposición? ¿Podría alguien explicarme?
¡Salu2 a To2!
Es un examen para acceder a un puesto oficial del estado, para ser funcionario.
S2
Acid pues tienes razón, si me hubiese ocurrido ahora tengo bastante claro qué haría, pero los nervios me jugaron una mala pasada. Qué le vamos a hacer.
Diamond, tu demostración me chirría un poco.
Me explico: si q = 0, perfecto. Pero si q no es 0, entonces de q = 0 + q/4 se desprende que 4q = q (0 es el neutro de la suma, supongo, y el inverso de 1/4 es 4), por lo que ¡4 = 1! (q no es 0).
¿Será que hay que dos «cus» y la demostración ha de ser un pelín más rigurosa? ¿O será que estoy equivocado? Sinceramente no lo sé.
Saludos.
Retiro el comentario anterior, Diamond.
No aprecié el último 4: q = 0 + (q/4)*4!
Pido disculpas.:)
No pasa nada pellejo :D.
hola a todos;
con respecto a si estaba bien escrita, algo asi ni siquiera debe ser corregido bueno o malo, si no mas bien debe ser omitido, ya que un instrumento de medicion escrito(examen,prueba, oposicion) debe cumplir con los pilares de validez, confianza, objetividad y practicabilidad(falla en la confeccion) .
ahora, pregunto si ese conjunto tendrá factorizacion unica.
Qué el problema no está bien enunciado es tan obvio que no me voy a detener a dar ninguna explicación, más aún habiéndola escrito otras personas anteriormente. Por otra parte, el problema tiene sentido si en vez del 4 del enunciado se utiliza la raíz cuadrada de algún primo p (un número trascendente no sirve, ya que su cuadrado sigue siendo trascendente). En el caso que expongo, no tendrían inverso los elementos tales que
.
Cé, yo sí creo que serviría un número transcendente… y tampoco entiendo tu última frase.
Qué gran verdad… Casarse no es sinónimo de tener más sexo (o lo que es lo mismo, anillo no implica cuerpo). No… a veces no se encuentra el inverso, ese que es justo lo que te falta para que al juntarse multiplicando se sea uno sólo. Se me va la pinza…
Qué tal las opos? Se sabe algo?
jajaja, muy bueno Lola, mancantao.
¿podría ser yo tu inverso? (que no invertido)
Yo creo que ninguno de los dos somos nulos, así que quien sabe… 😉
Lola sublime :D.
Pues no, todavía no hay notas porque todavía se están haciendo las exposiciones. Pero de todas formas nada, no hice la exposición porque no pude preparar nada. Esperemos que para las próximas la cosa sea mejor.
Pero hombre debias haberte presentado, mira yo, que soy licenciado en ciencias ambientales, y las he preparado en tres meses, he aprobado, claro que mi nota no es para tirar cohetes, un 6.22.Me lanze a las opos porque en ese momento me estaba leyendo un libro que me cautivo, el universo de las matematicas, de w. Dunham La programacion en dos semanas la elabore me la aprandi de memoria y la solte en el segundo examen, el tercero fatal, porque no hice ninguna unidad didactica, pero me tire 25 minutos soltando rollo, total que al final he aprobado. Recuerdo cuando… Lee más »
Acid, quién sabe… 😛 Diamond, bueno, esto es envidia para animarte a sacártelas la próxima vez: se vive de lujo y es un trabajo muy satisfactorio (cuando no tienes un petardillo diciéndote que pasa de abrir el libro). Yo de vez en cuando les suelto a los de 2º de eso en una esquina de la pizarra la suma de los inversos de los cuadrados y cosas así y quiero pensar que a alguno le sorprenderá y le servirá para abrir su cabeza más allá de multiplicar polinomios 🙂 Porfirio, supongo que es como todo, la suerte claro que influye…… Lee más »
Yo creo que el conjunto es precisamente el de los racionales, así que sí es un cuerpo.