El problema de esta semana es el siguiente:
Hallar razonadamente el valor de la suma
siendo
un número entero y
el
-ésimo número armónico:
Suerte.
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Suma armónica
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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A mí me sale de momento
.
si k=0,
si k>0,
muy buena, fede. Así es.
Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma: $latex $
sin embargo, principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.
definimos el n-ésimo número armónico como: $latex $
y… $latex $ , que crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n.
ademas esto tiene el valor del logaritmo natural de n, y aplicacion grande en la teoria de numeros.
$latex $
que es el valor de la constante de euler-mascheroni.
Parece que como paso intermedio habrìa que demostrar esta:
Sea $latex $
Entonces $latex $
(La saqué por tanteo, y se demuestra fácil por inducción, pero me pregunto si no habrá otra manera)
Bueno, cuando mandé el comentario anterior me tiró un error de php, y ahora veo que las fórmulas se perdieron (el preview anduvo bien, sin embargo). Intento de nuevo:
Sea $latex $
Entonces $latex $
No hay caso. Por si a alguien le sirve, el error es:
Warning: htmlspecialchars() expects at most 3 parameters, 4 given in /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/wp-latex.php on line 50
Warning: Cannot modify header information – headers already sent by (output started at /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/wp-latex.php:50) in /usr/home/gaussianos/www/wp-content/plugins/subscribe-to-comments.php on line 817
Pero, elemental Watson, no hace falta inducción completa, basta darse cuenta que, por ej:
$latex $
con lo cual
$latex $
Ufa.
Has cambiado de version de php o de plugin para latex?
http://uk2.php.net/manual/en/function.htmlspecialchars.php
(segun eso, para esa version de htmlspecialchars hay que tener php 5.2.3 o mayor)
Prueba latex $latex $.
Me parece que hay algun problema en el plugin.
Hay que volver a la versión anterior.
Ups…
Se cambió el plugin de
. Ya he vuelto al plugin anterior. Le echaremos un ojo al nuevo a ver si encontramos el problema.
Siento los errores. Si queréis podéis reescribir los comentarios que habéis dejado.
Prueba.
.
A ver ahora. Decía que como paso intermedio habrìa que demostrar esta:
Sea $latex \displaystyle
S_k = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +
+ \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(k-1) \cdot k}
$
Entonces
Se demuestra fácil por inducción, o también advirtiendo que, por ej,
con lo cual
Se puede empezar demostrando
Siguiendo con mi procedimiento, siguen estos dos resultados intermedios (los escribo con ejemplos, creo que resulta más claro que escribirlo en general).
Por un lado
etc. Y por el otro lado
$latex \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} +
\frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots = (1 + \frac{1}{2}) \frac{1}{2}$
Y así. Reagrupando los términos de la serie se obtiene el resultado de fede.
opinaba que…, Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:
sin embargo, principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.
definimos el n-ésimo número armónico como:
y…
, que crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n.
ademas esto tiene el valor del logaritmo natural de n, y aplicacion grande en la teoria de numeros.
que es el valor de la constante de euler-mascheroni.
efectivamente, la cosa estaba en descomponer la suma (
) como
y si
, 
y así, tras sumar la serie telescópica, se obtiene el valor que da fede en el primer comentario.