Tercer problema de la Olimpiada Matemática de Galicia y de la de Asturias 2013, y, en general, supongo que de todas las Olimpiadas Matemáticas celebradas en España el pasado sábado 12 de enero. El enunciado es el siguiente:
En una sala de baile hay 15 chicos y 15 chicas dispuestos en dos filas paralelas de manera que se formarán 15 parejas de baile. Sucede que la diferencia de altura entre el chico y la chica de cada pareja no supera los 10cm. Demostrar que si colocamos los mismos chicos y chicas en dos filas paralelas en orden creciente de alturas, también sucederá que la diferencia de alturas entre los miembros de las nuevas parejas así formadas no superarán los 10cm.
A por él.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Supongamos que en la i-ésima pareja la diferencia es mayor. Entonces hay 15-i+1 personas de una de las filas que son más de 10cm. más altas que i personas de la otra fila. Estas 15-i+1 personas solo se pueden equiparar en altura con 15-i personas de la otra fila (las otra i son demasiado bajas), por lo que en cualquier emparejamiento que hagamos hay una que se tiene que emparejar con una persona del grupo de las i que más de 10cm. más bajas.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Tercer problema de la Olimpiada Matemática de Galicia y de la de Asturias 2013, y, en general, supongo que de todas las Olimpiadas Matemáticas celebradas en España el pasado sábado 12 de enero. El enunciado es el siguient……
Puedes explicarte mejor, por favor?
¡Buenas! Supongamos que N es el número de personas que forman la fila de chicos (denotémosla por el vector ) y chicas(denotémosla por el vector ). Tal cuál yo lo veo el esbozo de razonamiento sería algo así: dado que con N=1 se cumple trivialmente que al ordenar las parejas y emparejar siguen teniendo una diferencia menor a 10 cm. Cuando añadimos otro chico y otra chica tenemos que éste puede ser el más alto o el más bajo e igualmente con la chica (N=2). Si ambos son los más altos o los más bajos se cumple trivialmente el enunciado… Lee más »
Pensando un poco, no hay problema con la mujer más baja…siempre su compañero en la nueva formación será el mismo compañero que tenía u alguien de menos estatura que su compañero inicial, cumpliendo la diferencia….análogo la mujer más alta, le tocará su compañero o alguien mayor al original, respetando nuevamente la diferencia.
Entonces después eliminamos los extremos quedando 13, y procedemos de la misma forma, hasta quedar 1 pareja en la nueva formación, que obviamente respetarán la diferencia…ahora todo esto es posible por la condición de que las parejas originales cumplen con la diferencia.