Vamos con el problema de esta semana, que consiste en demostrar una caracterización de triángulo rectángulo. Ahí va:
Dado un triángulo
cuyos ángulos son
, demostrar que
Aquí tenemos por tanto otra forma de caracterizar a los triángulos rectángulos que se une a la que vimos hace unos días. Suerte con el problema.
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Supongo que no será del todo (o nada) correcta, pero ahí va.
La expresión puede ponerse como:
que es lo mismo que
y usando la fórmula de euler, podemos ponerla como
es decir
es decir
es decir
por lo que un ángulo debe valer forzosamente
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana, que consiste en demostrar una caracterización de triángulo rectángulo. Ahí va: Dado un triángulo cuyos ángulos son , demostrar que es un triángulo rectángulo si y sólo si Aquí t……
De hecho, si no lo he hecho mal, implicaría caracterizaciones de triángulos con cualquier ángulo de la forma:
es decir, la expresión
caracteriza todos los triángulos con un ángulo
.
Digo…
Me gusta mucho la demostración con variable compleja que ha hecho Jose Juan. YO voy a hacerla con variable real, aunque no es tan elegante. Recordemos que debemos demostrar los dos sentidos. *Sí: «Si es rectángulo se cumple la relación ». Supongamos sin pérdida de generalidad que . De donde . Por otro lado . La expresión a demostrar queda como *Sólo si: Tengo que demostrar que la igualdad exige que un ángulo sea de . Para todos los triángulos . Entonces la ecuación queda como. . Usando el seno de la suma otra vez más, Simplifico, teniendo en cuenta… Lee más »
Tanto la de Rafael como la de josejuan deben tener algo mal, porque, sin haber impuesto ninguna restricción particular, ambas concluyen que el ángulo A (y no otro) es que debe ser recto.
Simplifiquemos: llamamemos
. Entonces, es inmediato que la condición se escribe como
Hay que demostrar, pues, que esa igualdad, con las variables en el rango
, se verifica si y solo si una de ellas, o su suma, vale 
.
El «si» es fácil. El «sólo si», no tanto.
Aplicando la formula de seno de la suma, y seno del ángulo mitad/doble, la condición puede escribirse:
Si
o 
( o sea, 
o 
) la ecuación se verifica.
Si no, simplificamos y obtenemos:
lo cual, por estar acotados los argumentos a 
implica que su suma debe ser 
Y ya está. Pero debe haber un camino más sencillo.
El «Si» es es fácil de ver:
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que
. Entonces 
.
Hay que ver pues, que
. Como 
y 
entonces 
.
Sabiendo que se cumple la siguiente relación trigonométrica:
Entonces,
Con esto el «si» queda probado.
Los triángulos con un ángulo tendiendo a
también cumplen la propiedad (en el límite, claro).
(con
)
(y no son rectos…)
Ese truco no vale josejuan :D.
😉
Dentro de mi ignorancia, he visitado esta página por casualidad y tengo mucha admiración por el templo de la ciencia y reconozco mi incapacidad mental para las mismas. Leo el problema de la semana: Dado un triángulo cuyos ángulos son , demostrar que es un triángulo rectángulo si y sólo si… Con solo intentar comprender las soluciones dadas, ya me entra dolor de cabeza, y las dos únicas cosas que se me ocurren son: que realmente no existen triángulos rectángulos perfectos (siempre hay un grado de error) y que los canteros y albañiles lo solucionaban con un cordel utilizando las… Lee más »