Sumando números impares

En Gaussianos ya hemos hablado del principio de inducción en alguna ocasión. En este post vamos a ver una curiosa propiedad de los números naturales y vamos a demostrarla por este método.

Comencemos volviendo a enunciar el principio de inducción:

Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A
2.- Si k pertenece a A entonces k+1 pertenece a A
Entonces A es el propio conjunto N de los números naturales

Si cambiamos 0 por cualquier otro número natural, digamos m, en el punto 1.- obtendríamos que el conjunto A sería exactamente el subconjunto de los números naturales cuyo elemento mínimo es m. Por ejemplo, si m=4 y se cumplen 1.- y 2.- entonces A={4,5,6,7,…}.

En esta ocasión volveremos a utilizarlo de la misma forma que se hizo en el post que enlazamos en el primer párrafo, pero comenzando en 1: si nuestra propiedad se cumple para el 1 y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n entonces se cumple para n+1 se tiene que se cumple para todos los números naturales a partir del 1.

Vamos ahora con la propiedad de la que hablamos al comienzo:

1=1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52

Si sumamos el primer impar obtenemos 1 al cuadrado; si sumamos los dos primeros impares obtenemos 2 al cuadrado; si sumamos los tres primeros impares el resultado es 3 al cuadrado; y así sucesivamente. ¿Seguro? Eso es justamente lo que vamos a demostrar, que esta propiedad se cumple siempre, sean cuantos sean los números impares que yo sume. Es decir, vamos a demostrar lo siguiente:

Suma de impares igual a n cuadrado

El primer paso es comprobar el primer punto, es decir, que nuestra propiedad se cumple para el primer elemento de nuestro conjunto, que en este caso es n=1. Tendríamos que ver que la suma de todos los impares desde 1 hasta 2·1-1 es 12, o lo que es lo mismo, que 1=12. Pero eso es bastante evidente y además ya lo hemos escrito anteriormente.

Vamos con el segundo y último paso. Para ello lo que hacemos es suponer que la propiedad se cumple para el caso n (esta hipótesis se denomina hipótesis de inducción) y con ello demostramos el caso n+1. Es decir:

Segundo paso de inducción

Comencemos la demostración de este hecho:

(2(n+1)-1)=(2n+1)

Ahora, usando la hipótesis de inducción, sustituímos todos los sumandos menos el último por n2. Y si echamos un vistazo a la expresión resultante vemos que lo que hemos obtenido es precisamente el objetivo buscado:

Uso de hipótesis de inducción y conclusión

Por tanto ahora sí podemos afirmar sin ningún género de dudas que:

Suma de impares igual a n cuadrado

Como podéis ver el principio de inducción es una herramienta no demasiado complicada y bastante potente para demostrar propiedades de los números naturales. Mis alumnos de Cálculo de Informática seguro que tienen bastante claro este hecho.

Y para concluir el post os dejo una petición: si alguien conoce alguna propiedad interesante y/o curiosa de los números naturales que sea demostrable por inducción que nos la mande a gaussianos (arroba) gmail (punto) com y nosotros se la publicamos en cuanto la tengamos preparada. El blog también es vuestro y, como siempre, estamos abiertos a cualquier tipo de sugerencia o colaboración.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comments

  1. Yo tuve que sumar impares en un ejercico de programacion y me qude muertocon el resultado. Pero el profesor se quedo igual XD

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    • Pero es igual si quisiera sumar solo los números de tres cifras impares?
      Si ultilizo esa fórmula será la suma desde el 1 no desde 100 hasta 999, o si?

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  2. >
    No lo dudes, :P, entre cálculo y álgebra, si no te gusta la inducción, desde luego acabas por acostumbrarte a ella, 😀
    Y gracias por el repaso, seguro q me servirá para los próximos días… 😛
    saludossss

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  3. Gracias por esta estupenda referencia. Me ha parecido un tema muy interesante.

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  4. Es muy interesante todo lo que viene aqui. Y se que me servira mucho para mi trabajo de investigacion… Gracias… saludos a la sec. 2 Leyes de reforma.

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  5. Usando la fórmula de la suma de n componentes de una progresión aritmética:
    S=(a_1+a_n)/2 * n

    Para a_n = 2n-1:
    S=[1+(2n-1)]/2 * n = n^2

    También se demuestra lo de
    1+2+3+…+(2n-1) = n^2

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  6. ups… digo lo de
    1+3+5+…+(2n-1) = n^2

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    • Ayudenme con esta
      Cuantos números impares debo sumar empezando del 21 para que la respuesta sea 2016.

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  7. Hola!!

    Y si queremos 1^2 + 2^2 + … + n^2

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  8. ESTA ECUACION K PONEN NO FUNCIONA YA K (2N-1)=N2 NO ES LA FORMULA PARA LA SUMA DE LOS PRIMEROS NUMEROS PRIMOS

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  9. ¿Primeros números primos? La cosa no va de primos sino de impares.

    La suma de los n primeros IMPARES es n^2. Además de haber quedado demostrado por inducción también se puede ver de forma gráfica con una simple hoja cuadriculada:
    .- Un solo cuadradito forma un cuadrado de 1 cuadradito de lado.
    .- Si añadimos 3 cuadraditos (1 arriba, 1 a la derecha y otro en el vértice) formamos un cuadrado de 2 cuadraditos de lado.
    .- Si luego añadimos 5 cuadraditos (2 arriba, 2 a la derecha y otro en el vértice) formamos un cuadrado de 3 cuadraditos de lado.
    .- Si luego añadimos 7 cuadraditos (3 arriba, 3 a la derecha y otro en el vértice) formamos un cuadrado de 4 cuadraditos de lado.
    .- Si luego añadimos 9 cuadraditos (4 arriba, 4 a la derecha y otro en el vértice) formamos un cuadrado de 5 cuadraditos de lado.


    .- Si luego añadimos 2n-1 cuadraditos (n-1 arriba, n-1 a la derecha y 1 en el vértice) formamos un cuadrado de n cuadraditos de lado.

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  10. Tiene algun nombre esta suma de numeros impares???
    Mi hijo de 7 anos lo descubrio y no se como se llama.

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  11. marcelo, no, que yo sepa. Pero es muy meritorio que tu hujo la haya descubierto con 7 añitos 🙂

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  12. pero si la suma no se empieza con el numero 1 como se puede hallar

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    • Si m<n:

      (2m+1) + … + (2n-1) = (1 + 3 + … + (2m-1) + (2m+1) + … + n-1) – (1 + 3 + … + 2m-1) = n^2 – (1 + 2 + 3 + … + m-1) =
      = n^2 – m^2

      Por ejemplo,

      5+7+9 = 5^2 – 2^2 = 25 – 4 = 21

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  13. Diez años más tarde, y como apunte, creo que al principio hay un lígero error.

    Si se cumple:

    1. m pertenece a A
    2. Si k pertenece a A, entonces k+1 pertenece a A.

    Esto no implica que A = {m,m+1, … }, sino que a A contiene a ese conjunto. En definitiva, m no tiene porque ser el elemento mínimo de A. Esto es siempre cierto para el caso m=0.

    Si me equívoco corregidme por favor 🙂

    Pero yo veo que si A = {n,n+1, … , m,m+1, … } con n<m, A cumple ambas propiedades y no es exactamente igual a {m,m+1,…}

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  14. Hola, quiero mostrarles una nueva sumatoria JAB

    (n-m+1)*(n+m)/2

    la misma recorre desde los números negativos a positivos,

    La sumatoria de GAUSS, el inicio debe ser 0 o 1 de lo contrario el resultado sera erróneo.

    La comparación, la realice en planilla de cálculos, en la cual comparo a las tres.

    Si quieren comparar ustedes mismos, puedo enviarles el archivo en Excel.

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  15. Hola, a mí me piden hacer una tarea. Don n representa femenino y m representa masculino. Me dieron un ejemplo pero no lo entiendo. 2. n + 2 . m = 2. (n + m)
    Tengo que hacer pitagóricos.
    Yo los hice sin las letras, números pares e impares las multiplicaciones. Ejemplo 2 x 4 = 8 (par) (femenino)
    3 x 7 = 21 (impar masculino)
    Pero no se cómo hacer para poner los números con las letras n x m….. alguien que me ayude

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  16. La suma de dos números primos mayores que 2, por ser la suma de dos impares, siempre dará como resultado un número par: (3 + 3), (3+5), (5 + 5), (5+7), (7+7), (11 + 5), (13+5), (17+3), (19+3), (19+5), (23+3), (23+5), (23+7), (29+3), etc. Como el conjunto de los números primos es infinito, me pregunto si emparejando convenientemente los primos menores que un determinado par, se puede siempre obtener como resultado ese par. Conjetura de Goldbach

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