En esta entrada explicaremos en qué consiste la conjetura de Kauffman, problema que ha estado abierto durante más de 30 años y que ha sido resuelto recientemente por Marithania Silvero. Recomendamos que, antes de continuar, leas la entrada anterior, en la que la propia Marithania nos introducía en la teoría de nudos: ¿Qué es un nudo para una matemática?

En la entrada anterior hicimos una breve introducción a la Teoría de Nudos, respondiendo qué es un nudo para un matemático y por qué estamos interesados en estudiarlos.

Recordemos que, intuitivamente, podemos pensar en un nudo matemático como el resultado de tomar una cuerda, atarla, y pegar sus extremos entre sí, y que dos nudos son iguales (equivalentes), si podemos pasar del uno al otro deformando la cuerda (retorciéndola, estirándola…) sin llegar a cortarla. Explicamos que los nudos, que son objetos de dimensión 1 que viven en el espacio de dimensión 3, pueden representarse con diagramas planos, que viven en dimensión 2. Un diagrama sería el resultado de proyectar un nudo en un plano, indicando en cada punto doble (que llamamos cruce) qué porción de la cuerda está más lejos del foco desde el que se proyecta con un trazo discontinuo. Así, dependiendo del foco desde el que proyectemos y de la manera en que esté deformada la cuerda, un mismo nudo puede ser representado por infinitos diagramas diferentes. En la siguiente imagen tenemos dos nudos y dos diagramas que los representan (D_1 representa a K_1 y D_2 representa a K_2):

Fig. 1: Los diagrama D_1 y D_2 representan a los nudos K_1 y K_2, respectivamente.

Para estudiar los nudos, a veces nos interesa clasificarlos en familias, atendiendo a diversas propiedades. Por ejemplo, los nudos alternantes son aquellos que pueden representarse por un diagrama en el que, al recorrerlo, vamos pasando alternativamente por encima y por debajo cada vez que encontramos un cruce. El diagrama D_1 de la imagen anterior es alternante, mientras que D_2 no lo es. Por tanto, podemos afirmar que el nudo K_1 es alternante, pero ¿podemos afirmar que el nudo K_2 no lo es? La respuesta es que no: con los datos que tenemos no podemos saber si K_2 es alternante o no, pues, aunque el diagrama D_2 no es alternante, podría suceder que existiera un diagrama alternante que represente al nudo K_2; en tal caso, K_2 sería alternante.

En esta entrada nos centraremos en un problema sobre dos familias de nudos, la familia de nudos alternativos y la de nudos pseudoalternantes, que ha estado abierto durante más de 30 años: la conjetura de Kauffman.

Fig. 2: Louis Kauffman con Marithania Silvero, que refutó su conjetura.

En pocas palabras, Louis H. Kauffman, un (muy) reconocido profesor de la Universidad de Illinois en Chicago, conjeturó en 1983 que las familias de nudos alternativos y pseudoalternantes eran iguales; dicho de otro modo, que un nudo era alternativo si y sólo si era pseudoalternante. Ciertamente, las propiedades que debe cumplir un nudo para ser pseudoalternante guardan mucha similitud con aquellas que debe cumplir para ser alternativo (de hecho, bajo algunas condiciones son propiedades equivalentes), por lo que la conjetura llegó incluso a darse por cierta, a pesar de no haberse encontrado una prueba. ¿Sería que los matemáticos no habrían buscado lo suficiente, o realmente, como pasaba al intentar obtener el nudo trivial a partir del nudo trébol, tal prueba no existiría? La respuesta la dejamos para más adelante. Antes, vamos a definir ambas familias para llegar a comprender mejor la conjetura de Kauffman.

Los diagramas (y los nudos) pueden ser orientados; para ello, simplemente tenemos que fijar una de las dos orientaciones posibles para la cuerda. Así, los cruces de un diagrama orientado pueden ser clasificados como positivos o negativos, según se muestra en la siguiente imagen:

Fig. 3: Los dos tipos posibles de cruces en diagramas orientados.

Partiendo de un diagrama orientado D que representa un nudo K, queremos eliminar todos sus cruces (decimos que queremos suavizarlos). Para eliminar cada cruce, borramos un entorno suyo en el diagrama y conectamos los cuatro trozos de cuerda resultantes en la única forma que preserva la orientación, es decir, como se muestra en la siguiente imagen:

Fig. 4: Suavizado que preserva la orientación (conocido como suavizado de Seifert).

Si hacemos este proceso para cada cruce del diagrama, obtenemos una familia de curvas cerradas (llamadas círculos de Seifert) que dividen el plano en varias regiones (los matemáticos decimos componentes conexas). En la siguiente imagen, tomamos un diagrama que representa al nudo 9_{43}, y suavizamos todos sus cruces, obteniendo 4 curvas cerradas que dividen el plano en 5 regiones:

Fig. 5: El diagrama D representa el nudo 9_{43}. Al suavizar todos los cruces de D obtenemos 4 curvas cerradas.

Sería bueno si pudiésemos guardar también la información de los cruces que había en el diagrama. Para ello, añadimos un segmento uniendo dos círculos en el lugar donde había un cruce, y ponemos una etiqueta a cada segmento, positiva o negativa, según el signo del cruce asociado al segmento. Sigamos con el ejemplo anterior para ilustrar este proceso: el diagrama D tiene 7 cruces positivos y 2 cruces negativos (señalados en verde y rojo en la Figura 6, respectivamente), dando lugar a 7 segmentos con etiqueta positiva y 2 con etiqueta negativa en el diagrama suavizado, como se muestra en la imagen:

Fig. 6: El diagrama D representando el nudo 9_{43} y su diagrama de círculos de Seifert asociado. D no es alternativo, pues en la región sombreada hay segmentos que provienen de cruces negativos (rojos) y positivos (verdes).

Decimos que el diagrama D es alternativo si en cada región todos los segmentos tienen igual signo. El nudo K es alternativo si y sólo si existe un diagrama alternativo que lo represente.

Por ejemplo, el diagrama D que representa el nudo 9_{43} mostrado en las Figuras 5 y 6 no es alternativo, porque la región sombreada contiene segmentos con etiquetas positivas y negativas, pero eso no implica que el nudo 9_{43} no sea alternativo. Para poder afirmar esto, tendríamos que asegurarnos de que ninguno de los infinitos diagramas que representan este nudo son alternativos. Pero eso no sucede, pues si aplicamos una combinación de movimientos de Reidemeister de tipos 2 y 3, obtenemos el diagrama D' de la Figura 7, que también representa al nudo 9_{43} y que sí es alternativo, por lo que concluimos que el nudo 9_{43} es alternativo.

Fig. 7: El diagrama D', que representa al nudo 9_{43}, es alternativo. Por tanto, el nudo 9_{43} también lo es.

Kauffman introdujo la familia de nudos alternativos como una generalización de los nudos alternantes: todo nudo alternante es alternativo, aunque el recíproco (todo nudo alternativo es alternante) no es cierto.

Hemos visto que hay familias de nudos que pueden definirse a partir de una serie de condiciones que exigimos a sus diagramas. También es posible definir familias de nudos a partir de superficies. Este es el caso de la familia de nudos pseudoalternantes, que fueron definidos por Mayland y Murasugi en 1976 a partir de un tipo especial de superficies que necesitaban para probar un resultado relacionado con la Teoría de Grupos.

La idea para definir los nudos pseudoalternantes sería construir un tipo de superficie y ver el nudo como el borde de esta superficie. Vamos, por tanto, a construir las superficies que necesitamos.

Una superficie plana primitiva está formada por una serie de discos y unas bandas que unen algunos de ellos. Las bandas están giradas 180 grados, y es muy importante que todas las bandas de la superficie estén giradas en el mismo sentido (o todas hacia la derecha, o todas hacia la izquierda). En la Figura 8 se muestran tres superficies planas primitivas, S_1, S_2 y S_3.

Estas superficies son “casi planas”, y, pegando varias de ellas, podemos obtener otras superficies un poquito más complicadas: tomamos dos superficies planas primitivas, un disco en cada una de ellas, y los pegamos sin que se solapen las bandas (esto se llama hacer una suma de Murasugi). Podemos hacer este procedimiento de pegado tantas veces como queramos, y a la superficie resultante la llamamos superficie plana generalizada. En la Figura 8 hemos pegado las superficies S_1 y S_2 usando para ello los discos coloreados en amarillo; posteriormente, hemos pegado el disco verde de la superficie resultante con el disco verde de la superficie S_3. El resultado es la superficie plana generalizada S.

Los nudos pseudoalternantes son aquellos que pueden verse como borde de una superficie plana generalizada.

Fig. 8: Las superficies planas primitivas S_1, S_2 y S_3 dan lugar a la superficie plana generalizada S. El borde de S es un enlace pseudoalternante.

En 1983, Louis Kauffman conjeturó que la familia de nudos alternativos coincide con la de nudos pseudoalternantes, es decir, que las condiciones que tiene que cumplir un nudo para ser alternativo son equivalentes a las que tiene que cumplir para ser pseudoalternante. Como adelantábamos antes, es cierto que existen ciertas similitudes entre ambas definiciones. De hecho, si tenemos un diagrama alternativo, es fácil ver que es el borde de una superficie plana generalizada (no entraremos a explicarlo en detalle), por lo que los nudos alternativos son pseudoalternantes.

En 2015 conseguimos refutar la conjetura: encontramos (más bien construimos) un contraejemplo de un nudo pseudoalternante pero no alternativo. Para conseguirlo, utilizamos la familia intermedia de nudos homogéneos (alternativo \Rightarrow homogéneo \Rightarrow pseudoalternante), definidos en 1989 por Peter Cromwell, y algunos resultados clásicos de Teoría de Nudos, entre ellos un invariante polinómico, el polinomio de Conway, que aporta una cota sobre el número mínimo de cruces para nudos homogéneos. El contraejemplo que construimos, que al principio se presentaba como un nudo bastante enredado, resultó ser el nudo 10_{145}, ¡por eso desde entonces es mi nudo favorito!

Fig. 9: El diagrama D representa el nudo 10_{145}. Este nudo es pseudoalternante, pues puede verse como borde de la superficie plana generalizada S, construida a partir de 3 superficies planas primitivas identificadas en el disco d.

Aún hay algo más que podemos decir sobre la conjetura de Kauffman. El género de un nudo es un invariante que se define como el menor género tomado de entre todas aquellas superficies que tienen al nudo como borde. Si nos restringimos a la familia de nudos con género igual a uno, entonces la conjetura es cierta (alternativo \Leftrightarrow pseudoalternante).

Si queréis conocer un poco más sobre esta conjetura y la manera en que la resolvimos, podéis consultar el artículo original “On a conjecture by Kauffman on alternative and pseudoalternating links”, de Marithania Silvero.


Esperamos que os hayan resultado interesantes las dos entradas dedicadas a la teoría de nudos y a la conjetura de Kauffman que Marithania Silvero ha escrito para nosotros. Aprovecho para agradecer enormemente a Marithania que haya colaborado con Gaussianos con estos dos interesantes textos: estoy convencido de que los lectores apreciarán el valor de lo que has conseguido y de que habrán disfrutado mucho leyendo este pequeño resumen que nos has hecho de tu trabajo.


Imagen principal tomada de aquí.

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