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Este artículo es mi aportación a la Tercera Edición del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión organiza Rafael Miranda, de Geometría Dinámica.
Introducción
Las matemáticas, esa ciencia abstracta, esa asignatura complicada, esa materia a veces incomprensible, esconden auténticas maravillas que algunos han olvidado y otros ni siquiera han conocido. Uno de los objetivos de este blog es mostraros esas perlas que en ocasiones permanecen ocultas a los ojos de la mayoría. Y este artículo os va a descubrir una de ellas: la fórmula de Euler.
¿Qué es un poliedro?
Un poliedro es un cuerpo geométrico en tres dimensiones cuyas caras son planas y que encierra un volumen finito. Los segmentos que unen dos caras se denominan aristas y los puntos en los que se cortan varias aristas se llaman vértices.
Podemos encontrar multitud de ejemplos de poliedros en la vida diaria:
-Una caja de zapatos,
-Un libro,
-Un balón de fútbol,
-…
De entre todos los poliedros hay un conjunto de ellos que es especialmente interesante: los poliedros convexos. Este tipo de poliedros cumple que para cada par de puntos que se encuentran dentro del poliedro, el segmento que los une se encuentra también dentro del mismo. Por ejemplo, una caja de zapatos
es un poliedro convexo, pero una figura de este tipo
no lo es (aunque sí es un poliedro).
Los poliedros regulares son un conjunto de poliedros convexos muy particular. Concretamente, un poliedro regular es un poliedro convexo que tiene todas sus caras iguales y sus ángulos poliédricos (ángulos formados por tres o más aristas) también iguales. Solamente existen cinco poliedros regular, de los cuales el tetraedro es el menor en lo que al número de caras se refiere. Los otros cuatro son el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
Aparte de los ya mencionados, existen multitud de tipos de poliedros: poliedros estrellados, poliedros de Catalan, sólidos arquimedianos, sólidos de Johnson, etc. Para más información sobre tipos de poliedros y sus desarrollos planos podéis descargarlos el programa Poly.
La fórmula de Euler
Tomad una caja (poliedro convexo) que tengáis en casa, por ejemplo una caja de zapatos. Contad el número de caras, aristas y vértices de la misma. Veréis que dicha caja tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices. Ahora tomad el número de caras, restadle el número de aristas y sumadle al resultado el número de vértices. El resultado es 
Probemos otra cosa. Cortemos un pico a la caja. Obtenemos así una cara más (para un total de 7), dos vértices más ya que desaparece uno pero aparecen tres (tenemos en total 10) y tres aristas nuevas (ahora hay 15). Realicemos la misma operación: 
Dividamos ahora cualquier cara en el número de partes que queramos. Contemos ahora cuántas, caras, aristas y vértices tiene la figura obtenida. El resultado de la operación anterior es…
Pero dejemos ya la caja. Echad un ojo por ahí y buscad otro objeto que cumpla con la definición de poliedro convexo y realizad la misma operación: caras menos aristas más vértices. El resultado es…sí, efectivamente,
Podéis probar con cualquier cosa que tengáis en casa que sea un poliedro convexo. Siempre obtendréis el mismo resultado:
Este resultado es conocido como fórmula de Euler:
En un poliedro convexo con
caras,
aristas y
vértices se cumple que:
La cantidad de figuras que cumplen la definición de poliedro convexo es tan enormemente grande que parece increíble que tengan una característica común. Este hecho tan sorprendente hace que califique a la fórmula de Euler como maravilla matemática. Y, cómo no, tuvo que ser el gran Leonhard quien nos abriera los ojos, como tantas veces.
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Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Este artículo es mi aportación a la Tercera Edición del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión organiza Rafael Miranda, de Geometría Dinámica. Introducción Las matemáticas, esa ciencia abstracta, esa asignatura ……
Hola,
el enlace al blog Geometría Dinámica no funciona (o no me funciona a mi)
Un saludo
no es asi es: C+V-A
correcto
Da el mismo resultado
orden de los factores no altea el resultado!!!
simon no funciona nada
esta mal porque en mi libro yo tengo así: C + V = A +2
YO TAMBIÉN LO TENGO ASÍ
Es lo mismo, lo que pasa que la A ha pasado al otro lado y se convierte en negativo.
No es lo mismo porque el echo de tener un signo negativo en la ecuación ya te cambia absolutamente todos los resultado de las cuentas que hagas…
-10+9= -1
10+9=19
*Esto siempre ténganlo en cuenta porque sino van a cometer muchos errores*
Ya he visto el problema, le falta una n
Arreglado 🙂
Una maravilla matemática y además sencilla (en el mejor sentido de la palabra). Quién sino Euler…
«Uno de los objetivos de este blog es mostraros esas perlas que en ocasiones permanecen ocultas a los ojos de la mayoría»
Ésto es algo que te agradezco enormemente, no sabes cuánto.
Para los aficcionados a Euler:
http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html
Aquí se escriben dos artículos (en inglés) sobre esta fórmula, en junio y julio de 2004 (son pdfs)
-Una caja de zapatos,
-Un libro,
-Un balón de fútbol,
Hummm…
Euler simplemente no podía ser humano, no existe rama de las matemáticas que no tenga entre sus teoremas el nombre de Euler.
Este en particular es un resultado muy bello mas que otra cosa 🙂
PD. gracias javier
¡Fantástico!
[…] La fórmula de Euler: una maravilla matemática gaussianos.com/la-formula-de-euler-una-maravilla-matematica/ por eliatron hace 2 segundos […]
Os dejo una aplicación de esta fórmula a la resolución de un acertijo que propuse el verano pasado en mi blog.
Genial el artículo.
ok
Omar, un balón de fútbol es un poliedro al que se le han «inflado» los lados para que la forma total sea la de una esfera. El patrón de pentágonos y hexágonos se corresponde claramente con un icosaedro truncado (http://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_icosahedron ), como podrás comprobar fácilmente con cualquier balón de fútbol que tengas en casa :).
«Solamente existen cinco poliedros regular, de los cuales el tetraedro es el menor en lo que al número de caras se refiere. Los otros cuatro son el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.» Sólo notar (para los que nunca lo hayan visto) que hay una manera muy fácil de convencerse de esto: basta ver que para tener un poliedro regular tenemos que «pegar» varios polígonos regulares de manera apropiada. Por supuesto en cada vértice del poliedro resultante incidirán un mínimo de tres de estos polígonos. ya de paso observamos que si al polígono regular de lados le… Lee más »
*»y esto termina nuestra clasificación de los POLIEDROS regulares (o platónicos )»
que buen aporte dani!!!!!
antes de leer tu comentario, en la escuela pensé en esta entrada, comprobé que el octaedro y el cubo cumplen esta propiedad pero nada como tu resumen muy conciso
Hola Diamond, gracias por mantener un blog asi’ interesante y estimulante! Lo leo con mucho gusto desde algunos meses. (Disculpe por los errores de lenguaje, pero mi espanol es muy malo!). Esta formula de Euler es una de esas formulas bien sencillas pero que es algo dificil de aprender de memoria. Mas o meno como por el teorema de Pick (http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pick). Seria util encontrar una mnemotecnica. A lo mejor alguien la sabes? No me acuerdo la demostracion de la formula de Euler, pero me parece que no es muy dificil. Tengo una pregunta: si un poliedro con volumen finito cumple… Lee más »
Interesante cuestión la que propones, Jean. El poliedro de Szilassi es un ejemplo de poliedro no convexo (con agujero, y topológicamente equivalente a un toro) que cumple la propiedad que indicas.
http://en.wikipedia.org/wiki/Szilassi_polyhedron
http://mathworld.wolfram.com/SzilassiPolyhedron.html (contiene un applet para manipular el poliedro).
En cuanto a regla nemotécnica, no sé si te sirve, pero yo recuerdo el orden como una suma alternada de «caras» de dimensión 0 (vértices), 1 (aristas) y 2 (caras).
Es una bonita fórmula. Una forma de recordarla es pensar que la fórmula se cumple para todo grafo planar conexo, y por tanto para el grafo planar que consta de un único vértice sin aristas. En ese caso V=1, C=1 y A = 0, y por tanto C+V=A+2.
Solo podemos añadir una cara o un vértice a un grafo planar conexo si añadimos una arista, y la fórmula se cumple entonces para cualquier grafo planar conexo.
Un regla para recordar la fórmula de Euler es ordenar las variables por orden alfabético (ACV en castellano) y considerar que solo la primera es negativa: – A + C + V = 2
Una variante a la de Omar-P, considerando que los números van antes que las letras (como en base hexadecimal,0123456789ABCDEF):
2 + A = C + V
El hecho de que la fórmula de Euler se cumple para todo grafo planar tiene consecuencias fabulosas. De hecho podemos probar sin mucha dificultad parte de un resultado mencionado aquí: gaussianos.com/grafos-de-kuratowski/ Para estar de acuerdo en el lenguaje, un GRAFO es un conjunto finito de vértices junto con un conjunto de aristas entre los vértices, es decir, un subconjunto de parejas no ordenadas de elementos de . La manera intuitiva de pensar en grafos es dibujar puntos en el plano (vértices) y unirlos con lineas (aristas). Notemos que no admitimos bucles (no hay aristas que empiecen y acaben en… Lee más »
El PROBLEMA que he dejado no es del todo inmediato y es una pieza fundamental para el Teorema de los 6 Colores, así que os animo a intentarlo. A ver quién es el primero que lo resuelve! 🙂
[…] 7 en La fórmula de Euler: una maravilla matemática […]
¿por que siempre el numero 2? ¿tiene algun significado mas ? supongo que por eso la matematica suena a veces a mistica en algunas de sus aspectos. Pero al final termina siendo una observacion interesante la que hizo Euler, buen articulo.
El resultado de Euler es un caso particular de lo que en topología se conoce como característica de Euler-Poincaré. Si nos imaginamos un poliedro de cualquier dimensión n, (lo que en matemáticas se llama un simplex), este tendrá unas «caras» de dimensión n-1, que a su vez tendrán unas «caras» de dimensión n-2 y así hasta llegar a la dimensión cero. Todas las caras que tengan dimensión par se cuentan. Posteriormente se cuentan todas las de dimensión impar. Estos dos números se restan. En definitiva, las caras de dimensión par se cuentan como positivas y las de dimensión impar como… Lee más »
Estimado, ya agregué esta entrada al resumen 🙂
Saludos cordiales
Rafael
Ya que a nadie parece interesarle la cuestión (y mira que me parece un resultado maravilloso) dejaré yo mismo el problema resuelto (más que nada por completitud).
es planar, existe un vértice 
con 
.
tendríamos (en la siguiente suma contamos cada arista dos veces) 
, de donde por la Fórmula de Euler:
una contradicción con 
PROBLEMA: si
Dem: Si fuera
Cito a Castilla, actualmente compañero de desconcierto:
Ein?
[…] Fórmula de Euler, maravilla matemática que vimos hace unos días, sólo es válida para poliedros convexos. En este […]
Necesito la ayuda de cualquiera que me pueda decir como se construye un poliedro de Szilassi o heptaedro toroidal. Porfavor ayudeme lo antes posible tengo que construir antes del 5 de julio de 2010. gracias
Roberto, a ver si esta plantilla te echa una mano:
Poliedro de Szilassi
Si consigues construirlo envíame una foto a gaussianos (arroba) gmail (punto) com y te la subo al set de Flickr del poliedro de Császár.
La fórmula de Euler ¿es sólo válida para poliedros convexos?, yo tenía entendido que era cierta para todos los poliedros sin agujeros. De hecho existe una generalización que viene a ser C+V = A+2 – 2g donde g es el número de agujeros.
[…] este blog ya apareció una en este comentario de nuestro lector Dani, en el post sobre la fórmula de Euler. Lo primero que vamos a hacer en este post es dar esta […]
[…] moscas a cañonazos La fórmula de Euler: una maravilla matemática Miguel Ángel Morales Medina, nuevo editor de la RSME Calcular las razones trigonométricas de los […]
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me sirviooooooo
LO acabo de hacer con unas medidas que me dió la profe para una expo
seria así:
V+C=A+2
8+6=12+2
14=14
NO SE SI ME QUEDARÁ BUENO O NO…
[…] La fórmula de Euler: una maravilla matemática […]
Como puedo determinar el número de diagonales que puede haber en un polígono convexo de n lados.
No es necessario que el poliedro sea convexo para que se cumpla la fórmula de Euler
Saludos estimado. Felicitaciones. ¿Un poliedro es sólido?
._.XD
yo en mis libros y en la pagina que sigo ase años la formula siempre fue C + V = A + 2
les dejo acá la pagina por si alguien lo necesita o lo quiere estudiar por si acaso…
http://calculo.cc/temas/temas_geometria/cuerpos_geometricos/teoria/poliedros2.html