¿Qué es un nudo para una matemática?

Los nudos, presentes en todas las culturas y civilizaciones, aparecen en múltiples contextos de nuestra vida diaria: nudos decorativos, nudos marineros, nudos de montaña, etc. También son empleados por profesionales como los paracaidistas o los cirujanos (nudos quirúrgicos).

Los matemáticos también estudiamos los nudos. Pero, ¿qué es un nudo para un matemático? A continuación te hablamos de ellos como objetos matemáticos y preparamos el terreno para hablar de un problema resuelto recientemente por una matemática española.

Los Premios de Investigación Matemática Vicent Caselles, creados en 2015 y entregados por la Fundación BBVA y la RSME, nacieron con un triple objetivo: reconocer –primera función de un premio–, incentivar la excelencia y el talento de jóvenes investigadores en matemáticas y, a través de ellos, incrementar en el espacio público la visibilidad e importancia de las matemáticas y de quienes la desarrollan.

En el pasado año 2019, uno de estos premios recayó en Marithania Silvero, por resolver una conjetura de Louis Kauffman sobre teoría de nudos que llevaba planteada desde 1983 (aquí podéis ver el resto de premiados).

¿Que quién es Marithania Silvero? Sirva el siguiente párrafo como presentación de esta matemática española:

Marithania Silvero (1989) es investigadora en la Universidad de Sevilla (US) y miembro del Instituto de Matemáticas de dicha universidad (IMUS). Doctora en Matemáticas por la US, ha trabajado en diversas instituciones, entre ellas la Universidad de Illinois en Chicago, la Universidad George Washington (Washington-DC) y la Academia Polaca de Ciencias. Ha sido investigadora postdoctoral en la Universidad de Barcelona-BGSMath, contratada Juan de la Cierva en la Universidad del País Vasco y Profesora Ayudante Doctora en la Universidad de Huelva, su tierra natal.

Premio Extraordinario de Doctorado, miembro del comité científico de la Red Española de Topología e invitada a dar más de medio centenar de charlas sobre su investigación en universidades nacionales y extranjeras, compagina la investigación con su labor docente y considera de gran importancia la labor de divulgación, por lo que siempre que tiene ocasión intenta contribuir a dar visibilidad a las matemáticas y acercarlas a un público no especializado.

Al igual que con María Cumplido (galardonada con este mismo premio en el actual año 2020 y que nos habló hace poco de grupos de trenzas y grupos de Artin y de la intersección de grupos parabólicos), cuando me enteré de la noticia del premio contacté con Marithania para que nos hablara sobre su trabajo. Por diversas circunstancias, esta colaboración se ha retrasado más de lo que a los dos nos hubiera gustado, pero ya la tenemos aquí.

Y, al igual que en el caso anterior, es conveniente dividir el texto de Marithania en dos entradas. En la primera, que podéis leer a continuación, encontraréis una introducción a la teoría de nudos. En la siguiente, que publicaremos en los próximos días, Marithania nos hablará sobre la conjetura que ha resuelto y que ha sido la que la ha llevado a conseguir este prestigioso premio de investigación matemática.

Sin más dilación, os dejo con Marithania y la teoría de nudos. Espero que lo disfrutéis tanto como lo he hecho yo.

Como comentábamos al comienzo, los nudos aparecen en nuestra vida diaria en múltiples contextos. Ahora, ¿qué es un nudo en matemáticas? Para hacernos una idea aproximada, podemos pensar en una cuerda que atamos y en la que pegamos sus extremos entre sí. En lenguaje matemático, un nudo $K\subset \mathbb{R}^3$ es un subconjunto de puntos homeomorfo a $S^1$ .

Fig. 1: Tres ejemplos de nudos. El primero de ellos se conoce como nudo trivial.

La Teoría de Nudos estudia las deformaciones que podemos hacer a esas cuerdas (doblándolas, retorciéndolas, estirándolas…) sin romperlas: dados dos nudos $K_1$ y $K_2$ , ¿es posible deformar uno en el otro sin necesidad de romper la cuerda? En caso de que sea posible, decimos que los nudos son equivalentes (pertenecen a la misma clase de equivalencia), y los consideramos iguales. Pasando de nuevo al lenguaje matemático, $K_1$ y $K_2$ son equivalentes si existe una isotopía ambiente $h: \mathbb{R}^3 \times [0,1] \to \mathbb{R}^3$ con $h_0(K_1) = K_1$ y $h_1(K_1) = K_2$ .

Fig. 2: Tres formas de representar el nudo trivial.

Parece una pregunta bastante sencilla, pero no lo es en absoluto. Cualquiera que haya intentado desenredar una cadena guardada en un bolsillo lo sabe (el ejemplo de los auriculares en el bolsillo habría sido más natural, pero recordemos que para que sean un nudo en el sentido matemático tendríamos que pegar los extremos entre sí…) Para convencer a los escépticos, pongamos un ejemplo tomando el nudo más sencillo, el nudo trivial, formado a partir de una cuerda pegando directamente los extremos (sin atarla previamente). ¿Pensáis que los nudos que se muestran son equivalentes al nudo trivial?

Fig. 3: Dos nudos equivalentes al nudo trivial, tomados del artículo “Hard unknots and collapsing tangles”, de L. Kauffman y S. Lambropoulou.

Si habéis dicho que sí, estáis en lo cierto: podemos manipular la cuerda hasta deformar ambos nudos en el nudo trivial. Pero, ¿qué pasaría con el siguiente ejemplo?

Fig. 4.: Nudo trébol.

Si realizamos el nudo trébol con un trozo de cuerda y pasamos un par de minutos intentando “desatarlo” para obtener el nudo trivial, no lo conseguiremos. Si insistimos un poco más, digamos unos 10 minutos, tampoco lo conseguiremos, ni siquiera insistiendo 1 hora. ¿Pero qué pasaría si lo intentamos durante un día entero, durante un par de semanas o diez años? La respuesta es que no, da igual lo mucho que insistamos, no lo conseguiríamos: el nudo trébol no es equivalente al nudo trivial. Resulta natural preguntarse cómo podemos estar seguros de esto, y la respuesta viene de la mano de un nuevo concepto: los invariantes de nudos.

Sin entrar en mucho detalle, un invariante de nudos es una función definida desde el conjunto de nudos a otro conjunto (puede ser $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\{\mbox{S\'i}, \mbox{No}\}$ , un conjunto de polinomios, un grupo…), de manera que su valor depende de la clase de equivalencia del nudo: dos nudos equivalentes tienen el mismo valor. Así, si al aplicar un invariante a dos nudos obtenemos valores diferentes, sabremos que los nudos son distintos (i.e., no son equivalentes).

Un ejemplo de invariante de nudo sería el índice poligonal, que se define como el menor número de vértices (o lados) que tiene una descripción poligonal del nudo. Dicho de otro modo, si queremos construir el nudo a base de “palitos” rígidos unidos entre sí, su índice poligonal corresponde al menor número de “palitos” que necesitaríamos.

Fig. 5.: Todos los nudos $K$ con índice poligonal $p(K)$ menor o igual a 8.

Los nudos son objetos de dimensión 1 que viven en el espacio de dimensión 3. Para trabajar con ellos, podemos utilizar diagramas planos, que tienen dimensión 2. Un diagrama es el resultado de proyectar un nudo en un plano, con una información adicional: en cada punto doble, que llamaremos cruce, indicaremos con un trazo discontinuo la porción de cuerda que está más lejos del foco desde el que se proyecta. La proyección debe ser regular, es decir, no puede haber superposición de más de dos cruces ni puntos de tangencia.

Fig.6: Tres diagramas correspondientes a cada uno de los nudos de la Figura 1.

Existen infinitos diagramas representando un mismo nudo. En 1927, Kurt Reidemeister probó que dos diagramas representan el mismo nudo (nudos equivalentes) si y sólo si están relacionados por una sucesión finita de lo que hoy conocemos como movimientos de Reidemeister:

Fig. 7: Movimientos de Reidemeister. La parte del diagrama no contenida en el entorno dibujado permanecería inalterada.

Por ejemplo, los diagramas $D_1$ y $D_2$ de la siguiente imagen representan nudos equivalentes: para pasar de uno a otro basta usar un movimiento de cada tipo (R2, R3 y R1).

Fig. 8: Secuencia de movimientos de Reidemeister que relaciona los diagramas $D_1$ y $D_2$

Aunque el Teorema de Reidemeister proporciona una solución teórica a la cuestión de la equivalencia de nudos, en la práctica seguimos teniendo un problema: si encontramos la sucesión de movimientos que determina que dos diagramas son equivalentes, estupendo, pero ¿qué sucede si no la encontramos? ¿Será que no lo hemos intentado lo suficiente, o quizás no exista tal sucesión?

Como vemos, es frecuente encontrar en Teoría de Nudos preguntas aparentemente sencillas a problemas con respuestas complejas. A día de hoy, encontrar un algoritmo polinomial (digamos un algoritmo “rápido”) que determine si un nudo es trivial sigue siendo un problema abierto.

En ocasiones, los nudos se clasifican en familias atendiendo a diversas propiedades. Por ejemplo, los nudos alternantes son aquellos que pueden representarse por un diagrama en el que, al recorrerlo, vamos pasando alternativamente por encima y por debajo cada vez que encontramos un cruce. El segundo diagrama de la Figura 6 cumple esta propiedad, mientras que el tercer diagrama no.

En la siguiente entrada nos centraremos en un problema sobre dos familias de nudos formulado en 1983: la conjetura de Kauffman. Si queréis saber un poco más sobre este problema, cómo lo resolvimos después de más de 30 años abierto, y por qué desde entonces tengo un nudo favorito, ¡seguid leyendo!

Imagen principal tomada de aquí.