Hace un tiempo propuse este problema sobre números perfectos. Nuestro amigo Domingo lo resolvió y nos propuso otro problema sobre este tipo de números:
Demostrar que si
es un número perfecto impar entonces
debe tener al menos tres factores primos
Parece claro que un camino coherente para llegar a la demostración es descartar que pueda tener uno o dos factores primos. Esa es la línea que se siguió en los comentarios de aquel post y es la que vamos a seguir aquí.
Un número perfecto impar no puede tener sólo un factor primo
edmond, otro de nuestros comentaristas, casi terminó de demostrar esta parte (podéis verlo aquí), aunque quien la remató fue Domingo. La vemos:
Supongamos que tenemos un número perfecto impar con sólo un factor primo, digamos , con
. Sus divisores serán los números
. Calculamos su suma con la fórmula de la suma de una progresión geométrica:
Como es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio
entonces esa suma será igual a
:
Simplificamos y queda:
Lo cual es absurdo ya que es un número primo impar y por tanto
. Por tanto ya tenemos demostrada la primera parte.
Pregunta: ¿dónde hemos usado que es impar?
Un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos
Esta parte es algo más complicada que la primera. Yo lo estuve intentado. De hecho mandé varios mails con posibles demostraciones a Domingo, pero por desgracia todas contenían algún error. Al final, aunque yo ya había avanzado bastante, tuvo que terminarla él. Aquí os dejo su demostración:
Sea un número perfecto impar con sólo dos factores primos,
y
. Estos factores primos deben ser ambos impares ya que si alguno de ellos fuera par el propio
lo sería. Los divisores de
(incluyendo al propio
) son:
,
,
,
, … ,
. Su suma (después de algunos cálculos) queda:
Al ser un número perfecto la suma de sus divisores propios es igual al propio número. Como en los anteriores hemos incluido a
tenemos que la suma anterior es igual a
. Esto es:
Dividimos entre convenientemente:
Dividiendo queda:
Ahora, y
son dos números primos impares distintos. Podemos suponer entonces sin pérdida de generalidad que
y
con
. Acotamos entonces las dos expresiones anteriores así:
Tendríamos entonces , lo cual es claramente absurdo. Por tanto un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos. Con esto concluye la demostración.
Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué?
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Hola ^DiAmOnD^, hay un pequeña errata en el post.
En el primer apartado, donde dice: «Como N es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio
entonces esa suma será igual a N»
debe decir lo mismo salvo al final, que es
.
Ups, cierto. Ya está corregido. Gracias Domingo.
Para demostrar que no puede tener sólo un factor primo, ¿no es más fácil, si suponemos que N es perfecto y tiene sólo un divisor primo,
N = p^a = p^(a-1)+p^(a-2)+…+p +1
N = p[p^(a-1)] = p[p^(a-2)+p^(a-3)+…+1] +1
? Asi se tiene un absurdo, p*m=p*n+1 no se cumple en estas condiciones.
Saludos.
Disculpen que me desvie del ema, pero necesito ayuda…
es para un taller de la u…
«Sea f una funcion definida en todo eje real, con derivada f´ que satisface la ecuacion
f´(x)=c*f(x)
para todo x, donde c es una constante. Probar que existe una constante K talque f(x)=k*e^(cx) para cada x.
Considerar g(x)= f(x)*e^(-cx)
se me pasaron dos ideas por la mente, pero las descarte de inmediato porq les encontre errores enormes, ademas, me llevaban muy lejos de lo original, y soy malisimo para este tipo de ejercicios…
grax de antemano…
primera y unica vez q desvio un tema…
La demostración extendida al caso de 3 primos no valdría porque el producto de 3 factores de la forma p/p-1, p primo, sí puede ser mayor que 2.
Pero sólo lo puede ser si uno de los primos es el 3, otro es el 5 y el tercero es el 7 o el 11 o el 13.
Descartando estos posibles casos se podría demostrar que un perfecto impar no puede ser divisible por sólo 3 primos…
Usando que: (1) Un múltiplo de un número abundante es abundante. (Un número es abundante si la suma de los divisores propios es mayor que el número.) y (2) Si n es un número perfecto impar, entonces donde p es un primo y podemos demostrar que 105 = 3*5*7 no puede dividir a un número n si es perfecto impar. Porque si 105 divide a n, por (2) en la descomposición en factores primos de n el 3 y el 7 están elevados a potencia par y por tanto 3^2 * 5 * 7^2 = 2205 divide a n. Pero… Lee más »
Reginlefi calcula la derivada de
y aplica la condición sobre
que te da el ejercicio. Luego interpreta el resultado de la derivada y ejercicio resuelto.
Muchas gracias!.-
«Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué? » Porque al final sería: p, q, r mayores o iguales que 3, 5 y 7 respectivamente. Y 2 menor que 3/2 * 5/4 * 7/6 = 105/48 = 2,1875 Luego no se llega a contradicción. Me ha parecido curioso lo que he leido en la Wikipedia: «No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que… Lee más »
Acid: Wiki dice mayor a 10^300.
sí, corrijo:
«Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10^300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 10^7»
al copiar y pegar, como estaba en HTML, se perdieron las operaciones de potencias
[…] Cadaeic Cadenza Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos WP-LaTeX: Plugin para mostrar fórmulas matemáticas escritas con LaTeX en WordPress […]
[…] con el número de factores que deberían tener o sobre la cantidad de dígitos de dichos factores (aquí se demostró un resultado relacionado con […]
Creo que he demostrado que ningún número perfecto puede ser impar,pasado mañana talvez publique mis resultados.
he descubierto parcialmente la imposibilidad de un numero perfecto impar desde un nuevo acercamiento que nadie antes ha seguido, tratare de mejorar la demostración para que abarque a la imposibilidad de todo numero perfecto impar
¿Por qué en esta página (http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/numperfe_esp.pdf) el perfecto número 49 es impar?
El 49 que veo en esa página es la posición que ocupa cierto número perfecto (par) en la lista de dichos números.
En la tercera columna, donde pone «Número perfecto», salen todos los números perfectos conocidos. El último es este: 451129962…557930315. No sé si es un error, porque acaba en 5.
Perdón, te entendí mal.
Evidentemente es un error, ya que, como puedes ver al comienzo del pdf, todos esos números perfectos son de la forma
, por lo que todos ellos son obligatoriamente números pares.
Hay tres fórmulas que no se ven.
Ya está solucionado. Muchas gracias por avisar 🙂
Con este resultado y la siguiente proposición, se puede demostrar que no existen números perfectos impares:
Proposición: Si n es un natural mayor que uno, cuya descomposición en factores primos es:

n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_r^{\alpha_r
Entonces:

1>\frac{n}{\sigma(n)}>(\frac{p_1}{p_1-1})(\frac{p_2}{p_2-1})…(\frac{p_r}{p_r-1})
La proposición anterior aparece como ejercicio en un libro de teoría de números.
Más detalles en https://leebran.files.wordpress.com/2019/01/numeros-perfectos-impares.pdf
Editado porque no veo las fórmulas. Introducir lo escrito a continuación de ellas en un editor de laTex si se quiere verlas.
Vaaaale, lo escribo aquí:
NO EXISTEN NÚMEROS PERFECTOS IMPARES.
Definición: un número es perfecto si la suma de sus divisores es dos veces el número.
Demostración: por reducción al absurdo. Sea N un número impar perfecto. Si P divide a N, entonces existe Q tal que PQ = N. Si N es impar, los números P y Q son impares, luego su suma es par. Si sumamos todas las parejas de divisores de N, estamos sumando números pares, luego la suma de ellos es par !!!
Es decir que los divisores de un número van por parejas.
Perogrullo dixit.
Eso no demuestra que no hay números impares perfectos, solo que la suma de los exponentes de los divisores primos de esos números no puede ser par.
cuando metes un tercer número primo t además de p y q por ejemplo no se cumple tu absurdo ya que 2 < 36/16
Para un cuarto primo tampoco porque sería 2<3·5·7·11/(2·4·6·10)=77/32 y como 2=64/32 => 64<77 que sí es menor y tampoco hay absurdo