Hace un tiempo propuse este problema sobre números perfectos. Nuestro amigo Domingo lo resolvió y nos propuso otro problema sobre este tipo de números:

Demostrar que si N es un número perfecto impar entonces N debe tener al menos tres factores primos

Parece claro que un camino coherente para llegar a la demostración es descartar que pueda tener uno o dos factores primos. Esa es la línea que se siguió en los comentarios de aquel post y es la que vamos a seguir aquí.

Un número perfecto impar no puede tener sólo un factor primo

edmond, otro de nuestros comentaristas, casi terminó de demostrar esta parte (podéis verlo aquí), aunque quien la remató fue Domingo. La vemos:

Supongamos que tenemos un número perfecto impar con sólo un factor primo, digamos N=p^{\alpha}, con \alpha \ge 1. Sus divisores serán los números 1,p,p^2, \cdots ,p^{\alpha}. Calculamos su suma con la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

1+p+p^2+ \cdots +p^{\alpha}=\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}

Como N es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio N=p^{\alpha} entonces esa suma será igual a 2N:

\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}=2p^{\alpha} \Longrightarrow p^{\alpha+1}-1=2p^{\alpha}(p-1)=2p^{\alpha+1}-2p^{\alpha}

Simplificamos y queda:

2p^{\alpha}-p^{\alpha+1}=1 \Longrightarrow p|1

Lo cual es absurdo ya que p es un número primo impar y por tanto p \ge 3. Por tanto ya tenemos demostrada la primera parte.

Pregunta: ¿dónde hemos usado que N es impar?

Un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos

Esta parte es algo más complicada que la primera. Yo lo estuve intentado. De hecho mandé varios mails con posibles demostraciones a Domingo, pero por desgracia todas contenían algún error. Al final, aunque yo ya había avanzado bastante, tuvo que terminarla él. Aquí os dejo su demostración:

Sea N=p^rq^s un número perfecto impar con sólo dos factores primos, p y q. Estos factores primos deben ser ambos impares ya que si alguno de ellos fuera par el propio N lo sería. Los divisores de N (incluyendo al propio N) son:

1,p,p^2, \cdots ,p^r, q,q^2, \cdots ,q^s, qp,qp^2, \cdots ,qp^r, q^2p,q^2p^2, \cdots ,q^2p^r, … , q^sp,q^sp^2, \cdots ,q^sp^r. Su suma (después de algunos cálculos) queda:

S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)

Al ser N un número perfecto la suma de sus divisores propios es igual al propio número. Como en los anteriores hemos incluido a N tenemos que la suma anterior es igual a 2N. Esto es:

S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)=2p^rq^s

Dividimos entre p^rq^s convenientemente:

\cfrac{(1+p+p^2+ \cdots +p^r)}{p^r} \cdot \cfrac{(1+q+q^2+ \cdots +q^s)}{q^s}=2
Dividiendo queda:

\displaystyle (1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s})=2

Ahora, p y q son dos números primos impares distintos. Podemos suponer entonces sin pérdida de generalidad que p \ge 3 y q \ge 5 con p < q. Acotamos entonces las dos expresiones anteriores así:

\displaystyle{(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})\le(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+ \cdots +\frac{1}{3^r})=\sum_{i=1}^r{\left ( \frac{1}{3} \right )^i} < \sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{3} \right )^i}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}} \displaystyle{(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s}) \le (1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+ \cdots +\frac{1}{5^s})=\sum_{i=1}^s{\left ( \frac{1}{5} \right )^i} < \sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{5} \right )^i}=\cfrac{1}{1- \frac{1}{5}}=\cfrac{5}{4}}

Tendríamos entonces \displaystyle{2 < \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{8} < 2}, lo cual es claramente absurdo. Por tanto un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos. Con esto concluye la demostración.

Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué?

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