En nuestra vida diaria nos encontramos en multitud de ocasiones con que el ganador de un cierto premio (sea del tipo que sea) se realiza por sorteo. ¿Quién no ha participado en alguna ocasión en uno, o ha sido la persona que sorteaba? A continuación vamos a hablar de una manera de sortear fuera de lo habitual, rara cuanto menos.

Pero antes de nada vamos a comentar el tipo de sorteos en los que nos vamos a centrar. Imaginemos que estamos con un grupo de personas y queremos regalar algo mediante un sorteo a una de ellas. Una idea, muy típica, es la siguiente:

Supongamos que el grupo está formado por 20 personas. Tomamos 20 trocitos de papel, escribimos la palabra PREMIO en uno de ellos y los doblamos y mezclamos. Después cada persona coge uno de los papelitos y quien tenga el que tiene escrito PREMIO gana.

Todos de acuerdo con la justicia del sorteo, ¿verdad? Cada una de las personas que optan al premio tiene una probabilidad igual a 1 \over 20 de tener el papel que le hará ganar.

Veamos ahora otra opción:

Yo, que soy quien estoy sorteando el premio entre las 20 personas, pienso un número del 1 al 20 (y a efectos de comprobación al finalizar el sorteo lo apunto en un papel). Ordenamos ahora a las personas, por orden alfabético por ejemplo, y según ese orden cada una de ellas dice un número del 1 al 20. Quien acierte el que yo pensé al principio se lleva el premio.

Seguro que si se lo planteamos a un grupo real de personas, los últimos, según el orden elegido, dirán que es injusto, que posiblemente a ellos ni le llegue la posibilidad de elegir número, y en cierto modo no les falta razón. ¿Significa eso que tiene menor probabilidad de ganar que los primeros? Hablando en claro: ¿es justo este reparto? Pensadlo por un momento…

…¿sí? ¿no? Bien, lo mejor es calcular en este caso la probabilidad que tiene cada una de las personas del grupo de llevarse el premio.

Comencemos con la primera persona que elige número. Como hay 20 números posibles, la probabilidad de acertar el que yo pensé en un principio es 1 \over 20. Vamos bien.

Para que la segunda persona se lleve el premio debe ocurrir que la primera falle y la segunda acierte. La probabilidad de que la primera falle es 19 \over 20, mientras que en este caso la probabilidad de que la segunda persona acierte es 1 \over 19, ya que el número que dijo la primera persona está excluido (falló). La probabilidad de que esta segunda persona se lleve el premio será el producto de estos dos números, esto es:

\cfrac{19}{20} \cdot \cfrac{1}{19}= \cfrac{1}{20}

Vaya, la misma probabilidad que el primero.

Veamos la situación del tercero. Para que se lleve el premio el primero debe fallar (probabilidad 19 \over 20), el segundo también (probabilidad 18 \over 19, hay uno menos para elegir) y él mismo acertar, suceso que en este caso tendrá probabilidad 1 \over 18. De nuevo la probabilidad de que el tercero se lleve el premio es el producto de todas ellas, quedando:

\cfrac{19}{20} \cdot \cfrac{18}{19} \cdot \cfrac{1}{18}= \cfrac{1}{20}

La misma probabilidad que en los casos anteriores.

¿Y qué ocurre con el cuarto? Pues de forma análoga la probabilidad de llevarse el premio es:

\cfrac{19}{20} \cdot \cfrac{18}{19} \cdot \cfrac{17}{18} \cdot \cfrac{1}{17}= \cfrac{1}{20}

¿Y el quinto? Igual. Y así ocurre con todos los integrantes del grupo inicial: todos ellos tienen la misma probabilidad de llevarse el premio, por lo que el sorteo es justo.

En consecuencia los dos sorteos son justos, los dos serían perfectamente válidos y con los dos estaríamos eligiendo al ganador del premio de forma totalmente coherente con el sorteo. Otra cosa es explicarle a los implicados en el mismo que la segunda opción es justa, pero eso es harina de otro costal…


Nuestro admirado Tito Eliatron ya publicó un post sobre este tema: Un reparto ¿justo?.


Imagen tomada de aquí.

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