En mi última visita a Madrid, hará un par de semanas, me encontré con una estampa que ya había contemplado en alguna ocasión: una gran cantidad de personas haciendo cola para comprar lotería en una administración muy conocida. Como digo, ya había visto algo así en algún otro viaje a la capital de España, pero la verdad es que me sigue sorprendiendo. Y más concretamente continúa sorprendiéndome la razón por la que mucha gente pierde horas en kilométricas colas a las puertas de ciertas administraciones de loterías: que da suerte comprar allí porque siempre toca en ellas.

Señoras, señores, ¿cómo no va a tocar más veces en esas administraciones, si venden muchos más números que otras? ¿En serio hay gente que piensa que algunas administraciones concretas dan suerte? Pienso que esto debería estar superado, pero viendo esas colas…

Esto de la suerte de algunas administraciones en realidad es simplemente matemática básica: si tienes a la venta más números hay mayor probabilidad de vender el Gordo de la Lotería de Navidad que si tienes disponibles menos números para vender. Por tanto, esto de que cierta administración dé más suerte que otra…nada de nada.

Pero peor es lo de ir a una administración de esas que dan suerte y pedir un número concreto. La única ventaja que tiene una administración así, si es que se puede considerar mucha ventaja, respecto a otra administración más modesta es que vende más números, por lo que eligiendo al azar se podría decir que en cierto sentido es más probable comprar el Gordo allí. ¿Pero qué sentido tiene ir allí a comprar el 69375 (o cualquier otro)? Si queremos un número concreto no tiene sentido tragarse una cola de varias horas pudiendo comprarlo por internet. Sí, posiblemente nos cobren 2 ó 3 euros más, pero yo al menos prefiero eso a perder una mañana o una tarde entera en la calle…

Éste es uno de los muchos mitos y supersticiones que giran entorno a la lotería en general, y al Gordo de la Lotería de Navidad en particular. Por ejemplo, ¿quién no conoce a alguien que compra el décimo terminado en un número en concreto porque da suerte? ¿O que no compra números bajos porque nunca salen? Ninguna de las dos tiene sentido, y la razón es la misma que hace que la gran mayoría de estos mitos sean matemáticamente inconsistentes: todos los números tienen la misma probabilidad de salir premiados. Esa probabilidad es, concretamente, la siguiente:

P(\mbox{Gordo})=\cfrac{1}{100000}=0.00001

ya que son 100000 los números que entran en el bombo.

Claro, aceptar este dato supone creer que no hay ningún tipo de conspiración para que salga algún número en concreto. Es decir, estar seguro de que se actúa de buena fe en el sorteo y de que en realidad es el azar quien decide. Pero bueno, yo creo que eso es lo mínimo que debemos aceptar si estamos dispuestos a jugar, porque si no es así no tiene mucho sentido comprar un décimo…

Relacionado con esto de las conspiraciones hay un tema que he escuchado en más de una ocasión. Es el siguiente:

Estos sorteos están trucados. Y si no dime tú por qué salen mucho más a menudo un número que tiene dígitos repetidos que un número que los tiene todos distintos.

Pues no, no es ninguna conspiración, son matemáticas. Vamos a calcular cuántos números hay con dígitos repetidos y cuántos con todos sus dígitos iguales de entre los números de cinco cifras, y para ello usaremos a nuestra amiga la combinatoria, como ya vimos hace ya un tiempo en este post sobre los vídeos de Youtube:

  • La cantidad de números de cinco cifras que no tienen ninguna repetida se calcula con variaciones sin repetición de 10 elementos (los dígitos que pueden ocupar cada posición) tomados de 5 en 5 (los dígitos de cada número):

    Números de 5 cifras sin repeticiones en sus dígitos=\cfrac{10!}{(10-5)!}=30240

  • Teniendo en cuenta que tenemos 100000 números en total, entonces:

    Números de 5 cifras con repeticiones en sus dígitos=100000-30240=69760

Es decir, hay más del doble de números con algún dígito repetido que con todos distintos. Ahora se ve más claro que es mucho más probable que salga un número con algún dígito repetido, hecho que ocurrirá el 69,760 % de las veces, respecto a que salga un número con todos distintos, que ocurrirá el 30,240 % de las ocasiones, ¿verdad?

Pero a pesar de todo esto, la Lotería de Navidad es mucho más beneficiosa que otros juegos del estilo que tenemos en España. El año pasado os conté la relación entre la probabilidad de llevarse el Gordo de Navidad y el premio mayor en otras loterías, entrada que os recomiendo que volváis a leer. Y, por otra parte, este año es el último en el que no se pagarán impuestos por el premio de esta Lotería de Navidad. Así que posiblemente todos acabaremos jugando, aunque sólo sea por el no vaya a ser que toque y yo no lleve


¿Conocéis más mitos de este tipo sobre la lotería? Y no me refiero a mitos tipo «la lotería regalada no toca», o «pasar el décimo por la barriga de una embarazada, o por la calva de un calvo, da suerte», que casi no merecen ni comentarlos, sino a mitos que tengan cierta relación con números y matemáticas. Los comentarios son vuestros.

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