En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir:

\begin{matrix} a^0=1 \\0^b=0 \end{matrix}

Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema:

¿Cuánto vale 0^0?

Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0. ¿Con cuál nos quedamos?.

Muchos diríais: 0^0 es indeterminación. Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación 0^0, sino que queremos saber cuál es el valor del número 0^0 (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número).

¿Cuál es la forma más coherente matemáticamente hablando para dar un valor a 0^0?. Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite que dé como indeterminación 0^0, pero no es eso lo que vamos a hacer. Vamos a utilizar una función concreta para encontrar ese valor. ¿Cuál?. Pues la más lógica: x^x. Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad. Utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución:

\displaystyle{\lim_{x \to 0} x^x=0^0=A}
\begin{matrix} \displaystyle{\log{A}=\lim_{x \to 0} \log{x^x}= \mbox{Propiedad de los logaritmos}=} \\ =\displaystyle{\lim_{x \to 0} x \cdot \log{x}=»0 \cdot (- \infty)} \end{matrix}

Tenemos otra indeterminación. Para resolverla pasamos xcomo \textstyle{\frac{1}{x}} al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital en el paso *:

\begin{matrix} \displaystyle{\log{A}=\lim_{x \to 0} \frac{\log{x}}{\frac{1}{x}}=*=} \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}= \mbox{Operamos}=\lim_{x \to 0} (-x)=0} \end{matrix}

Tenemos entonces que \log{A}=0. Por tanto A=1

Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:

0^0=1

Algo del estilo ocurre con 0!. Sabemos que n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1. Pero, ¿qué pasa con 0!?. Pues muy sencillo: 0! = 1. Al igual que en el caso anterior se utiliza este valor por convenio, pero la elección no es arbitraria. Podemos ver que es la elección más coherente con este razonamiento:

\begin{matrix} 4! = 3! \cdot 4 \rightarrow 3! = \frac{4!}{4} = 6 \\  3! = 2! \cdot 3 \rightarrow 2! = \frac{3!}{3} = 2 \\  2! = 1! \cdot 2 \rightarrow 1! = \frac{2!}{2} = 1 \\  1! = 0! \cdot 1 \rightarrow 0! = \frac{1!}{1} = 1 \end{matrix}

Por tanto:

0!=1

Actualización: Leyendo los comentarios me doy cuenta de que igual no he explicado de la mejor manera posible lo que quería decir. Os acosejo que leáis los comentarios que he hecho explicando un poco más estos dos temas.

Print Friendly, PDF & Email