¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir:

\begin{matrix} a^0=1 \\0^b=0 \end{matrix}

Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema:

¿Cuánto vale 0^0?

Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0. ¿Con cuál nos quedamos?.

Muchos diríais: 0^0 es indeterminación. Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación 0^0, sino que queremos saber cuál es el valor del número 0^0 (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número).

¿Cuál es la forma más coherente matemáticamente hablando para dar un valor a 0^0?. Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite que dé como indeterminación 0^0, pero no es eso lo que vamos a hacer. Vamos a utilizar una función concreta para encontrar ese valor. ¿Cuál?. Pues la más lógica: x^x. Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad. Utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución:

\displaystyle{\lim_{x \to 0} x^x=0^0=A}
\begin{matrix} \displaystyle{\log{A}=\lim_{x \to 0} \log{x^x}= \mbox{Propiedad de los logaritmos}=} \\ =\displaystyle{\lim_{x \to 0} x \cdot \log{x}=»0 \cdot (- \infty)} \end{matrix}

Tenemos otra indeterminación. Para resolverla pasamos xcomo \textstyle{\frac{1}{x}} al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital en el paso *:

\begin{matrix} \displaystyle{\log{A}=\lim_{x \to 0} \frac{\log{x}}{\frac{1}{x}}=*=} \\ \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}= \mbox{Operamos}=\lim_{x \to 0} (-x)=0} \end{matrix}

Tenemos entonces que \log{A}=0. Por tanto A=1

Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:

0^0=1

Algo del estilo ocurre con 0!. Sabemos que n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1. Pero, ¿qué pasa con 0!?. Pues muy sencillo: 0! = 1. Al igual que en el caso anterior se utiliza este valor por convenio, pero la elección no es arbitraria. Podemos ver que es la elección más coherente con este razonamiento:

\begin{matrix} 4! = 3! \cdot 4 \rightarrow 3! = \frac{4!}{4} = 6 \\  3! = 2! \cdot 3 \rightarrow 2! = \frac{3!}{3} = 2 \\  2! = 1! \cdot 2 \rightarrow 1! = \frac{2!}{2} = 1 \\  1! = 0! \cdot 1 \rightarrow 0! = \frac{1!}{1} = 1 \end{matrix}

Por tanto:

0!=1

Actualización: Leyendo los comentarios me doy cuenta de que igual no he explicado de la mejor manera posible lo que quería decir. Os acosejo que leáis los comentarios que he hecho explicando un poco más estos dos temas.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

360 Comments

  1. Fascinante. Me he quedado de piedra. Simple y rapida demostracion.

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    • Es simple: Axiomáticamente hablando todo numero elevado a 0 es igual a 1 excepto el mismo cero el cual de ser elevado a cero seria igual a cero

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      • Mi opinión acerca del cero es que no existe. La nada absoluta no es posible. Al iniciarse el tiempo (inicio del actual Big Bang) solo existía un punto singular (de dimensión 0), del cual se formó el universo.
        Si A – A = 0 entonces 0 = A – A, es decir, con la misma cantidad de materia y antimateria.

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        • Alejo, el detalle es que las matemáticas son una abstracción especial de la realidad. Se inventaron por ser necesarias y son como son porque así funcionan bien. Dan la forma necesaria para tratar problemas que sin ellas serían un mero caos, por decirlo de alguna manera. Es cierto, como tú dices, que el cero no existe; al igual que tampoco existe el uno ni el cuatro; cinco, más, por, función, límite, etc, son otras cosas que no existen… …en el mundo real. En las matemáticas están plenamente definidos sus conceptos. Cuando escribes «la nada» estás empleando un concepto antonomásico (en representación de todos los demás) muy usado en elucubraciones sobre el universo y algunos temas un tanto más vagos (menos delimitados); en cambio en matemáticas, sería más propio decir «nada» a secas porque en ella nos referimos a universos definidos. Un ejemplo de esto puede ser la cantidad de alumnos en un aula de clases: puedes encontrar 10 estudiantes quizá y esa será la cantidad que habrás de representar; no ves ninguno y deberás colocar un 0. En mi apreciación, ese cero es «nada» o «ningún», pero difícilmente será «la nada». En las matemáticas los universos no son tan totalitarios.

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          • Exacto, ademas el cero en los teoremas esta bien definido. Es el unico numero tal que x + 0 = x, x * 0 = 0.
            Quizas te seria útil pensar en los numeros como una recta y en las operaciones de sumar y multiplicar como en acciones, con acciones me refiero a que sumar 1 es correr a la recta un espacio hacia la derecha. La gracia del 0 es que este numero no ejerce ninguna accion. Por otro lado, la operacion de multiplicar es estirar la recta hacia el numero que estas multiplicando

      • Para ser simple lo dijiste mal, cero elevado a cero es uno, y no cero. 😉

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          • Las matemáticas no fallan y es un reflejo de la realidad. Si no tienes nada (0) y lo elevas a la (0), obtienes 0
            De la nada elevado a la nada obtienes 1? Ilógico verdad?

    • Según la hoja de calculo excell
      0.1^0.1= 0,794328235
      0.01^0.01 = 0,954992586
      0.001^0.001=0,993116048
      0.0001^0.0001=0,99907939

      De aquí deduzco que 0^0 = 1
      ¿Vale esa demostración?

      Si no os fiáis de excel ¿sabe alguien hacerlo tomado logaritmos?
      perdona que utilice tu respuesta pero no encontré donde publicarlo.

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      • Si lo tomas como un limite, no se haria una asintota que nunca toca el limite?

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      • no , no vale. calcular el límite de X^X cuando X tiene a cero , no es lo mismo que calcular en el punto X=0.

        Hay ejemplos como sen ( X ) / X si se hace el límite de X tendiendo a cero da 1, pero cuando se calcula en X = 0, el resultado es indeterminado.

        Por otro lado el que escribe la nota iguala el limite de X ^ X cuando X tiende a cero y lo iguala a 0 ^ 0 , una atrocidad, ya cometió el error en el arranque de la demostración.

        0 ^ 0 es indeterminado

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        • Exacto estimado amigo, no es lo mismo evaluarlo en cero, el límite si es 1, pues tiende a ese resultado, pero en x=0 es indefinido

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    • La conclusion no es valida porque en el caso de cero a la cero hablamos de un valor que ES cero, no que TIENDE a cero. Asi que por limites no es explicable el problema. La explicación la da la logica simple que nos dice que si cero representa el conjunto vacio, o sea la nada, pues nada a la nada es nada, asi como nada por nada es nada,….sencillo! No se compliquen con lo que no tiene complicacion: asi como 0x0=0, tambien 0°=0 y 0!=0. Señores hablamos de la nada, del vacio, de la ausencia.

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      • Bien, pero el 0 en la recta del conjunto de los números reales R, si es algo, es un punto arbitrario que representa un origen, representa algo tangible, una posición. Por eso mucha gente está comentado que es una elección de conveniencia que depende del contexto. Es decir, tu punto de vista es cierto, pero también lo es la otra.
        A mi no deja de causarme cierta perplejidad está doble naturaleza del cero. Y que muy poca gente se lo cuestione. Como si las matemáticas fueran una religión.

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    • https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_inv%C3%A1lida
      (2-2)*(2+2)=0
      (2-2)*2=0
      (2-2)*(2+2)= (2-2)*2
      2+2=2
      4=2
      esto quiere decir que cero no es numero,
      no se puede multiplicar ni dividir por cero,
      por logica , tampoco elevar, 0^0,
      axiomaticamente quiere decir por imposicion
      y convenio entre cientificos locos un dia de verano,
      porque multiplicar y dividir provienen de sumar y restar
      y sumar o restar cero a si mismo u otro numero es
      ilogico por innecesario.
      El cero nada como pez apagado,
      todo no puede estar mal porque si todo esta mal
      ,tambien la frase todo esta mal, esta mal.
      Es lo mismo decir que la nada y el cero existe que
      decir lo contrario.
      Por culpa de estas cosas, los fisicos teoricos no dan una,
      y los matematicos ni andan ni nadan.
      Andan y nadan…sos palindromos.
      Holatao Yamefui.

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  2. ¿cuanto vale 0 elevado a 0? y 0!?

    Fantasticas demostraciones de lo que siempre he pensado que eran indeterminaciones.

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  3. Me vale la de 0!, pero la otra, uyuyuyuyuyuyuy….

    ¿Qué significa eso de «la función más lógica»? Esa frase repele mi alma matemática.

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  4. zifra cierto, esa frase igual queda algo coja. Lo que quería decir con lógica es que es la función más sencilla que podemos utilizar para este caso y en la que se ve más claramente que evaluando en cero obtenemos 0^0.

    Más formalmente: lo que he hecho sería equivalente a extender de forma continua la función x^x. Como su límite cuando x->0 vale 1 podemos decir que 0^0 debe tomar valor 1 para que la función sea continua. ¿Te convence ahora? 🙂

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    • Cualquier número elevado a la cero da 1 por lo siguiente: x^x * x^-x= x^x+-x= 1
      Si lo probamos con 0 nos queda: 0^0= 0^x * 0^-x.
      0^x=0
      0^-x= infinito o indeterminado, dependiendo del método de cálculo, a mi parecer infinito es el más acertado porque x/0 tiende a infinito.
      Entonces queda: 0^0= 0*infinito
      Esta cuenta obviamente no da 1, pero el resultado de esta cuenta también es indeterminado.

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    • Hola, revisando este calculo, te cuento que está mal.
      Por definición de límite, debe existir una vecindad abierta en la cual la función esté definida por derecha y por izquierda del valor al cual hacemos tender la función. Y donde está el error? , en utilizar la función logaritmo, como vez, no existe una vecindad abierta centrada en (0,0) en la que el límite de la función logaritmo exista (no existe un epsilon, por pequeño que sea donde se cumpla esto), por razones obvias, la función log no está definida para valores, negativos. En otras palabras, la función logaritmo NO es continua en X=0, por lo tanto no puedes meterla dentro de esa función. Tu demostración no es valida.

      0^0 es una indeterminación, es tan feo decir que es 1 como decir de inf – inf es cero

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      • De acuerdo con que este cálculo del límite está mal, y considero que 0^0 en el contexto de límites (base y exponente tendiendo a cero, pero no ceros absolutos) es una indeterminación, ya que los resultados varían dependiendo de las funciones que se tomen. Pero en cuanto al 0^0 cuando los ceros son absolutos, ¿hay algún problema si se define como 1? No importa que el límite no exista, porque una cosa es cuando nos estamos aproximando y otra es el valor en el punto específico. En esta página proponen una definición de potenciación de números naturales, y el hecho de que 0^0 sea igual a 1 queda como consecuencia.

        http://eltopologico.blogspot.com/2008/04/cero-elevado-la-cero.html

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        • En realidad, en la fundamentación de las matemáticas, la definición de 0^0 = 1 para los naturales aparece antes que la definición de la exponenciación de conjuntos. Por tanto el artículo solo demuestra que el cardinal del conjunto de las funciones de \emptyset en \emptyset , es 1 y que eso coincide con el valor de 0^0 que es un dato conocido previamente. Y como sucede lo mismo para conjuntos de cualquier cardinal finito eso justifica la notación ^ cuando hablamos del conjunto de las funciones de A en B.

          De la «Addenda 3» del artículo, deduzco que el topo lógico (o como se llame el autor del blog) se ha dado cuenta ya de este hecho.

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          • Excelente acotación, estoy muy de acuerdo.

      • Para mi 0^0 se indetermina, por una razón muy simple: 0^0 = 0^ (x-x) = 0^x / 0^x (propiedad básica de potencias) y eso es igual 0 / 0, indeterminado.

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    • Si la potencia se definiera como a^b = 1 multiplicado por a b veces, todo sería más sencillo y a^0 sería 1 de manera natural (1 multiplicado por a cero veces) y de la misma manera 0^0

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  5. Sigo sin entender lo de la función más lógica. X^X no me parece una función representativa, porque por lo mismo podemos decir que X/X es una indeterminación (0/0), operamos y obtenemos 1. Ya está resuelto y en menos pasos. En realidad es lo mismo que dices tú: cualquier nº multiplicado por 0 es 0, y cualquier nº dividido por 0 es infinito…

    El problema es que la X de arriba no siempre es igual que la X de abajo. Sería más exacto decir que coges la función X^Y (o Y^X) (en mi ejemplo X/Y). Claro, en ese caso la cosa se complica, pues tendríamos dos límites que no tienen por qué converger a la misma velocidad.

    El razonamiento de 0! también me parece incorrecto. Dices
    1!=1·0! –> 0!=1!/1 = 1
    ¿? ¿Cómorrrr? ¡¡¡Pero si no has definido 1! !!!
    Al final tienes que parar en un punto, y por convenio es que 0!=1. Pero podría haber sido perfectísimamente que 2!=2, N!=N*N-1! para números >=2, y al igual que no existe factorial de negativos no permitirlo para el 1 o el 0. Es lo que tienen los convenios.

    Lo que cuentas me parece igual a las demostraciones de 1=-1. Veamos: -1=sqrt(-1^2)=sqrt(1)=1
    Se basa en una sutil trampa que engaña al principio.

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  6. Caminante voy por partes:

    ¿x^x no te parece una función representativa? Lee mi comentario anterior. En principio esa función no está definida en 0, pero podemos definirla y hacerla continua en cero dándole el valor del límite. Eso es lo que quería decir cuando afirmo que 0^0 = 1.

    ¿Que la x de arriba no es siempre igual que la x de abajo?. Son exactamente iguales si hablamos de límite cuando x->0.

    Yo hablaba numéricamente. Con tu ejemplo pasa igual. En principio la función x/x no está definida en cero. Pero podemos coger una extensión continua de esa función que está definida en cero y cuyo valor en cero es 1 ya que su límite en cero es 1. Y sería algo parecido: numéricamente hablando 0/0 = 1 (muy importante eso de numéricamente).

    ¿Que no he definido 1!?. ¿Y qué es esto entonces?:

    n! = n·(n – 1)·(n – 2)·…·2·1

    Igual me ha faltado poner que esa definición es válida para n mayor o igual que 1, pero vamos, creo que es bastante intuitivo a partir de la definición. Con ese razonamiento quería hacer ver que el hecho de que por convenio se elija 0! = 1 tiene bastante sentido. Nada más.

    Y sobre el ejemplo que tú pones, no lo veo comparable a lo que yo he comentado, ya que en tu ejemplo hay un fallo en el razonamiento que hay que descubrir (es evidente que debe haber un fallo ya que llegamos a un resultado falso a todas luces). Los casos que comento no van por esa línea.

    Por otra parte te felicito por tu comentario. Con posts como este intento que la gente se coma la cabeza, que razone, que me critique y que me discuta si no está de acuerdo conmigo, y veo que lo consigo. De todas formas espero que mi explicación te convenza :).

    Saludos 🙂

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    • Hola, revisando este calculo, te cuento que está mal.
      Por definición de límite, debe existir una vecindad abierta en la cual la función esté definida por derecha y por izquierda del valor al cual hacemos tender la función. Y donde está el error? , en utilizar la función logaritmo, como vez, no existe una vecindad abierta centrada en (0,0) en la que el límite de la función logaritmo exista (no existe un epsilon, por pequeño que sea donde se cumpla esto), por razones obvias, la función log no está definida para valores, negativos. En otras palabras, la función logaritmo NO es continua en X=0, por lo tanto no puedes meterla dentro de esa función. Tu demostración no es valida

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  7. Me alegro que no te lo tomaras a mal el comentarios. A ver. Te contesto rápidamente (lo siento, pero estoy en el curro).

    El primer caso veo el fallo porque tratas solamente un caso muy particular. Si lo haces con un caso general (base y exponentes diferentes) entonces la cosa cambiaría mucho. Pero ¿si quieres demostrar 0^0=1 porqué quiero un caso general? Porque acabas usando límites y operaciones de simplificación (esa es la parte que me parece un poco trampa en la argumentación).

    Hace poco leí un comentario de Asimov acerca de si chocara un cuerpo imparable contra un objeto inamovible. Venía a decir que es imposible porque si existe uno no existe otro por definición. Aquí pasa algo igual. Parece que intentas demostrar un error de definición matemático: algo elevado a 0 = 1, 0 elevado a algo = 0, ¡se contradice!. En ese caso estoy de acuerdo: está mal definido. Y no estoy en contra de tu resultado: buscamos la solución más lógica y lo redefinimos como a^0=1 para todo a y 0^a=0 si a!=0. Así habrás/habremos tomado una decisión bastante lógica pero arbitraria (la mejor entre dos opciones si lo prefieres).

    Sobre el factorial. El factorial se define:
    Fact(0)=1
    Fact(1)=1
    Fact(N)=N*N-1

    Los dos primeros casos son básico, pero son ambos puntos de parada arbitrarios (en algún sitio habrá que deternerse).
    Y evidentemente es que no queda otra con Fact(0), porque sería tonto definir Fact(n)=n*n-1*n-2*…*2*1*0

    Te pido disculpas si había leido tu artículo pensando que intentabas darle un sentido más matemático que de sentido común.

    Hasta luego
    Caminante

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  8. A ver, voy a intentar explicarlo otra vez: puede que tal y como está escrito el artículo no se entienda bien, pero básicamente lo que yo quería hacer es extender x^x de manera continua al valor cero. El artículo está enfocado en orden inverso, por decirlo de alguna forma. Por eso lo de 0^0 = 1.

    Quiero aclarar, por si alguien se ha liado: en límites, ya sean de sucesiones o de funciones, 0^0 es una indeterminación. Que quede claro. Con este artículo quería referirme al caso en el que pudiéramos encontraros 0^0 como número, y no como exponencial de funciones o sucesiones que tienden a cero simultáneamente. Espero que este quede claro.

    El hecho de tomar «0^0 = 1» numéricamente hablando no me parece para nada arbitrario, ya que lo que estamos haciendo es darle a x^x el valor 1 en x = 0, que es lo que vale su límite cuando x->0.

    Sobre la definición de factorial: a mí no me lo definieron así. Me lo definieron como yo he puesto para n mayor o igual que 1 y me dijeron que 0! = 1 sin más explicaciones. No pretendía dar una demostración de este hecho con este post. Lo que pretendía era que la gente a la que se lo definieron igual que a mí comprenda por qué esa definición de 0! = 1. Que tiene sentido, que no es un valor arbitrario.

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  9. Hola.

    Quisiera intentar aportar mi granito de arena. Respecto a Caminante, lo de Asimov no es muy buen ejemplo. En un choque no existe el concepto de velocidad, pues la velocidad es la «derivada del espacio respecto del tiempo» y en ese punto, la función presenta un «quiebro», o sea, un punto no derivable. Cosa que no quita argumentación a tu idea, pero quería dejar claro ese punto.

    Respecto a lo del 0!, tengo otra idea y es hacer la binomial sobre 2. La binomial sobre 2 nos dice (por ejemplo), cuántos choques de mano hay en un grupo de n personas. Pues n sobre 2. 5 personas sería 5!/2!(5-2)!=10; pues 2 sobre 2 sería 2!/2!(2-2)!=1 El 1 lo conocemos positivamente, y de ahí debemos extraer que el denominador, el térmono (2-2)!=0!=1

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  10. Hola.

    En mi opinión 0^0 no esta definido, no hay ningún número que sea igual a 0^0, de la misma forma que no hay nada que sea igual a 0/0. Cosa distinta es que determinadas funciones tomen ciertos valores cuando se acerquen al cero. Tu tomas la función x^x y efectivamente en el límite vale 1, Pero igualmente, por ejemplo, la función x^(1/ln(x)) toma el valor e cuando x tiende a 0+.
    Tu función es más sencilla y de alguna forma es la función «natural» para lo que tu pretendes, pero de ahí a decir que el valor más coherente para 0^0 es 1, me parece que es dar un salto quizás demasiado grande.
    Un saludo

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  11. Esa es la parte que puede que se haya interpretado peor. Al parecer lo que se entiende del post es que 0^0 = 1 siempre por el tema del límite. Yo no quería decir eso. Era algo así como: si en algún momento nos encontramos con 0^0 numérico tendríamos que darle el valor que se obtiene de extender de forma continua la función x^x para que todo funcionara bien, y ese valor es 1. Por eso he intentado aclarar que su en un límite nos encontramos 0^0 eso es indeterminado y tendríamos que usar algún método de cálculo de límites para saber su valor, no pudiendo por tanto darle a ciegas el valor 1.

    Ya digo, probablemente haya equivocado el enfoque del post y debía haberlo escrito de otra forma, pero mi intención era la que he intentado explicar en los comentarios a raíz de vuestras críticas (constructivas todas por cierto).

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  12. Hola, excelente blog, los felicito, muy interesante.
    yo les traigo un problema, se ve fácil, pero requiere de un nivel aceptable de matematicas.

    Esta vez trata sobre ecuaciones diferenciales…

    Encontrar la ecuacion diferencial que satisface la sigueinte ecuacion:

    r^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2 –> donde r=k

    Tips: Eliminacion de constantes arbitrarias….
    Despejas constantes y derivas, despejas y derivas, etc….

    Fácil ¿no?………

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  13. en mi comentario les deje un problema… Saludos..

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  14. Lo de que 0!=1 de deduce de la combinatoria, binomio de Newton y triángulo de Pastal/Tartaglia. Además, 0! se puede interpretar como el producto de ningún factor, así que el resultado ha de ser el neutro del producto, es decir, 1 (de la misma forma que sumar ningún sumando da el neutro de la suma, el 0).

    Sobre 0^0… me parece que nos estáis tomando el pelo a base de bien. Veamos. Sobre el cálculo del límite… no habéis considerado hacer el límite por la derecha o por la izquierda y ser si son iguales.

    Pero lo peor de todo es la base de partida.

    0^b = 0 siempre que b sea mayor de 0. Si b es 0 o menor de 0 entonces ya no sirve esa igualdad: por ejemplo, 0^(-1) = 1/0.

    a^0 = a/a, es decir, una división, y todos sabemos que no se puede dividir por 0, así que a^0=1 si y sólo si a es distinto de 0.

    Etcétera.

    Ya que estáis con ello, ¿porqué no probáis a hayar el valor numérico de la raíz cuadrada de 4? Unos dicen que es +2, y otros que es -2. Pero es imposible que puedan ser dos valores distintos 😉

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  15. Sobre lo del punto de partida: creo que queda claro lo que quería decir viendo la frase

    En nuestra época de colegio nos dicen que…

    Evidentemente eso no es cierto, sólo quería recalcar que eso es lo que nos dicen. Al menos a mí me lo dijeron así.

    Sobre los límites laterales: vale, límite por la derecha solamente.

    Y lo otro: Raíz cuadrada de 4 = 2.
    Para obtener el -2 habría que escoger la menos raíz cuadrada de 4.

    Saludos

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  16. yo creo que lo de 0 elevado a 0 es así de fácil…si es 0 elevado a x , con x tendiendo a cero..entonces será 0…y si es x elevado a 0 con x tendiendo a cero ,entonces será 1.
    y no os comáis más el coco..
    Sois geniales y generáis mucha controversia… xxddd.
    Un saludo neok y diamond

    (lo había puesto fuera de post,perdón)

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    • bravo, y si es cero elevado a cero a secas, es indeterminado

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  17. Gracias nieves.

    Y no te preocupes por el comentario en otro lugar, no problem 🙂

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  18. Está mal. No se puede definir en la aritmética un valor para 0^0, es decir, usando sólo números y operaciones básicas en un número finito de pasos. De hecho, sólo encontrarás ese símbolo en cálculos con funciones, y entonces se impone el uso de límites, si es que existen. La idea es que el símbolo 0^0 no puede nunca ser un número, de la misma forma que tampoco puede ser un número 0/0, o el infinito, como bien matiza RO. El motivo es que, precisamente, el límite de funciones de tipo 0^0 no siempre es el mismo, dependiendo de las funciones implicadas en el cálculo, lo que daría un conjunto de valores posibles para 0^0, que es contradictorio con la idea de número. Similarmente, 0/0 puede tomar cualquier valor finito o infinito, y por eso se dice que no puede ser un número porque realmente ¡son muchos números a la vez!.
    Cuando asignas un valor númérico constante a 0^0, intuyo que introduces contradiciones no permitidas en las matemáticas.

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  19. Definitivamente equivoqué el enfoque del post ya que parece que no se me ha entendido.

    Lo que quería decir básicamente era:

    0^0 es una indeterminación, pero si tuviéramos que darle un valor numérico (es decir, si tuviéramos que extender de forma continua la función x^x), ¿cuál le daríamos?

    Y le daríamos el valor 1, ya que es el valor del límite de x^x cuando x->0.

    Y aunque lo he hecho ya varias veces lo vuelvo a recalcar: si al evaluar un límite nos encontramos con un 0^0 eso es una indeterminación.

    Saludos 🙂

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  20. Sin ánimo de polemizar, yo creo que el asunto está mal «planteado» de partida. No tenemos que darle un valor numérico a 0^0, de hecho no podemos, tal cosa no existe. Lo de extender la función x^x de forma continua es otra cuestión.
    Me «chirría» especialmente la frase «y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario».

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  21. No me gusta el razonamiento:
    Cuando se llega al paso
    log A = 0 … no implica A = 1
    Eso sería si A no es 0 pero A = 0^0 podría ser cero !!!

    Te pongo otro ejemplo:
    y = x^2
    log y = 2*log x
    ¿log y = 0 implicaría log x = 0 ?
    ¿implica esto x = 1??
    Hay que tener en cuenta que x=-1
    también cumple la ecuación…
    Es decir, al sacar logaritmos asumimos cosas… y quizá no debíamos darlas por supuestas ya que es precisamente lo que queremos demostrar.

    Para mi, 0^0 simplemente no está definido. (así que es indefinido o indeterminado)

    Cuando definimos la operación «elevado a» si la definimos en números naturales asumimos que n^m es multimplicar n por sí mismo m veces… pero no tiene sentido multiplicar un número por sí mismo 0 veces… Eso es un convenio cuando se extrapola, pero la extrapolación no vale cuando n es cero.

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  22. Ya he explicado en los comentarios que creo que me equivoqué al enfocar el tema y por tanto no se ha entendido bien lo que quería decir. Prefiero no volver a explicarlo para no repetirme.

    Respecto a tu ejemplo: log y = 0 implica log x = 0, evidentemente. Y eso implica sin ningún género de dudas que x = 1, ya que el logaritmo está definido sólo para números reales positivos. Por tanto no cabe una solución negativa, ya que el logaritmo de un número negativo no existe.

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  23. Digamos que lo que tratas de establecer, me queda clarisimo. No obstante entiendo, que para meterse en esas profundidades han de tenerse claros muchísimos conceptos y definiciones.
    No se debe aseverar cosas que no hemos estudiado, como por ejemplo que los logaritmos de números negativos no existen.
    Ejemplo: log(-2)=log(2)+πi

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  24. karluyz en todo momento estamos hablando de logaritmos de números reales. Si en el razonamiento estuvieran involucrados los números complejos lo habría dicho.

    Y en esta situación el logaritmo de un número negativo no se puede hacer, al igual que el logaritmo de 0.

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  25. ¿Álguien me podría explicar cómo se aplica la Regla de l’Hôpital? En la Wikipedia pone unos ejemplos que creo que no se corresponden.

    No veo lo siguiente:

    log A = limx->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = limx->0(1/x)/(-1/x2) = [Operamos] = limx->0(-x) = 0;

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  26. Para caminante:

    Pusiste

    Sobre el factorial. El factorial se define:
    Fact(0)=1
    Fact(1)=1
    Fact(N)=N*N-1

    y es

    fact (n)= n * fact(n-1)

    y lo que dijo diamond sería bastante lógico aunque la «verdadera» explicación la daría por el triangulo de tartaglia.

    Continuando con la logica que dió Diamond:

    dividiendo por n ambos miembros de la ecuacion fact (n)= n * fact(n-1)
    nos queda
    fact(n) /n = fact(n-1)

    por lo tanto

    Fact(1) / 1 = fact(0) = 1

    Saludos a todos y me encantó este blog!!!

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  27. ¿¿¿¿¿¿¿
    No me gusta el razonamiento:
    Cuando se llega al paso
    log A = 0 … no implica A = 1
    Eso sería si A no es 0 pero A = 0^0 podría ser cero !!!

    Te pongo otro ejemplo:
    y = x^2
    log y = 2*log x
    ¿log y = 0 implicaría log x = 0 ?
    ¿implica esto x = 1??
    Hay que tener en cuenta que x=-1
    también cumple la ecuación…
    Es decir, al sacar logaritmos asumimos cosas… y quizá no debíamos darlas por supuestas ya que es precisamente lo que queremos demostrar. ??????????

    uno: el logaritmo de x.. no tiende a menos infinito cuando x tiende a cero??
    que sentido tiene calcular el logaritmo de cero?
    el logaritmo de un numero a devuelve el numero al cual debe ser «elevada» la base del logarito para obtener a. sin importer la base, èsta tendria que e evarse solo a menos infinito para que sea cero..
    y la base.. sea 10 o e.. solo elevada a 0 da 1!!!!
    ( lo que significa que sólo el log(1)=0 => si log(a)=0 -> a=1)

    dos: logaritmo de -1?? real??? el logaritmo de -1 es pi*i, siendo i, la unidad imaginaria o raiz cuadrada de menos uno, la forma euleriana de un complejo.
    siendo asi, 2*log(-1) jamas podria ser cero.. solo es un valor imaginario..

    tres: las matematicas, el calculo y el algebra son absolutos.. NO DEPENDEN DEL MATEMATICO.. para mi y parab ti.. tiene que ser lo mismo..no se puede interpretar distinto.. solo es… se sabe o no se sabe.. nada mas.. ( no es por aparentar saber.. pero asi es la cuestion.. la intuicion suele llevar a error.. sobre todo a un niver mas alto.. se puede demostrar con un solo ejemplo que algo es falso.. pero puedes demorarte una vida tratando de demostrar algo que crees vedadero..)

    PARA EL PROBLEMA DE 0 A LA 0————
    para el caso dado.. el limite de x a la x tiende a uno.. pero hay muchas maneras de acercarse a cero elevado a cero.. y no todas tienden a uno.. si su pudiera demostrar que todas la formas de acercarse tiendan a uno cuando x tienda a cero, tendras tu respuesta. pero sin embargo.. si tomo lA siguiente funcion: x^(x^(-2), que tambien tiende a cero elevado a cero cuando x tinde a cero.. y le aplico el limite (cuando x tiende a cero).. y se obtiene nada mas que.. cero (distinto a uno)
    entonces.. se puede decir que cero a la cero depende de la forme en que te acerques al valor cero.. por lo tanto NO podemos decir que valga 1… entonces..nos queda un valor indeterminado…

    PARA EL CASO DE O!—
    es una demostracion que puede hacerse mediante la funcion gama, tomando en cuenta que gama(x)=(x-1)!
    lo dejo propueso por si alguien se anima..
    gama(x)= la integral de cero a infinito de (u^(x-1)*e(-u)*du)

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  28. ¿cual seria la funcion represntativa de e^x??

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  29. Pues me da que Maple se equivoca…

    Pronto hablaremos de programas informáticos 🙂

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  30. Hola a todos, a mí me sale una contradicción:

    dado que 0^0 = 1
    y que 0^0 = 0^2*0^(-2) y 0^2 = 0 y 0^(-2) = 0

    Tenemos que:

    1 = 0^0 = (0^2)*(0^(-2)) = 0 * 0 = 0 => 1=0??

    Agradecería que alguien me lo pudiera explicar. 🙂

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  31. Nauar echa un ojo a todos los comentarios y verás que la intención del post no era decir que 0^0=1 siempre, sino que si tuviéramos que definir la función x^x para que fuera continua en cero deberíamos darle el valor 1, ya que su límite cuando x tiende a 0 por la derecha vale 1. En principio 0^0 es indeterminado, el límite de una función que tiende a 0^0 puede valer cualquier cosa.

    Por otra parte en tu razonamiento tienes un error: 0^(-2) no es cero, ya que es 1/0^(2), que tiende a infinito. Por tanto obtendrías 0*infinito, lo cual también es indeterminación.

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    • No tiene nada que ver el hecho que se vea el límite de la función x^x cuando x tiende a 0 por la derecha con analizar 0^0. Son cosas totalmente distintas. Así que… ¿por qué haces la analogía? «si tuviéramos que definir la función x^x para que fuera continua en cero deberíamos darle el valor 1». Si quisieras calcular el 0^0 en la función x^x tienes que evaluar x=0 sin involucrar ningún límite. como dices en tu post al iniciar: «En nuestra época de colegio nos dicen…», pues parece que solo estudiaste el colegio y cuando intentaste aprender límites quedaste en eso, solo intentando aprender, pero con errores. 0^0 sigue siendo indeterminado, por lo tanto deberías concluir el post afirmando eso, y no dejando abierta la posibilidad de que 0^0=1. Que digas «no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número» tampoco tiene sentido, un número sigue siendo el mismo dentro y fuera de un límite, lo mismo pasa con una indeterminación. Tienes deficiencias al definir un límite y esas deficiencias se las transmites a otros visitantes de tu página.

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  32. En teoría de conjuntos se define la exponenciación de números naturales del siguiente modo:
    n^m es el número de funciones que puedes definir de m en n.
    eso da de forma inequívoca que 0^0=1 COMO NÚMEROS, como límites es otro asunto.
    Chimpún.

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  33. NuezMoscada… si 0 es el conjunto vacío ¿cómo defines una función del vacío en sí mismo? Esa definición no arregla el problema… piensalo…

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    • Una función de A en B es un conjunto en donde todos sus elementos son pares ordenados cuya primera coordenada pertenece a A y cuya segunda coordenada pertenece a B. Como el vacío no tiene elementos, se deriva que todos sus elementos cumplen esa propiedad.

      Es la particularidad del conjunto vacío: se puede decir cualquier cosa sobre sus elementos y siempre se va a cumplir. Al mismo tiempo es cierto también que ningún elemento cumple la propiedad.

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      • Sí, la lógica tiene estas sutilezas. Podemos de decir que todos los elementos de \emptyset cumplen P, y al mismo tiempo que ningún elemento de \emptyset cumple P. Pero si el sistema es consistente nunca podemos decir que algún elemento de \emptyset cumple P. Al menos en la forma más natural de formalizar las expresiones «todos», «ningún» y «algún».

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  34. esto es muy complicado sin embargo en potencias todos saben que cero es 1, y el exponente es el cero(º) siempre va ser 1 en tonces 0º es = que 1 elevado a 1 no?

    0º = 1º= 1
    si me resolicion de este problema es correta contacteme porfavor 😀 !!!
    gracias
    jose ignacio

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  35. la demostración de que 0^0 es uno es mucho más simple a mi parecer. un número dividido entre sí mismo es 1 siempre no? es decir que, por ejemplo: 0^3 : 0^3= 1

    Y por otra parte, por propiedades de potencias:
    0^3 : 0^3 = 0^3-3 = 0^0, y como hemos visto antes, es igual a 1

    saludos y gracias! si ven alguna contradicción no duden en contestar!

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    • No, un numero dividido entre si mismo es 1, salvo en el caso del cero.

      No se puede dividir por cero.

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  36. Me parece mejor demostrar que 0! = 1 usando la función Gamma. Simplemente calculariamos Gamma de uno.

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  37. PARA RESPONDER 0^0 ES INDETERMINADO

    Como la potenciacion es una operacion, en particular, para cada par de numeros existe uno y un solo un resultado:

    sea X un # real tenemos:

    propiedad 1 0^0=0
    propiedad 2 X^0=1

    luego es una contradicion para la definicion de operacion en numeros reales. esto significa Indeterminado.

    ayudado por una amiga de puertas de sol Suba, gracias

    GABRIEL DAVID MONTENEGRO G – F.U.S.M.
    ING. SISTEMAS

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  38. Hola,

    No olvideis que el «0» aunque es maravilloso, es una cifra inicialmente inventada por los antiguos solo para poder representar potencias de 10 y no para representar «la nada» o la «separación» entre la recta real en sus parte negativa y positiva, y por lo tanto no es una cantidad como tal lo son los demás números, por ello fallarán en rigor algunas leyes aplicables a los demás números reales.
    Es mejor no asegurar nada de cero a la cero, por medio de funciones. Imaginence que el cero puede existir en cualquier intervalo abierto o cerrado de la recta real si se interpreta como «la nada»

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  39. Recuerdo una discusión de hace un tiempo en la lista Snark, sobre si el cero era un número o no.

    El cero es un número como cualquier otro (además es mi número favorito); no entiendo por qué hay necesidad de asignarlo a conceptos totalmente distintos de los números como «la nada». El cero es simplemente la cantidad de elementos del conjunto vacío, o la cantidad de cosas en «la nada».

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  40. La demostración de 0^0 no me satisface, es arbitraria como alguien a apuntado por ahí. Sin embargo si me satisface el resultado, es decir 0^0=1.

    Me satisface el resultado porque es coherente con la aritmética, por ejemplo:

    (a+b)^2 = a^2b^0 + 2a^1b^1 + a^0b^2

    Si ahora hacemos b=0, tenemos según el primer término de la igualdad:

    (a+0)^2 = a^2

    Y según el segundo:

    a^2b^0 + 2a^1b^1 + a^0b^2 = a^20^0 + 2a^10^1 + a^00^2

    Lo cual da como resultado a^2 si y solo si 0^0=1.

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    • ¡Muy bueno!
      Yo intentaba razonarlo por el principio de permanencia de las leyes formales, pero encontrba dificultades, ya que hay que excluir la división, puesto que no se se puede dividir entre cero, y la propiedad $ (ab)^n = (a^n)(b^n) $ da, si b=0 y n=0, siendo $ a\neq 0 $ que $ 0^0 = 1* 0^0 $, que no es concluyente, y así me encontraba con que todas las operaciones que consideraba no daban valor concreto para $ 0^0 $.
      Ésta que pone Sive es la única que he visto que sugiere $ 0^0 =1 $, aunque las demás no la contradicen.
      Me gusta esta porque se puede explicar en la enseñanza secundaria, como ocurre con $ 2^0 =1 $ o con $ 3^{-5} = \frac{1}{3^5} $
      Me gustan estos temas y tengo una entrada en mi blog dedicada a un tema diferente, pero relacionado, la regla de «menos por menos es más»
      http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2013/04/menos-por-menos-es-mas.html

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      • Me gustaría reeditar el cometario que hice para que funcinnse el Latex.
        Como no puedo, o no sé hacerlo, escribo esta respuesta a mi propio comentario, que no es sino el mismo comentario modificado a ver si se lee el Latex.
        Ahí va:

        ¡Muy bueno!
        Yo intentaba razonarlo por el principio de permanencia de las leyes formales, pero encontrba dificultades, ya que hay que excluir la división, puesto que no se se puede dividir entre cero, y la propiedad  (ab)^n = (a^n)(b^n)
        da, si b=0 y n=0, siendo  a\neq 0 que  0^0 = 1* 0^0 , que no es concluyente, y así me encontraba con que todas las operaciones que consideraba no daban valor concreto para  0^0 .
        Ésta que pone Sive es la única que he visto que sugiere  0^0 =1 , aunque las demás no la contradicen.
        Me gusta esta porque se puede explicar en la enseñanza secundaria, como ocurre con  2^0 =1 o con  3^{-5} = \frac{1}{3^5}
        Me gustan estos temas y tengo una entrada en mi blog dedicada a un tema diferente, pero relacionado, la regla de “menos por menos es más”
        http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2013/04/menos-por-menos-es-mas.html

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  41. También me gusta el razonamiento de NuezMoscada…

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  42. NO ESTOY DE ACUERDO.

    No puedes hallar el valor de 0^0 a través de x^x de la misma forma que no puedes hallar el valor de 0 / 0 como x/x. Lo que aquí tenemos no es una función (ya sé que lo has puesto con negritas, lo triste es que hayas caído dos líneas más abajo).

    La única razón por la que los números elevados a cero dan 1 es: 2^0 =2^(3-3)= 2^3 / 2^3 = 1

    He usado el 3 para los exponentes como podria haber usado otro.

    La diferencia entre el dos y el cero es que al hacer eso te queda un cero en el deminador. Lo cual no existe, no es ni siquiera un número imaginario o algo así. Simplemente, no existe.

    En cuanto al factorial de 0, prefiero ir a la definición, que es lo único realmente conocido:

    n! = n·(n – 1)·(n – 2)

    donde n=0, quedaría

    0! = 0

    Sólo una cosa más. No es que te hayas explicado con poca claridad, es que yo estoy en absoluto desacuerdo. Saludos.

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  43. Como indica la wikipedia: «Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad.»

    Es una cuestión de comodidad. Un convenio.

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  44. Respecto a 0^0 me parece tan simple como que se ha malentendido la proposición. Se refiere a la igualdad hablando de límites, que se especifica. Creo que ha armado un poco de alboroto innecesariamente. Y respecto al facotiral, con indicar que es por convenio, como se ha hecho, queda suficientemente claro, cosa que en mi opinion no tiene sentido mas que para esta demostración, pero bueno. No veo mas problema en esto. No sé qué opinarán ustedes.

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  45. Ambos resultados son convenciones. El de 0! está muy aceptado, y el de 0^0 no tanto, pero también.

    Pero no basta con decir que se toman tales o cuales valores por conveniencia. Hay que argumentar dicha conveniencia.

    Por ejemplo, en el caso de 0^0 hay dos opciones:

    1) La fórmula del binomio de Newton no es válida cuando alguno de los sumandos es cero. Lo cual nos obligaría a acordarnos de estudiar este caso especial en algunos desarrollos.

    2) Definimos 0^0=1 y Santas Pascuas.

    En el caso de 0! también se puede usar la fórmula del binomio de Newton como argumento. Hay dos posibilidades:

    1) La fórmula del binomio de Newton no sirve para calcular los coeficientes primero y último que son 1 por definición (aparecen factoriales de cero tambien en estos casos).

    2) Definimos 0!=1 y Santas Pascuas.

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  46. Por cierto, ¿alguien sabe por qué los ejemplos que he puesto con los binomios de Newton sólo sirven para demostrar la conveniencia de los resultados de 0^0 y 0!, pero no como prueba?

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  47. Quise poner (en negrita la errata):

    Por cierto, ¿alguien sabe por qué los ejemplos que he puesto con los binomios de Newton sólo sirven para argumentar la conveniencia de los resultados de 0^0 y 0!, pero no como prueba?

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    • EL EXPONENTE CERO SALE DE DIVIDIR DOS NÚMERO IGUALES Y UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS EXPONENTES. Así decimos que 5 entre 5 es uno porque si restamos sus exponentes nos quedaría 5 elevado a la cero que también es 1. Pero está muy claro que la ley de los exponentes no es válida para el cero. Por lo tanto 0 elevado al exponente cero no existe.

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  48. Cero no siempre simboliza un número.

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  49. yo pense que era indeterminacion!

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  50. respecto a la discusion del n!, me parece que si es mas natural definirlo como 1. por que?
    porque uno puede definir n!=pitatoria_{k=1}^n(k)
    lo cual, para n=0, significa no multiplicar ningun numero, y en ese caso, lo mas usual suele ser adoptar el neutro multiplicativo, i.e., 1, al igual que se hace con la suma, que usualmente se asume como cero…

    de todos modos, por supuesto que sigue siendo, como siempre, una convencion, pero asi se ve menos arbitraria

    respecto a lo de 0^0, no estoy de acuerdo con eso de la «funcion mas natural», pues uno puede tomarse infinidad de funciones… es cierto que esa quiza sea la primera que a uno se le ocurre, pero eso no significa nada… de hecho, con la convencion mas usual 0*infinito=0, puede sonar mas razonable 0^0=0, pero sigue siendo solo tomando casos particulares.

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  51. Sólo es un caso particular, en lo general no se llega a cumplir!

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  52. hola , les agradeceria si alguien es capas de darme diez ejemplos que cumplan esta misma igualdad 2^4=4^2

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  53. Yo creo que esto es algo muy, muy sencillo, y que, a mi modo de ver, lo podría explicar en un colegio de primaria:

    0^0 (y no es un emoticono al revés) es lo mismo que decir 0 veces 0. Y si cualquier número por cero veces es 0, 0 en sí es un número, por lo que 0^0 = 0.

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  54. No Sergio. Todo número elevado a la cero es 1. Por lo tanto 0^0=1.

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  55. Sergio, cero veces cero es lo mismo que cero multiplicado por cero, y por supuesto, el resultado es cero.

    Estamos exponenciando, no multiplicando.

    La multiplicación de A por B equivale a la suma de B sumandos, todos iguales a A.

    AxB = A + A + A + … + A (hay B sumandos, todos iguales a A).

    Si B es cero, la operación resultante es muy extraña porque hay cero sumandos. ¿Cómo se hace eso si… ¡en realidad no hay operación!? Tal vez nuestra intuición nos diga que el resultado de una operación en blanco (¿¿¡¡!!??) es cero, pero la intuición está muy bien como guía, no prueba nada.

    Si antes de poner las Aes, comenzamos sumando cero, es decir:

    AxB = 0 + A + A + A + … + A (hay B+1 sumandos, uno es 0, y los demás son A).

    El resultado no se altera, con la ventaja de que ahora, decir que hay cero Aes nos presenta un resultado directo, en lugar de una misteriosa operación en blanco. A saber: que A·0 es igual a 0 sin importar el valor de A (porque no interviene en la operación resultante).

    Hagamos lo mismo con la exponenciación:

    Elevar A a B equivale a la multiplicación de B factores, todos iguales a A.

    A^B = A · A · A · … · A (hay B factores, todos iguales a A).

    Si B es cero, hay cero factores y la operación resultante es igual de extraña que la anterior. Para sortear esta singularidad se puede proceder de la misma forma que antes, sólo que esta vez comenzamos multiplicando por el elemento neutro del producto, es decir el 1, así:

    A^B = 1 · A · A · A · … · A (hay B+1 factores, uno es 1, y los demás son iguales a A).

    Ahora A ^ 0, nos da un resultado directo en lugar de una desconcertante operación en blanco. Además no importa el valor de A, incluso si A es cero, el resultado es 1.

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  56. Muy buena y convincente explicación, Sive.

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  57. Gracias Asier.

    En realidad, supongo que te habrás dado cuenta, lo que he intentado transmitir es la idea del producto vacío, cuyo resultado es 1.

    El producto vacío en wikipedia (en inglés):

    http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product

    Curiosamente (lo acabo de ver) se comenta brevemente en el articulo el dilema que discutimos aquí.

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  58. cual es la capacidad de numeros facotirales, o decir hasta que numeros es los numeros facotirales o que capacidad tiene el factorial de numeros

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  59. pues desde que supe que 2+2=5 todo es posible

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  60. yo solo digo que:
    0^0= (0^1)(0^(-1))= 0/0

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  61. el factorial de 0 me parece correcto…pero no estoy segvro del 0^0

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  62. No me convence para nada la resolución. Igual me pareció que había empezado bien, jaja. Pero usa L’Hopital, que es una técnica muy avanzada como para aplicarla a este problema. Estoy seguro que no se fijó que muy probablemente metió la pata y esto es como la «paradoja» del huevo y la gallina. Antes de usar L’Hopital, por favor, fijate en la demostración el teorema, y en las demostraciones de todos los teoremas que se usan para probar L’Hopital…jaja. Seguro en alguna de ellas se utiliza alguna convención para el 0^0! De hecho… pegate una vuelta por los polinomios de Taylor, y las series de Taylor, y ahí vas a encontrar los (x – a)^n…

    Para mi, 0^0 = 1, igual que lo que dices, por casi una infinidad de evidencias que tengo. Por eso voy a dar una…:

    0^0 es, de alguna manera, multiplicar cero cosas una cantidad «cero» de veces… eso no tiene sentido, de la misma manera que no tiene mucho sentido decir que es 0… decir que es 0 es sólo intuición, y a veces la intuición falla… Pero, 0^0 es una productoria de rango vacío de ceros! Se entiende? No pongo símbolos porque no sé latex, jaja… en fin, imagínense el símbolo del productorio. Pero por los axiomas de la lógica de primer orden (que trata de cuantificadores, como el productorio), debería ser 1 porque el 1 es el ELEMENTO NEUTRO de la multiplicación. Justamente, se utiliza el axioma de «Rango Vacío».

    De la misma manera pasa con la sumatoria de rango vacío… En una sumatoria donde no hay nada que sumar, el resultado es 0, porque 0 es el elemento neutro de la suma.

    En general, para cualquier cuantificador (como la sumatoria, la productoria, el cuantificador universal, el existencial, y todas las yerbas conmutativas y asociativas), si el rango es vacío, no importa lo que se opere, el resultado será el elemento neutro del cuantificador.

    Ese es sólo un ejemplo… también muchas veces es conveniente decir que 0^0 = 1 cuando se derivan programas, que es muy parecido a hacer pruebas sencillas por inducción. Me animo a decir que los computólogos estamos CASI seguros que 0^0 = 1.

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  63. Teorema. 0^{0} es una indeterminación. (“Probare por el momento que 0^{0}\neq 1 y 0^{0}\neq 0 ”)

    Demostración;

    (i) Supongamos que 0^{0}=1

    Por lo tanto el \ln de tal número existe.

    \ln0^{0}=\ln1 \Rightarrow \ln0^{0}=0 \Rightarrow 0\ln0=0

    Llegandose a una contradicción pues \ln0 \rightarrow-\infty de lo cual se obtiene una indeterminación.

    Por lo tanto 0^{0}\neq 1

    (ii) Supongamos que 0^{0}=0

    Como 0=-0 entonces tenemos:

    0^{0}=0^{-0} \Rightarrow 0^{-0}=\frac{1}{0^{0}}

    como 0^{0}=0 y \frac{1}{0^{0}}=0^{0} \Rightarrow \frac{1}{0}=0

    Teniendose nuevamente una contradicción pue \frac{1}{0} es indeterminado.

    Por lo tanto 0^{0}\neq 0.

    PROBARE MAS ADELANTE QUE «0^{0}\notin\mathbb{R}»

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  64. Omar en matemáticas no basta con decir que algo es indeterminado se debe probar, y eso es algo que no veo en toda la discusion; pues si digo que cero a la cero es indeterminado y no se le puede dar un valor real debo sustentar completamente el por que.

    Por otro lado ya tengo completa mi solución pues simplemente basta con fijarnos que:

    \forall \ a\in\mathbb{R}, (0^{0})^{a}=0^{0}

    y el unico número real que cumple esto es el 1.

    Por lo tanto 0^{0}\notin\mathbb{R}

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    • Tu razonamiento falla porque si fuera 0¨0 = 1 se cumpliría para todo a real.

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  65. Pues podemos armar una tabla en donde aparezcan las enésimas potencias de los números no-negativos en las columnas y en donde aparezcan las potencias de cada número no-negativo en cada fila. La tabla comienza con:

    1, 0, 0, 0, 0,…
    1, 1, 1, 1, 1,…
    1, 2, 4, 8, 16,…
    1, 3, 9, 27, 81,…

    Notamos que T(0,0) = 1, es decir 0^0 = 1.

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  66. Omar lo que usted hace «no» es una demostración matematica

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  67. Nunca dije que lo fuera, pero existen tablas construídas así.

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  68. Alguien puede ilustrarnos sobre lo que hay en la página 30 de este libro:
    T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1976.

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  69. Mirare el apostol y hablaremos nuevamente

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  70. ¿Sabía que… el buscador Google funciona también como una calculadora?
    Ingresa una cualquier expresión en la casilla de búsqueda y te dará un resultado.
    Si probamos, por ejemplo, con 0^0 el resultado es 1.

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  71. Veamos que dicen las calculadoras y programas:

    Calculadora del Google…………: 0^0 = 1
    Calculadora del Windows XP.: 0^0 = 1
    GWBASIC………………………………: 0^0 = 1
    Calculadora KenKo KK-105B.: 0^0 = Error

    ¿Alguien puede aportar más resultados?
    MATHEMATICA, MAPLE, FORTRAN, etc.

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  72. fermat: lo tuyo tampoco me parece una «demostración matemática», me parece que has leído por arriba el cuerpo del post o tienes demasiada confianza en que las operaciones matemáticas «deben valer» algo, cuando en algunos casos se trata sólo de fijar convenciones (coherentes, eso sí).
    Así, el post no pretende «demostrar» que 0^0=1, eso no se puede (como tampoco se puede demostrar que no es 1) mientras no tengamos bien definidas los aximoas o reglas que sirven de punto de partida.

    A mí me parece muy convincente, según lo expuesto, adoptar la convención 0^0=1.

    Tu «demostración» de que no puede valer 1 no es concluyente. Aplicas la regla usual del logaritmo de una potencia y llegas a que 0^0=1 \Rightarrow 0 \log 0 = 0 lo cual, según tú, es una falsedad. Pero a esta objeción pueden darse dos respuestas:
    Primero: alguien puede decir: digamos que la regla \log a^b= b \log a es válida, pero solo para a \ne 0. Esto no te gustará (a mí tampoco) pero no creo que haya razones de peso para negarle ese derecho, no se cae nada.
    Segundo (más convincente): si damos por buena la aplicación de la regla, todo lo que has demostrado es que aceptar la convención 0^0=1 nos obliga a aceptar la convención 0 \log 0 = 0. Esto a tí te parece absurdo, es una indeterminación porque es «cero por infinito»; pero esta «indeterminación» es en esencia del mismo tipo que la original, nada impide asignarle un valor convencional, mientras no implique incoherencias. Y no veo que las implique.
    De paso, esa convención 0 \log 0 = 0 es muy usada (sobre todo aparece en el cálculo de la entropía de Shannon, cuando consideramos símbolos de probabilidad nula); es cierto que en ese caso suele usarse el argumento del límite para justificarla (ya que ahí es claro que los ceros pueden verse como provenientes de un mismo x que se hace tender a cero).

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  73. Hernan mientras no se fijen esas convenciones de las que tu hablas, la demostración esta sujeta a la teoria y la axiomatica actual, por lo tanto es valida.

    De aceptar su punto de vista, entonces todas las demostraciones, en todas las ramas de la matemática no serían concluyentes, pues la axiomática es suceptible a cambios.

    Esta es la forma filosoficamente ideal que debe tener todo cientifico, y eso esta muy bien, pero a lo que yo voy y analiso segun su critica, es que si un estudiante de secundaria me pregunta en este momento, con la teoria actual que tenemos; ¿si 0^{0} pertenece a algun conjunto númerico?, probaria que no. y si me pregunta ¿puede llegar a pertenecer? lo enviaría a que hablara con usted.

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  74. Lo que parece que no se entiende es que todo esto no es más que una convención. No se trata de pruebas, porque no las hay, como ya ha comentado hernan. En este caso sólo se puede argumentar la conveniencia de adoptar uno u otro resultado, aunque sólo sea en determinados contextos.

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  75. En el enlace que ha puesto fermat, el autor desarrolla un argumento a favor del resultado 0^0=1. Un argumento que también se ha comentado aquí de pasada.

    Sin embargo, es importante dejarlo claro, sigue sin demostrarse nada. Lo único que demuestra la página es que es la convención 0^0=1 es coherente con la teoría de conjuntos.

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  76. Si aparece 0^0 dentro de una fórmula para realizar un cálculo práctico en la vida cotidiana, digamos para la construcción de un aparato tecnológico, ¿Qué valor adoptaríamos?. Me parece que lo más conveniente sería adoptar 0^0 = 1.

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  77. Sive creo que lo que hace Gustavo en el topo logico, es una prueba valida, no es un simple argumento, ya que los conjuntos numericos, se construyen desde la parte conjuntista, a partir de los cardinales, empezando por los naturales; lo cual creo yo no lo hace ninguna otra rama de las matemáticas, pues siempre en otras ramas aparecen los conjuntos numericos como objetos matematicos sacados de debajo de la manga, por ende la teoria de conjuntos es la mas indicada a precisar el valor de 0^{0}, pues se le esta dando el valor al natural cero elevado a la cero (que es tambien un número natural); por lo tanto esto no es ninguna convencion es una demostración, pues para llegar a una convencion no se necesita dar tantas bueltas simplemente se hubiese convenido decir que 0^{0}=1, como se hace por recurrencia con el 0!, cero factorial si es una convención, pues se le esta dando el valor de 1, sin derecho a reclamos, simplemente con la intencion de que no se presenten inconcistencias mas adelante en la teoria.

    Para justificar aun mas esto pueden ver en el libro «INTRODUCTION TO SET THEORY» de Hrbacek y Jech pag 97
    o en «SET THEORY» de Jech pag 29.

    En estos libros se deja este ejercicio para que sea «demostrado» este hecho.

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  78. Antes que nada, si vas hacia atrás en los comentarios, verás que hace mucho tiempo que NuezMoscada comentó esta «demostración» (que para mí no es tal), y ya dije que era una de las que más me gustaban (pero no como prueba, sino como argumento para la convención).

    Admito que tiene una fuerte apariencia de prueba, pero es una ilusión. No es una prueba porque toda la demostración se sostiene en una convención local de la teoría de conjuntos.

    Me explico: la teoría de conjuntos define la operación de exponenciación como mejor que le interesa, como mejor le conviene (exactamente igual que se hace con todas las operaciones de las matemáticas, tampoco hay que alarmarse por esto).

    La teoría de conjuntos, digo, aporta una definición propia de la exponenciación basada en un problema concreto (el de las funciones de A en B). Y en este problema concreto, resulta que sí: 0^0=1.

    Pero fuera de esta rama de las matemáticas, donde la exponenciación es otra cosa, esto sólo sirve como argumento para la conveniencia.

    Obviamente, dentro del contexto de la teoría de conjuntos (como en los libros que comentas), aceptada ya la convención relativa a la exponenciación, si se puede decir que que está probado que 0^0=1

    Además, creo que no es más que el argumento «combinatorio», agazapado detrás de unas cuantas definiciones.

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  79. $0^0$ es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos
    \begin{equation}
    \int_0^1 x dx = \frac{1}{2}
    \end{equation}
    saludos

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  80. $ latex 0^0$ es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos
    $latex
    \begin{equation}
    \int_0^1 x dx = \frac{1}{2}
    \end{equation}
    saludos
    $

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  81. 0^0 es indeterminado. el hecho de que haya dos posturas, y q ninguna de ellas sea completamente aceptada hace verídica mi afirmación. Saludos

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  82. Me parece, aunque no me he leído todos los post, que las convenciones numéricas no pueden establecerse si confunden; como hay casos en que la indeterminación 0^0 no da 1, no debe usarse.

    También quiero comentar que las funciones no pueden hacerse continuas: o lo son o las cambiamos por otras que sí lo son, pero no son las originales. Creo que a esto contribuye llamar a ciertas discontinuidades «evitables». ¿Se dan cuenta los evitadores de discontinuidades que a algunos nos gustan mucho las funciones con agujeros?

    Estupendo blog, por cierto.

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  83. mper23: no hay ninguna confusión si se matiza (como se hace en el mensaje original del hilo), que la convención no se aplica cuando hablamos de límites. Evidentemente, esta matización implica que la demostración basada en el límite de x^x, es inválida (porque la elección de la función es arbitraria), pero este es un detalle que se ha discutido ampliamente en los comentarios posteriores, y a mi parecer se ha subsanado con argumentos mucho más fuertes.

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  84. o sea como 0 a la potencia 0 tiene 2 respuestas primero a =1 y segundo a=0 . podrian explicarme xfa

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  85. Muy sencillo.
    Por un lado sabemos que cualquier número elevado a 0 da 1, con lo que 0^0=1 .
    Por otro tenemos que 0 elevado a cualquier número da 0, y con eso tendríamos que 0^0=0 .
    El problema es que el 0 no es «cualquier número» y no debe ser tratado como tal en este caso.
    Por eso se dice que este tipo de operaciones están indeterminadas.

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  86. ok, me dices q 0º=1 y si decimos q cualquier numero Xº=1 entonces por Propiedad Transitiva de la Igualdad me estás diciendo que 0=X ; x€R, es decir, q 0 es igual a cualquier número??? contraejemplo: 0º=1 ^ 5º=1 como 1=1 ==>0=5????

    no entiendo? :-S creo q eso SI es una indeterminación aun cuando no estemos hablando de una función o suseción….!!

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  87. La potenciación no es una aplicación biyectiva. Las raíces cuadradas tienen siempre dos resultados. Por eso no es correcto aplicar transitividad. Por ejemplo:

    2²=4, -2²=4 => 2=-2?

    Además 0° es una indeterminación, no es ni 1, ni 0, ni ningún número real.

    Es algo mucho más fácil que todo eso:
    Se dice que cualquier número real elevado a 0 es 1 por que \frac{{x}^{y}}{{x}^{y}}=1 y
    \frac{{x}^{y}}{{x}^{y}}=x^{y-y}=x^0

    También se dice que cualquier potencia de 0 es igual a 0 por que cualquier número multiplicado por 0 da 0:

    0^{y}=0 \cdot 0 \cdot 0 \ldots =0

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  88. perdon pero no puedes aplicar la regla de l’hopital, no cumple las hipotesis para aplicarla, tu conclusion es falsa, luego cero a la cero no existe de existir dirias que existe la division entre cero, repasa las leyes de los exponentes y veras

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  89. ¿Quién dice que he utilizado la regla de l’Hopital?
    Simplemente he escrito propiedades de la multiplicación y la potenciación. En ningún lugar he escrito nada sobre límites.
    Por favor pensad un poco antes de escribir; como he dicho arriba es mucho más sencillo que todo eso que ponéis, y como también he dicho 0° es una indeterminación. Algo distinto sería hablar de límites cuando x ó y tienden a 0 en x^y .
    Espero que ahora esté claro lo que quería decir.

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  90. hola mira en la buskeda de mira tarea de probabilidad me encontre con un dilema no entinedo el porque de cero factorial(0!) es =1 y al explicacion ke encontre no me es muy clara para sali de duda…
    sugerencia podrian poner mas maneras de como saber el por que del cro factorias es uno.
    gracias

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  91. mm… interesantes los comentarios
    a mi me explicaron 0! con el triangulo de tartaglia y elemental teoria de conjuntos, me gusto mucho, aunque tambien decir que la explicacion de diamond es tambien clara y sencilla

    respecto a 0^0…. he visto la explicacion mediante los limites y si esta bien, pero me ha surgido una pequeña duda:
    cualquie numero elevado a 0 es 1 no? bueno la demostracion mas sencilla y clara es esta:
    teniendo en cuena la regla de potencias: podriamos tener:
    x^y/x^y, pero eso es igual a x^(y-y) q es igual a x^0
    pero como x^y/x^y es 1, pues x^0=1
    ahora aplicando la misma logica respecto 0^0….
    sabemos que 0^x siendo cualquier numero distinto de 0 q es lo q queremos saber, pues es igual a 0…
    entonces tenemos 0^x/0^x = 0^(x-x) q es igual a 0^0, pero si 0^x es 0, tenemos al final que es igual a 0/0 que si es una indeterminacion…
    pues ahi tengo la dudilla, si alguien me puede decir en que me he equivocado! gracias 😉

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  92. Yo tengo una pequeña duda (perdonen si es una tontería) : la función factorial… ¿tiene inversa?
    Es decir, si tenemos por ejemplo la ecuación n!= a, ¿podemos, si conocemos el valor de a, conocer el valor del factorial sin tener que estar probando por tanteo hasta llegar al resultado? ¿Hay alguna fórmula que nos permita hacer eso? ¿Hay una fórmula inversa del factorial? ¿Es la función factorial biyectiva? Desde ya muchas gracias.

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  93. La función factorial está definida en los naturales. Si consideras el conjunto de llegada los naturales también, por supuesto no tiene inversa. Que es creciente creo que es evidente, pues (n+1)!=(n+1)n!>n!, pero como 2!=2 y 3!=6, el 5 por ejemplo no tiene preimagen (además de muchísimos pares ningún impar mayor que 1 la tiene, evidentemente). Si consideras el conjunto de llegada como la imagen de la función factorial está claro que sí tiene inversa, pues como dije es estrictamente creciente. El conseguir una fórmula creo que no es trivial, pero se puede probar. El caso es que hay tan pocos números que estén en la imagen del factorial que no es algo intuitivo ni mucho menos.
    PD: Las cosas salen muchísimo más elegantes si usas la función gamma, lo que pasa es que está función va de \mathbb{R} en \mathbb{R} y no es biyectiva. Si la restringes a [1,+\infty) sí lo es, y entonces creo que se podría encontrar (en principio) una descripción analítica de la inversa restringida. A ver si alguien se anima a intentarlo.

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  94. Gracias, Dani. Sinceramente no tengo idea de cómo conseguir la fórmula (vale decir que mis conocimientos sobre análisis matemático son bastante pobres), pero igual será una experiencia interesante. Muchas gracias. 🙂

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  95. kiwi23,
    Tu razonamiento no es válido.
    x^y/x^y no es siempre 1 …
    En el caso en que x^y fuese 0 no puedes hacer eso.
    Y es que precisamente en el caso que estamos tratando x^y podría ser cero… Sea x=0 , sea y distinto de cero : x^y=0
    Si x es distinto de cero, x^y distinto de cero y la prueba sería válida: x^0 = 1 cuando x distinto de 0

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  96. epale, ya va, eperame un pelo, no se supone que cero elevado a la cero es cero, ya que como se puede multiplicar un cero por nada, por ejemplo:
    1 elevado a la 2 seria 1*1
    2 elevado a la 3 seria 2*2*2

    pero como me como esa de que cero elevado a la cero es uno, te lo creo si me dices 1 elevado a la 1 o elevado a la 2 o a la enesima potencia, CHAMO, MATEMATICA ELEMENTAL DE PRIMARIA, Y DE SECUNDARIA, NO ME VENGAS CON FRASES ENREDADAS Y CON FORMULAS QUE TAN SOLO TU Y DIOS ENTIENDEN

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  97. Lo que quisiera saber es porque el factorial de cero es
    1, si sacas factorial de 1 es porque lo estas multiplicando
    por 1, pero con el factorial de cero no estas multiplicando
    nada, acaso cero solo no es un numero vacio.

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  98. Yo quiero analizar una función (sucesión) y me gustaría que me ayuden. Que me dicen de lo siguiente:

    n^n/n!

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  99. (A Sive, hace muchos meses): Si matizamos lo bastante, seguro que podemos poner 0⁰=37,o 0⁰=i, por ejemplo. Bromas aparte, no me veo intentando hacer que las matemáticas se entiendan mejor defendiendo esta convención. Los que la podemos admitir, con más matices o menos, ya estamos curados de espanto.

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  100. 0!=1, no solo es por convencion. Una forma de expresar a la funcion n! es mediante la funcion gamma, definida como ∫(e^(-x))(x^(n-1))dx, valuada de 0 a infinito. Así, Γ(n)=(n-1)!. Por lo tanto, Γ(1)=0!, y como Γ(1)=∫e^(-x)dx desde 0 hasta infinito, y esta integral vale 1, entonces 0!=1.

    yo no se nada, solo lo lei en yahoo respuestas y creo que la persona tiene razon.

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  101. no estoy muy deacuerdo con la demostracion del principio, observen esto:

    0^0=0^(a-a)=(0^a)*(0^-a)=(0^a)/(0^a)

    de lo anterior se pueden afirmar dos cosas:

    1.-como cualquier cantidad dividida por si misma es 1 entonces lo anterior es 1.

    2.-si efectuamos las potencias, obtendriamos 0/0, esto se dice que no esta definido (diferente a indefinicion), porque recuerden que en un cociente lo que buscamos es un numero que al multiplicarse por el denominador nos de el numerador:

    4/2=2 porque 2*2=4
    18/3=6 porque 6*3=18

    pero en el caso de 0/0 necesito un numero que multiplicado por 0 me de 0, es decir esto puede cumplir con:

    0/0=c

    donde c puede ser cualquier numero que pertenezca a los reales. por lo tanto 0^0 no esta definido.

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  102. Neto, sigamos tu demostración pero para 0^3, por ejemplo:

    0^3=0^(5-2)=(0^5)*(0^-2)=(0^5)/(0^2)

    Si desarrollamos el numerador y el denominador llegamos a 0/0 y por tanto 0^3 es indefinido.

    Sin embargo sabemos vale cero.

    Algo falla 😉

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    • Koy, no está mal aceptar los convencionalismos ni defender las posturas ortodoxas cuando, para comenzar, funcionan bastante bien. La cuestión, digo, es que hay temas que no tienen manera de quedar claros porque la formalidad matemática, por excelente que sea, no hace milagros. En esos casos bien habrá derecho de cuestionar.
      Aprovechando tu sugerencia, copio y pego uno de los comentarios que pude leer en ese blog.

      “La cuestión: cero elvado a la cero, tan difundida de que es indeterminado, se debe a que en la facultad y puede ser en las escuelas técnicas, cuando en cálculo se trabaja con limites, se lo ve como una de las situaciones de interminación junto con otras.
      Es la primera vez que veo una demostración donde se llega que es igual a uno.
      Y si consulta e indaga uno poco, puede suceder tres situaciones:
      Que responda uno, por que lo demostró o se lo enseñaron.
      Que responda uno, por que no lo cuestionó, lo relaciona con la propiedad de que todo número elevado a la cero es uno y además de no haber detectado esta situación en particular.
      O que afirme que es indeterminado por lo ya mencionado anteriormente.
      Saludos
      Isabel”

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  103. Hola,

    Tened cuidado porque en el artículo estáis suponiendo ciertas implicaciones que son falsas:

    Primero, definís una función f(x)=x^x,

    Si calculamos \lim_{x\to0}f(x), nos encontramos con que ese límite no existe, ya que como:

    \lim_{x\to a} f(x) \Leftrightarrow \lim_{x\to a^+} f(x)=\lim_{x\to a^-} f(x)

    y en nuestro caso \lim_{x\to 0^+} f(x)\neq \lim_{x\to 0^-} f(x) \Rightarrow \nexists \lim_{x\to 0} f(x)

    No se puede tomar logaritmos después! porque ahí estáis suponiendo que existe A tal que \lim_{x\to 0} f(x)=A y este límite, ya se ha demostrado que no existe!,

    Entonces, lo que hacéis después de suponer esto, no tiene porqué ser cierto.

    Una cita curiosa, que comenta distintas opiniones sobre este asunto, la podéis consultar en:

    http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/knuth403-422.pdf

    Inclusive el argumento que os pongo de los limits laterales.

    un saludo

    un saludo

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  104. Joaquin, el límite cuando x \to 0^- no se puede calcular ya que esa función no está definida para números negativos.

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  105. Buenas.

    Me parece fascinante la discusión.
    No soy una experta en el tema, no soy matemática, pero me parece muy interesante. Lo añado a favoritos.

    Un saludo, C.P.R.

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  106. gracias me rerererer sirvio

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  107. A ver…

    3/3=1
    2/2=1
    1/1=1
    ¿0/0=1?

    Por otro lado

    0/3=0
    0/2=0
    0/1=0
    ¿0/0=0?

    Es decir, 0/0 esta indeterminado

    Ahora, si:

    a^n/a^n=a^0

    y además

    a^n/a^n=(a/a)^n

    entonces: a^0=(a/a)^n

    si a=0

    entonces 0^0=(0/0)^n

    pero como 0/0 esta indeterminado, entonces 0^0 es indeterminado.

    ¿Cómo ven?

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  108. Hum-Sa:
    Me mentiste…

    indivisa manent

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  109. Bueno quería ver si puedo dar una explicación a mi modo de ver «lógica» de porque 0^0=1

    Si definimos la potenciación de números enteros, veremos que el exponente corresponde a la cantidad de veces que aparece la base por si misma en el producto:
    Siguiendo este concepto se tiene:

    0^0= 1. 0^0 (por axioma de los nº reales)
    1. 0^0= 1 (ya que el cero al estar elevado a la cero, no figura ninguna vez la base multiplicándose por si misma, es decir si fuera 0^1 la base aparecería una vez multiplicando. Pero como esta elevado a la cero, es como si no existiera. De ahí que cualquier número elevado a la cero sea igual a 1)

    supongamos a^0 = 1 . a^0 = 1 (como la base no figura multiplicando ninguna vez)

    Bueno esta explicación fue la que se me ocurrió para explicar este resultado. De igual forma no tengo demasiada formación matemática aún (estoy en primer año de Lic. en Física), pero espero haber podido aportar algo útil.

    Muchos Saludos y felicitaciones por el blog!

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  110. Estoy alucinado.
    Parece que la gente no entiende lo que es una indeterminación.

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  111. Gabriel, no seas tan intransigente.

    Por supuesto que estrictamente cualquiera de las expresiones enunciadas es indeterminado, pero éstas, según en qué contextos se traten, son consideradas determinadas o bien (si lo prefieres) se les da un sentido determinado.

    Por ejemplo, si bien t/t es indeterminado cuando t=0, con t->0 se considera 1 (algo elemental en análisis para extender continuidad a una función discontinua).

    Por eso, al contrario que tú, opino que abrir este tipo de cuestiones es muy interesante, sobre todo para que la gente que no lo conozca, no le extrañen cosas como que en tal problema se llega a (informalmente) que 0/0=1.

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  112. Vamos a ver JoseJuan.
    Las dos expresiones NO son una indeterminación. 0! es uno. El factorial de un número es un caso particular de la función gamma, y utilizando dicha función, se ve fácilmente (resolviendo una integral inmediata) que el faltorial de cero es uno.
    Ahora bien, 0^0 es una indeterminación. No vale uno, ni dos, ni tres… ¿Cuánto vale? No está definido su valor. No tiene valor. Ahora bien, sí se puede determinar a qué valor se acerca una función del tipo X^Y cuando X se acerca a cero y cuando Y también lo hace. Y resulta que dicho valor depende del ritmo al que X e Y se acerquen a cero. Luego no podemos decir que X^Y se acerque siempre a un mismo valor, para poder así asignar dicho valor a 0^0.
    Éste es el significado de una indeterminación, 0^0 puede tomar cualquier valor dependiendo del ritmo al que se acerque la base y el exponente a cero. En consecuencia, no podemos definirle un valor concreto… es una indeterminación.
    Por ejemplo, 3^2 es 9, y cualquier función del tipo X^Y que nos inventemos, donde X se acerque a 3 e Y se acerque a 2, siempre se acercará su resultado a 9. No depende de cómo sean estas funciones. Por eso, no es una indeterminación, vale siempre 9.
    Gracias.

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  113. Gabriel, que cuando se estudian límites digamos (y demostremos) que 0^0 es infinito, no es incompatible con que se adopte la convención de que 0^0 (sin más, sin límites) es cualquier otra cosa, siempre que la conveniencia se argumente adecuadamente.

    Por ejemplo, cuando calculando un límite llegamos a 1 elevado a infinito, automáticamente concluimos que se trata de una indeterminación, porque matemáticamente se ha demostrado que es así.

    Sin embargo, 1 elevado a infinito, sin más, es 1.

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  114. Sive… perdona que te diga que no entiendes el concepto de indeterminación. ¿De verdad crees que si a 0^0 se le pudiera dar un valor, no lo habría hecho ya alguno de los genios que han existido? Hemos tenido que esperar a que se invente Internet para que cualquiera lo diga en un blog.
    Con lo que me has dicho de uno elevado a infinito, me terminas de demostrar de que no te enteras. Por supuesto que uno elevado a un número cada vez más grande tienede a uno, pero un número que tiende a uno elevado a un número que tiende a infinito, no tiene que ser uno. De hecho, dependiendo del ritmo al que se acercan las sucesiones a uno y a infinito, puede dar cualquier valor. Por eso, es una indeterminación.
    Está mal dicho decir que uno elevado a infinito es una indeterminación, puesto que es uno. Lo que hay que decir es que algo que tiene a uno elevado a algo que tiende a infinito es una indeterminación.
    Perdona la rudeza, pero es que me molesta mucho cuando me encuentro en Internet cosas como estas. Primero, hay que coger un libro serio y mirar qué son las cosas. Para no decir disparates.
    Gracias.

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  115. Si la gente fuera capaz de leer razonadamente todo lo que dice en este artículo y en los comentarios (tantos en los míos como en los de muchos otros) no se dirían ciertas cosas. Pero lo voy a volver a intentar:

    Gabriel, dime en qué lugar del artículo se dice que el límite de una sucesión con límite cero elevada a otra sucesión con límite cero da resultado 1 y estaré encantado de borrarlo. Por favor, vuelve a leer el comentario de Sive (que, por cierto, has tratado de forma tan despectiva) e intenta entenderlo.

    Ah, y no, no hemos tenido que esperar a que aparezca Internet para que cualquiera lo diga en un blog, el hecho de que 0^0=1 sea el convenio más razonable está fundamentado desde hace tiempo y de más de una forma. Date una vuelva por El Topo Lógico y busca los artículos que tienen publicados en relación con este tema.

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  116. «…el límite de una sucesión con límite cero elevada a otra sucesión con límite cero da resultado 1…»

    Yo lo digo ¡que pasa! ( ;P )

    \lim_{x\rightarrow 0}x^{x}=\allowbreak 1

    ¿algún problema?

    Y ya que repito, me expliqué mal al decir «enunciadas», debí decir «enumeradas» pues me refería a la serie de indeterminaciones que han ido saliendo en todos los post (yo no he escrito en ningún sitio que 0! sea indeterminado, como Gabriel me ha adjudicado).

    Gabriel dice: …Éste es el significado de una indeterminación, 0^0 puede tomar cualquier valor dependiendo del ritmo al que se acerque la base y el exponente a cero. En consecuencia, no podemos definirle un valor concreto… es una indeterminación….

    Errónea conclusión, tú puedes tomar límites diferentes L1, L2, … para que te den valores diferentes en el límite (y1, y2, …), pero una vez fijado el límite en estudio, podrás determinar si su límite es un valor contreto o realmente indeterminado.

    Un ejemplo muy claro lo puedes ver en

    http://es.wikipedia.org/wiki/Cero#Divisi.C3.B3n_por_cero_en_los_n.C3.BAmeros_reales

    Es decir, que nadie dice que 0/0 no sea indeterminado (que es en lo que te cierras), únicamente, que al estudiar los límites puedes dar un valor concreto a la indeterminación que se produce en el límite (es decir, en 0).

    Y la utilidad de todo ésto que tú directamente desechas, es (entre otras) extender funciones no definidas en algún punto, a las que se les extiende.

    Tómate por favor las dos funciones siguientes:

    f1(x)=x/x
    f2(x)=x^2/x

    según tú, nada se puede hacer con ellas en x=0.

    Sin embargo, es habitual redefinirlas «añadiéndoles» el punto en cuestión, es decir

    g_{1}(x)=f_{1}(x)~si~x\prec \succ 0
    g_{1}(x)=1~si~x=0

    g_{2}(x)=f_{2}(x)~si~x\prec \succ 0
    g_{2}(x)=0~si~x=0

    Que sí, que f1(0) sigue siendo indeterminado, ¡pero los límites han dado un valor definido a las funciones! y éstos límites no han sido arbitrarios (sino, por favor, mírate la definición de límite de una función).

    Y también, como estarás pensando, efectivamente podríamos haber hecho

    g_{1}(x)=123456~si~x=0

    y tan contentos (hemos quitado igualmente la indeterminación), pero entonces ya no estamos hablando del valor que una expresión indeterminada puede adoptar usando límites, sino de poner un valor arbitrario.

    Sólo siento el tono en que deriva la conversación, sigo pensando que abrir éste tema puede ser muy productivo para quienes están estudiando.

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  117. Hola nuevamente.
    * Lo primero, es que quiero pedir disculpas a Sive y a todo aquel que le haya molestado el tono de mi anterior intervensión. No quiero crispar ningún foro. Estoy de acuerdo en que lo primero es la educación.
    * Lo segundo, es que no comprendo que a 0^0 se le quiera asignar un valor que sea el límite de una función particular para hacerla continua. ¿Qué pasa con las otras funciones que dan un valor distinto a 0^0?
    Por supuesto, que los límites que ha puesto josejuan más arriba son los que se han utilizado para hacer esas funciones contínuas. El problema es que no todas las funciones del tipo de g_1 (por ejemplo) dan como límite 1. Luego al límite de cero partido por cero no se le puede dar el valor 1 intentando que sea válido para cualquier función que tienda a cero parido por cero. Es sólo cierto para esa función y otras más, pero no para todas.
    Igualmente ocurre con 0^0, dependiendo de la función, tomará un valor u otro. Luego no le podemos asignar un valor a 0^0 ya que su valor depende de la función que se acerque a dicho límite.
    Por el contrario, a 3^0, sí que le podemos asignar un valor, puesto que cualquier función que fabriquemos cuyo límite sea 3^0 veremos que SIEMPRE da 1. Por eso, 3^0 no depende de ninguna función. Por eso, a 3^0 se le puede dar el valor por convenio de 1 para hacer continuas a todas las funciones que tienden a 3^0.
    * Lo tercero. De verdad que creo que estamos discutiendo algo muy básico. Seguramente también podamos discutir si 2+2 son cuatro o no. Si repasamos los apuntes de análisis matemático veremos qué es una indeterminación.
    Bueno…  Gracias.

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  118. Cero elevado a cero es una indeterminación como una catedral de grande, al igual que cero entre cero y muchas otrás indeterminaciones. Nada tiene que ver con que sea el valor de una función a que sea un valor numérico. El que diga lo contrario está confundiendo al personal que lee esta noticia. El que quiera que haga la prueba y con una calculadora pruebe a elevar el cero al cero, etc.

    NO confundamos más a la gente que se hace lío con las matemáticas.

    Un saludo.

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  119. Tienes razón en decir que cero elevado a la cero es una indeterminación, pero decir que se puede utilizar una calculadora como prueba no es correcto. Fíjate por ejemplo en la calculadora del escritorio de WINDOWS y verás que 0^0 = 1. Claro que, en otras calculadoras, puede aparecer la indeterminación, pero eso no ocurre en todas las calculadoras ni en todos los lenguajes de programación. Hay software que produce ciertos errores y por ello no pueden considerarse estos resultados como pruebas matemáticas.

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  120. Omar-P evidentemente lo de la calculadora era una prueba fácil, y me refería a una calculadora científica, no a una escolar y menos a la del Windows. La calculadora lleva un programa que si está bien hecho mostrará error al elevar cero a cero o mostrará indeterminación. Simplemente digo que este artículo confunde a las personas que dudan en las matemáticas y crea mucha confusión. Y que decir que 0 elevado a 0 es 1 es generar una confusión innecesaria cuando está claro que es una indeterminación al igual que el 0 dividido entre 0. Pero no hay que tener miedo a las indeterminaciones, las indeterminaciones no son más que la evidencia de la exactitud. Porque lo que no se puede contar al dividirlo entre nada nos da un resultado sin concretar y por tanto es indeterminado.

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  121. Cuando decimos que 0^0 es una indeterminación sólo queremos decir que es un punto donde no se cumple \lim_{x\rightarrow a}{(f(x))}^{g(x)}={(\lim_{x\rightarrow a}f(x))}^{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}.

    Pero eso no implica que no podamos definir el valor de 0^0. Claro, seguirá sin poderse aplicar la fórmula de límites. Pero puede sernos útil (y consistente) definirlo como 1 para cuestiones de combinatoria.

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  122. Porfa ayuda con esta serie que no me sale
    1,1,1,1,2,24,x
    Cuanto vale x……
    por favorrrrrrrrrrr

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  123. Pues realmente puede ser cualquier valor, pero yo diría que x=246

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  124. Es que sí, puede ser cualquier valor.

    Yo, personalmente, elegiría x=48, siguiéndola de la siguiente manera:

    1,1,1,1,2,24,48,816,1632,3264,64128,128256,…

    Pero lo cierto es que se pueden conjeturar muchas cosas de ello: tantas como uno quiera.

    Sobre el tema principal del artículo: bueno, definir 0^0 = 1 simplificaría la definición de x^x para que esta función fuera contínua en todos sus puntos, ahorrándonos la definición en dos renglones: f(x)= (x^x ↔ x≠0 ˅ 1 ↔ x=0)

    Sobre que 0! valga 1, es una desición tan arbitraria como decir que x^0 = 1. Normalmente ese tipo de convenciones se realizan para preservar alguna propiedad al extender una definición; en el último caso: x^a = x^(0+a) = x^0.x^a, donde obviamente sirve que x^0 sea definido como 1.

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  125. Creo que esta discusión (o debate, si os gusta más la verborrea moderna), no llega a ninguna parte porque para empezar ni siquiera estamos de acuerdo en algo fundamental, que sólo se ha nombrado de pasada (salvo josejuan, que sí lo ha tratado con más profundidad).

    A saber: que cero elevado a cero, es lo que acordemos que sea.

    ¿De verdad alguien cree tener una prueba irrefutable que demuestre que cero elevado a cero es indeterminado, o uno, o cero, o lo que sea?

    La espero ansioso.

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  126. una de las leyes de la potenciaciòn dice que a^b/a^c = a^(b-c)
    si b = c tenemos a^b/a^b = 1
    si b= 0 nos queda a^0/a^0 = 1
    a puede ser cualquier valor incluyendo el cero

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  127. Hola
    Yo lo explicaria de esta manera:
    para X#0.
    X^1=(X x 0)+ X;
    X^2=X x X;
    X^3=X x X x X;
    X^N=X x X x X x X….x X(n veces) n#0;
    X^0=(X x 0)+1;
    y para este caso:
    0^0=(0 x 0)(de la nada no se puede ser nada); a mi entender 0^0=0;
    Y en el caso del factorial
    X!=X(X-1)(X-2)…..(X-(X-1)
    Se usa esta formula:
    X!/(X-K)! ; X>K
    por ejemplo si queremos sacar 4 cartas de un mazo de 52 cuantas combinaciones pueden haber reemplazamos:
    52!= 52!/(52-4)!=52x51x50x49x48!/48!(se simplifican los factoriales)
    =52x51x50x49=6.497.400
    para el caso de 0! reemplazo;
    0!/(0-0)!=0!/0!
    =1×1!/1!(simplifico los factoriales);
    =1×1=1;
    no parece descabellado.
    PD: Igual si no me acerco a lo del debate lo del Factorial me parece que es un convenio por que si no fuese 0!= 1;quedaria asi:axa-1xa-2x….x(a-a+1)x0=0;
    y toda la multiplicacion consecuente multiplada por cero, el resultado seria cero,entonces no tendria sentido que existiera el factorial.
    Saludos

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  128. Sería genial que ahora aprovechen el «Latex» para reescribir la parte de cálculo,.

    Cuesta mucho leerla así,.

    Gracias por la info,. 🙂

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  129. @Antonio_GS ya lo he comentado (dos veces, creo) pero voy a desarrollar un poco más la razón por la cual estoy convencido de que la demostración del Topo Lógico, no es tal, aunque sí un buen argumento.

    El problema de cero elevado a cero, en el fondo, es que depende de como definamos la exponenciación. Yo podría definir la exponenciación así:

    a^0 = 1, si a \ne 0

    0^a = 0, si a \ne 0

    0^0 = 666

    a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a, en todos los demás casos.

    Podría hacerlo, pero después de esta definición no podría decir que he demostrado que 0^0 = 666, sólo lo he definido. Que mi definición se acepte como convenio por el resto del mundo, dependerá de lo útil que resulte hacerlo.

    Bueno, pues el error evidente que yo cometería si pretendiera presentar esto como prueba de que 0^0=666, es de la misma naturaleza que el que se comete al decir que el argumento conjuntista es una prueba de que 0^0=1. Ya que toda la prueba se basa en una definición conjuntista previa de la exponenciación.

    Por supuesto, la definición conjuntista es mucho más conveniente y útil que la mía, y por eso sí que es un fantástico argumento para aceptar este convenio.

    Esto es lo que hace que otros buenos argumentos, como el del producto vacío (que para mí es el mejor de todos), tampoco sean demostraciones.

    Voy a ir un poco más lejos (y me da que me voy a meter en un berenjenal, pero bueno). Ni siquiera existe ninguna prueba que demuestre que a^0, con a \ne 0, es 1. Eso también se acepta por convenio (en este caso, con argumentos abrumadores, eso sí).

    La «prueba» típica:

    a^0 = a^{n-n} = a^n/a^n  = 1

    Tampoco es una prueba, y no lo es porque no existe ninguna demostración de a^m / a^n = a^{m-n}, que sea aplicable al caso de n=m, a menos que asumas de antemano la premisa a^0 = 1, pero claro, si lo haces después no puedes usar la conclusión para demostrar la premisa.

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  130. Uhm…

    0^{0} no es evaluable, de ahí que haya que definirle un valor (y que por ejemplo, tomando límites sobre sucesiones de x e y en las que ambas tienden a cero sobre la expresión x^{y} puedan dar cualquier valor que se quiera).

    Sin embargo, una vez fijado a\neq 0, ya puedes tomar las sucesiones m y n que quieras, que mientras éstas tengan el mismo límite, la expresión a^{m-n} va a ser siempre igual a 1 y ésto, sin haber definido nada.

    Por tanto, queda demostrado (informalmente) que para a\neq 0 es a^{0}=1.

    Digo… (que tampoco es que esté totalmente seguro).

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  131. No existe una demostración de que a^0 = 1, y esto es un hecho que se puede demostrar (quiero decir, se puede demostrar, la ausencia de demostración).

    Además es muy fácil.

    Por ejemplo, defino la siguiente función f para a \ne 0

    f(a, b) = a^b, si b \ne 0
    f(a, 0) = 1234

    Si existiera una demostración de a^0 = 1 que no se apoyase ni explícita ni implícitamente en el valor de a^0, entonces la misma demostración sería válida para probar que f(a, 0) es 1 sin apoyarse en el valor conocido de f(a, 0), y se llegaría a una contradicción.

    ¿Esto que demuestra? Pues que si queremos un valor para a^0, debemos definirlo.

    Por supuesto, no todas las definiciones serán igualmente útiles, y en este caso, hay montones de argumentos que apoyan adoptar el convenio a^0=1. El tuyo entre ellos.

    Por cierto, de la misma forma se puede demostrar que es imposible encontrar una prueba de 0^0 = 1 (ni igual a 1, ni a ninguna otra cosa, incluida la indeterminación). Lo único que podemos hacer es una de dos:

    – Asignar un valor para esta operación, ya sea de forma explícita, o implícita (como se hace en la teoría de conjuntos).

    – Dejarlo indefinido (que no es lo mismo que indeterminado).

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  132. Pues será muy fácil, pero yo no te he entendido.

    Tú defines una función que obviamente no es continua y que «rompe» en 0 la subfunción de la que intentas obtener su valor.

    ¿Pero qué valor vas a encontrar si estás definiendo el que te da la gana?

    No se, es como decir (al menos lo que yo he entendido) que voy a demostrar que \cos \pi \neq -1 y para ello digo que como la función

    f(x)=\cos x,si~x\neq k\pi
    f(x)=123,si~x=k\pi

    toma el valor 123 en x=k\pi pues queda demostrado.

    Lógicamente habrá que ver de qué tipo de funciones hablamos (y por tanto que dominio e imagen) pero para una función real de variable real como es a^{x},~con~a\neq 0, si en un punto x coinciden los límites por la izquierda y por la derecha y éstos son únicos, entonces dicho límite es el valor de esa función, porque si tú definieras otro valor para esa función en «ese» x, entonces, dichos límites no existen (y sólo entonces hay que acudir a la definición).

    Pero resulta que para cualquier x finito, el límite por la izquierda y derecha de la función (real de variable real) a^{x},~con~a\neq 0 (sin «apaños») es un valor real finito, vaya, el valor de la función en ese punto; incluído x=0.

    Digo… (que al final me vas a hacer dudar)

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  133. Por cierto, los límites de tu función (izq y der) son por supuesto 1 (sin «fijarnos» como tú dices en el valor definido), lo que pasa que al haber definido tú el valor en x=0, el límite no «se alcanza» porque no se cumple la condición para cualquier entorno de x=0 ¡porque está tu valor definido!.

    Es decir, que si queremos saber cual es el límite (y/o si existe) de una función ¡deberemos conocer la función!, y lo que tú haces es «ocultar tu valor definido» para «engañarnos».

    Vaya, que tu razonamiento no es válido porque tan pronto hablas de una función como de otra.

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  134. @josejuan a^0 = 1 es un convenio, con seguirdad 100%

    El hecho de que mi definición no sea continua es, de nuevo, un argumento (de tantos) para no usar mi convenio y sí el de a^0=1. Las funciones no continuas, por muy feas que nos resulten, existen y son tan válidas como las otras. En ninguna demostración se admiten saltos lógicos por razones intuitivas o estéticas. Lo mismo sucede con el argumento (es el mismo en realidad) de los límites por la izquierda y por la derecha (en el que cometes algún error, pero no viene al caso).

    Voy ahora a por el «contraejemplo» de \cos \pi, lo he dejado para el final porque es donde está el quid de la cuestión.

    Al aceptar esta definición:

    f(x)=\cos x,si~x\neq k\pi
    f(x)=123,si~x=k\pi

    Demostrar que el coseno de \pi es -1, no supone demostrar que f(\pi) es -1, y entonces no hay contradicción. La existencia de esta función, no implica nada, todo sigue en orden. Esto es debido a que la demostración, sea cual sea, estará basada en propiedades del coseno que no tienen por qué ser aplicables a f(x), ya que el coseno sí está definido para \pi.

    El caso de a^0 es diferente, porque a menos que definas la exponenciación de modo que el valor de a^0 esté implícito en ella (como en la exponenciación conjuntista, o la exponenciación como producto que incluya el producto vacío), las propiedades de la exponenciación serán totalmente independientes del valor de a^0. A partir de ahí, cualquier demostración que construyas también será aplicable a f(a,b), y aparecerá la contradicción.

    Es algo parecido a lo que sucede con el quinto postulado de Euclides, sólo que en el caso de a^0, la independencia está mucho más clara, ya que la exponenciación tradicional entendida como multiplicar a, b veces, no define el caso de b=0.

    Voy a poner un ejemplo, a ver consigo dejarlo más claro.

    Supongamos que yo defino la exponenciación para a \ne 0, dando estas dos propiedades (suplico algo de mano izquierda con la nomenclatura, no domino latex):

    a^b = a \cdot a \cdots a, si b \ne 0
    a^{b-c} = a^b / a^c

    Ahora el resultado a^0 = 1 se puede probar, aunque no esté definido explícitamente. Pero esto no implicaría probar que f(a, b) es 1, porque en la demostración no podría usar la propiedad de la exponenciación a^{b-c} = a^b / a^c para el caso de b=c, ya que f(a, 0) no está definido como a^0. No hay contradicción en este caso.

    El problema surge cuando defino la exponenciación como:

    a^b = a \cdot a \cdots a, si b>0

    Sin especificar que sucede en b=0. En este caso el valor de a^0, es independiente de la definición y, por tanto, no se puede demostrar.

    Ojo con el párrafo anterior, porque si se acepta que el valor de a^0 es independiente de la definición inmediatamente anterior, entonces es irrefutable, y no existe tal prueba.

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  135. Pues no es lo que dicen aquí (W).

    Y aunque en Wolfram (aquí) utilizan la palabra «is defined to be 1», se entiende que no se refieren a «definición» sino a «tomar valor», porque dan el motivo del límite (el que yo argüía).

    No se, las razones que dan tanto en Wikipedia (usando 1=\frac{a^{1}}{a^{1}}=a^{1-1}=a^{0}) como en Wolfram (usando \lim_{x\rightarrow 0}a^{x}=1) me parecen demostraciones, no definiciones…

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  136. La demostración de la Wikipedia, no lo es, ya lo he comentado. a^m / a^n = a^{m-n} no es aplicable en m=n, a menos que definas antes a^0 = 1.

    Todo depende de cómo definas la exponenciación. Por ejemplo, con una definición recursiva como esta:

    a^1 = a

    a^n = a \cdot a^{n-1}

    El valor de a^0 queda automáticamente definido como 1 (definido, no probado), y también los exponentes negativos.

    Y si nos decantamos por la opción más simple, y definimos a^n como el producto de n factores, todos ellos iguales a a, entonces necesitaremos definiciones adicionales para los casos con n<2.

    Además, da lo mismo que hablemos de exponenciación, o de cualquier otra función. Las funciones no se prueban, se definen. Puedes probar otras cuestiones, por ejemplo, si dos funciones definidas de diferente forma, son equivalentes, o las propiedades que una determinada función posee.

    Por ejemplo, no se puede demostrar que 2+2=4

    O defines la suma de forma que incluya ese caso particular, o dejas la operación suma indefinida en ese punto.

    Por otro lado, no creo que "is defined to be" admita interpretaciones.

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  137. Ops, creo que mi respuesta ha sido identificada como spam…

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  138. 2+2=4 por definición.
    en cuanto 0 a la 0,no está definido, punto. Es matemática, hay entes que no están definidos. Una cosa es los usos y aplicaciones que hagan de la matemática otras ciencias, y otra cosa totalmente distinta es decir que es matemática.
    Si una teoría matemática, no define a⁰ y tampoco es posible deducirla como teorema, está incompleta.
    Usemos una teoría u otra, la que elejimos debe ser coherente.
    la definición que escribis, Sive, corresponde a exponente natural. Aunque también sea una propiedad de las potencias de cualquier exponente, no sirve como definición por ejemplo, para exponente irracional.

    Saludos

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  139. @infinitoalae nunca pretendí dar una definición de la exponenciación para exponentes no enteros, solo pretendía ilustrar mi postura. Que básicamente es: «no se puede demostrar el valor de una función, fuera del dominio en el que está definida».

    Tenía mucho interés en aclarar eso, porque en el hilo se han referido varias veces a una supuesta prueba (la publicada en el topo lógico), y quería que quedase claro que en realidad no demuestra nada fuera del contexto de la teoría de conjuntos, y por qué es así.

    Una vez aclarado que el valor de una función en un punto es solamente una cuestión de convenio (cualquier función, cualquier punto), la cuestión del valor de 0^0 se puede discutir desde la perspectiva correcta, que no es otra que la perspectiva de la conveniencia.

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  140. Estoy de acuerdo con el hecho de que no se puede definir una función fuera de su dominio. ahora, no surgen contradicciones si se define 0⁰ ???

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  141. acabo de leer lo del topo logico. No me gusta, me trae mala entraña, como dicen. Me hace dudar si, pero no me convence. Presiento que la función «^» de la cual habla es un tanto caprichosa. No me gusta, está usa combinaciones, de forma desdibujada. No lo considero una demostración.

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  142. @infinitoalae Bueno, la definición conjuntista de la exponenciación es igual que caprichosa que la definición de la función suma normal y corriente. Se define así porque es más útil para sus fines. No se puede objetar nada, porque este criterio (el de la utilidad, la conveniencia) es el que se sigue en todas las definiciones, el error surge cuando se pretende trasladar la demostración a un contexto donde la exponenciación se define de otra forma.

    Cambiar, por definición, el valor de una función cualquiera en un punto cualquiera, no puede dar lugar a contradicciones nunca, lo que sí puede causar es que las propiedades de la función cambien (y supongo que a eso te referías), y dejen de ser aplicables. Entonces lo que hay que ver es de qué modo afecta definir 0^0 = 1 a las propiedades de la exponenciación.

    Por ejemplo, ¿sigue siendo válido con esta definición que a^c \cdot b^c = (ab)^c? La respuesta es que sí.

    ¿Sigue siendo válido el teorema siguiente?

    (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k

    En este caso la respuesta es que de un modo mejor, porque es válido incluso cuando x o y son 0 (lo cual no se cumple si 0^0 se deja sin definir).

    En realidad, las pocas diferencias que se encuentran al definir 0^0=1, son todas favorables a la definición, salvo el caso de los límites, pero encuentro más que discutible que esta excepción justifique nada, porque ni siquiera hablamos de números en ese caso.

    De hecho, antes de los límites, el convenio 0^0=1 no era discutido por nadie.

    Dicho esto, hay que ser justos y matizar que el argumento conjuntista, sin ser una prueba, sí es un poderoso argumento para apoyar esta definición. Para mí, uno de los mejores, teniendo en cuenta los logros de la teoría.

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  143. Estás seguro que antes de los límites no se discutía???
    A mi no me preocupa lo de los límites, es más parece un argumento muy flojo, ya que 1^a =1 para todo a real, y esto no hace que 1^(infinito) deje de ser indeterminado.

    El tema radica en la no contradicción de las demás definiciones. Es decir, supongamos que cuando definimos axiomáticamente el cuerpo de los reales, cambiamos la existencia del inverso, ampliando la a todo R, es decir, ahora el 0 tiene inverso. Luego su «inverso» es infinito, y trabajamos con la recta real ampliada, o el conjunto real ampliado. Pero no es R, es otra cosa, porque todo cobra otro significado.

    Tal vez mi ejemplo sea un tanto bizarro, pero la idea es, definir 0 a la 0 como 1, no cambia las cosas.
    Por otro lado 0^a, no es una función exponencia, ya que la base ha de ser positiva y distinta de 1.
    No hablo de funciones, sólo de propiedades, que es aún más básico si se quiere.

    Lo que decis de la suma es cierto, pero esa es la estructura R con la suma y producto habitual, otra cosa, es justamente otra cosa.

    Pensemos en distancias, definamos cualquier otra distancia que no sea la Euclidea, bueno entonces será otra cosa, pero no la misma, está en otro contexto.

    Lo digo porque me parece una aberración eso del topo Logico, esos docentes que comentan, uh, y yo lo enseñaba mal, ahora lo voy a cambiar, NOOO, me parece una aberración.

    Entonces salgamos a decir a nuestros alumnos sobre la distancia 0 1 por ejemplo.

    Yo creo que son cosas distintas, en estructuras distintas.

    Además justamente algo de otro contexto no puede ser traido a este, sin ningún tipo de reparo.

    Comparto contigo la idea de que es ingenioso y se cumple para potenciación de conjuntos, pero de ahí a ser aplicable a R, no.

    No sé, una cosa es por convenio y otra es por definición, si 3+1=5, entonces no es en R, es en otra cosa.

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  144. La mejor intuición de por qué 0!=1 es la siguiente:

    x! indica el número de maneras en que se puede ordenar un conjunto de x elementos. ¿De cuántas maneras se puede ordenar el conjunto vacío, que tiene 0 elementos? De una sola, ¡dejándolo como está!

    Saludos a todos

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  145. Sive, ahora no la tengo delante y confieso (avergonzado y apresurado) que me da un poco de pereza mirarla, pero tengo en la memoria que la entrada del Topo Lógico se circunscribe a la teoría de conjuntos. Lo digo por tu comentario «Sive | 6 de October de 2010 | 07:56». Además, creo recordar que, cuando en los comentarios se le echan al cuello (como es natural), el autor vuelve a señalar implícitamente que se está circunscribiendo a la teoría de conjuntos. Igual me equivoco, estoy escribiendo de memoria.

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  146. Interesantes implicaciones filosóficas…

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  147. Pues no es por revolver, pero yo sigo sin entender, porqué si defino la función de R en R

    f(x)=2^{x}

    resulta que podemos evaluarla en cualquier x finito ¡excepto en x=0! y tenemos que definir explícitamente que

    f(0)=1

    Está claro que algo no he entendido y ruego que alguien me lo explique.

    Gracias.

    (No me vengáis con que definimos cada elemento del dominio en la imagen y etc… al grano, o la identidad x\ln 2=\ln y es válida per se o sólo lo es por definición, porque la definición de ln está clara, y yo no veo problema en evaluar \ln 1=0, que ya veo que me vais a liar…)

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  148. infinitoalae Estoy bastante seguro de que antes de los límites estaba muy generalizado. Creo que fue Euler el primero en definir 0^0=1. Es decir, muy poco después de que Newton comenzara a usar exponentes negativos y no enteros. Desde entonces hasta Cauchy, juraría que nadie (destacable) lo cuestionó.

    @Antonio_GS pues yo confieso, más avergonzado todavía, que no leí ni los comentarios, ni toda la demostración del topo lógico. Sólo comprobé que era la misma que antes había presentado NuezMoscada (18 de Enero de 2007 a las 17:03), en este blog.

    De todos modos (el lenguaje escrito tiene estas cosas), tal vez no he sabido expresar lo mucho que me gusta el argumento conjuntista. Sólo puntualizaba…

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  149. @josejuan si defines la función:

    f(x)=2^{x}

    No tienes que matizar nada más, porque la exponenciación ya está perfectamente definida en el exponente cero.

    Pero es que estamos hablando, precisamente, de la definición de la exponenciación.

    Entonces puedes definir una función como quieras, pero optarás por la opción más útil. En ese punto, nadie discute que cualquier definición que no incluya 2^0=1 es un disparate, porque no sirve de mucho. Si hicieramos eso, las propiedades de la exponencición estarían plagadas de excepciones para el caso del exponente cero. Por ejemplo, ya no diríamos que a^b/a^c = a^(b-c), sino que tendríamos que añadir «para todo b diferente de c».

    Obviamente habría más consecuencias, me imagino que sería como una bola de nieve rodando, cada vez más grande. Por ejemplo, como apuntas, habría consecuencias en la definición y propiedades de su función inversa. Vamos, que las razones por las que 2^0=1 son abrumadoras. Es de locos plantearse otra posibilidad.

    Pero es un error conceptual, decir que está demostrado que 2^0=1. Es así, por definición (una definición extremadamente conveniente, sí).

    A los que no somos matemáticos (yo soy ingeniero) es algo que nos cuesta entender. Nuestro razonamiento es: «¡¡Cómo que 2+2=4 por definición!!, si tengo dos manzanas y me dan otras dos tengo cuatro, definan la suma los matemáticos como la definan».

    Pero es que esa no es la idea. Digamos que no es el orden correcto de hacer las cosas. Primero las matemáticas se encargan de definir operaciones (como la suma), demostrar sus propiedades, etc… y después otros usan las herramientas matemáticas que mejor les vengan para describir fenómenos físicos reales. Por ejemplo, alguien estudia el problema de añadir manzanas a las que ya tenemos, y concluye que se describe perfectamente con la operación matemática de la suma.

    Por supuesto, sobre todo a este nivel tan elemental, el matemático no vive en una burbuja en otra dimensión separado de la realidad, y las cosas se definen de un modo que nos resulta muy conveniente para describir el mundo… que casualmente (y esto me intriga enormemente) al final resulta ser el más hermoso, desde el punto de vista matemático.

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  150. Pues ya lo siento (porque quizás implica que no lo entiendo) pero lo que dices Sive (con todo el respeto, no se me malinterprete) me parece pura berborrea.

    En primer lugar, digamos lo que digamos deberá ser válido para ingenieros y matemáticos, que yo soy las dos cosas y no veo incompatibilidades (estoy seguro que muchos ingenieros tienen las ideas mucho más claras que yo… y son ingenieros).

    Que una función es tal por definición, es de perogruyo, y que puedo establecer las correspondencias arbitrarias que me de la gana también (ej. definir f(x)=2^x excepto para x=0 que f(0)=-3.14, etc…).

    Si el problema fuera éste, entonces estamos hablando por hablar y punto. Fulano define la exponencial de la forma A y Zutano de la forma B, ¿quién tiene «razón»?, ¡la pregunta no tiene sentido!, tómese la definición que sea y listo.

    Vaya, que si nos ponemos «definitorios», acúdase a la definición y hemos acabado. Que es, me parece a mí, en lo que tú te encierras.

    Pero es que es al revés, puesto que «la exponenciación existe desde mucho antes que nadie la definiera» (sí, entre comillas, que ya veo venir…), resulta que las definiciones FORMALES que se establecen (para la exponenciación, que es el tema), se establecen POR TAL O CUAL MOTIVO y esos motivos son los que se discuten, de otro modo, esta entrada de ^DiAmOnD^ no habría sido de las más discutidas (se va a la definición y punto).

    En tal caso, si estamos discutiendo porqué a^0=1, ¡no podemos ir a la definición! (porque entonces ya no hay discusión que valga) ya que estamos (al menos es lo que yo creía) discutiendo los motivos. Por ejemplo, si en los reales defino la exponencial por su desarrollo en serie, puedo evaluar dicho desarrollo en x=0 ¡sí, evaluar!, pero claro, tú dirás que es por definición… ¡pero eso es obvio!, puesto que entonces 2^2=4 ¡por definición! (sí, igual de «definitorio» que en el caso 2^0).

    Dicho de otra forma, informalmente, todos sabemos qué pinta y como se las gasta la función real de variable real f(x)=e^x, uses la definición que uses, uses la forma de evaluarla que uses, todas deben ser equivalentes, por tanto, si tú defines de una nueva forma la exponencial, ésta deberá generar exactamente las mismas correspondencias entre el dominio y la imagen, entonces… ¿e^0=1 por definición o realmente resulta que e^0=1 y ajusto mi definición?.

    Bueno, no aburramos más al personal, …

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  151. Voy a centrarme en un punto en el que sí estamos de acuerdo.

    Efectivamente, hay motivos por los cuales las cosas se definen de una forma, y no de otra (discripamos en la naturaleza de esos motivos, pero no importa). Lo que sostengo, es que esos motivos, por poderosos que sean, no son demostraciones, sino argumentos para apoyar el convenio de definir las cosas de ese modo concreto.

    Voy a ponerlo de una forma esquemática para que se vea donde está el error.

    No es posible demostrar que 2^0 = 1 con el siguiente proceso mental:

    1. Defino la exponenciacion (de un modo simple, intuitivo, que no incluye casos especiales).
    2. Obtengo las propiedades de la operación que he definido.
    3. Uso estas propiedades para obtener el valor en el caso especial en el que el exponente es cero.

    El error está al pensar que podemos ir del paso 2 al 3. No puedes aplicar unas propiedades en un punto en el que no habías definido la operación, porque no has podido determinar que esas propiedades se cumplen justo ahí (¡¡es imposible!! ¡¡no conocias ese valor!!).

    Por supuesto, es conveniente que las propiedades obtenidas se cumplan ahí también, así que definimos el valor en el exponente cero de forma que sigan siendo ciertas. Pero esto no es una prueba.

    De la misma forma, no se puede probar que 0^0 sea nada. Será lo que acordemos que sea, aunque sí, hay que argumentarlo.

    Y en esas estamos.

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  152. Pero claro Sive, cuando dices (así sin más) que a^0=1 por definición, suena a lo mismo que 0!=1 por definición y ahí es donde me he sorprendido y hemos estado mareando la perdiz.

    Por tanto, lo anterior lo puedes esgrimir en el caso 0^0 (y otros), ¡pero no en el caso a^0! (que es en el que he mostrado mi sorpresa). Las razones ya han sido dadas.

    En cuanto a la «definición» en Wolfram de que a^0=1, lee esto, aclaran que, mientras x^1 y x^0 para x!=0 son casos especiales (no especifican porqué son especiales), que 0^0=1 sí es una definición por convenio y que no debe tomarse como verdadera.

    De hecho, usa la definición de exponencial como desarrollo en serie (en la que nadie dice explícitamente que e^0=1) y evalúala en 0 (y supongo que estarás de acuerdo en que definir la exponencial como desarrollo en serie es correcto).

    Por lo demás, totalmente de acuerdo con tu razonamiento, un convenio es un convenio por mucho que (por ejemplo) su límite «al uso», de, un valor concreto. Por ejemplo, en la función

    f(x)=\frac{x}{\sin x}

    «a secas», el valor f(0) no está definido (aunque es habitual construir una función auxiliar que extiende esta función haciendo g(x)=f(x) excepto en g(0)=1, etc…). Y como tú bien dices, si es g(0)=1 es por definición, no porque hayamos construido un límite, etc…

    Pero como digo, no es el caso e^0

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  153. Espero que no me echéis la bronca por simplificar demasiado, que ya veo que controláis mucho de matemáticas.

    El problema de por qué cualquier cosa elevado a 0 es 1 es algo que me chocó muchísimo cuando me lo explicaron en la EGB, así que le busqué la solución por mi cuenta, y a pesar de que no es una solución elegante sí es intuitiva.

    Partimos de la propiedad del elemento neutro del producto, que es 1.
    2^2 = 1*2*2
    2^1 = 1*2
    2^0 = 1
    Básicamente, desde que lo «deduje» de pequeñito, para mí una potencia es un 1 multiplicado por X veces la base de la potencia. Si no hay nada por lo que multiplicar, es simplemente 1.

    Con este razonamiento se cumple que 0^0 = 1.

    En fin, ya me daréis vuestra opinión sobre esta simplificación terrible :D.

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  154. Bueno, creo que hay dos conceptos distintos aquí. uno referido a funciones y otro a exponenciación.
    Una cosa es la función exponencial y otra cosa es la definición de potencia en R.

    Insisto, 0!=1 y es por definición, así como a⁰ =1 (con a un real distinto de 0) lo es por definición.
    Si vamos a la estructura axiomática de R, no hay dudas, y se excluye explicitamente el caso 0⁰.

    yo no conozco ningún libro matemático confiable donde se defina 0⁰.

    Sive:
    cuando decis:
    1. Defino la exponenciacion (de un modo simple, intuitivo, que no incluye casos especiales).
    2. Obtengo las propiedades de la operación que he definido.
    3. Uso estas propiedades para obtener el valor en el caso especial en el que el exponente es cero.

    No estoy de acuerdo, en el paso 1, ya se aclaran esos aspectos.

    La definición que yo utilizo es la siguiente:

    El simbolo a^x con a perteneciente a R, x perteneciente a N (a distinto de cero o x distinto de cero) significa:
    1) 0^x = 0 (si x es natural y distinto de 0)
    2) a^0=1 (si x es real y distinto de 0)
    3)a^(x+1)=a^x.a (para todo x real, para todo a natural) (a distinto de cero ó x distinto de cero)
    Se excluye explicitamente el caso 0⁰

    Perdón pero no se usar el editor.

    Luego las definiciones en las cuales vamos ampliando a enteros, racionales, y reales, siguen un patrón similar, es decir excluyendo el caso 0⁰.

    Incluso en las propiedades, se aclara que se excluye el caso 0⁰.

    Joséjuan.
    Lo de trabajar con la función auxiliar en x=0 para f(x)=senx/x, todo bien, si queres que sea continua, pero es una función, y la definimos como queremos.
    f: R->R / f(x) = senx/x si x distinto de 0 y f(x)= pi/(raiz de 2) si x = 0.
    Y es otra cosa distinta.

    Por otro lado, una cosa es la matemática, pura y abstracta, con funciones caprichosas, que no se portan nada bien, pero hermozas por si mismas y otra cosa es la aplicación de la matemática a otras ciencias donde es preferible trabajar con funciones «útiles» para resolver «algo».

    Me encantó tu comentario sive
    Sive | 10 de October de 2010 | 14:05

    La matemática es hermoza, describiendo aspectos reales o no. es una belleza en sí misma.
    Yo tampoco soy matemática, y no soy ingeniera, soy docente, y así como uno debe mostrar las aplicaciones de la matemática, también debe hacer énfasis en que es una ciencia totalmente abstracta, que cobra sentido por si misma. Y aún así describe casi perfectamente todo el mundo que nos rodea. Es como en la definición de límite, dado el error admisible entre el ajuste matemático y la realidad, se halla el modelo que mejor la describe al menor costo de complejidad.

    Para mi, lo del 0!=1 es obvio, es por definición y no hay vuelta.

    Pero el 0⁰, no está definido y no hay vuelta,

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  155. lo mismo josejuan, pido mis disculpas.

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  156. Yo diría que la definición estándar de la exponenciación es
    a^1=a
    \forall n\in\mathbb{N},\ a^{n+1}=a^n\cdot a
    De donde obtenemos a^1=a=a^0\cdot a y a=0\vee a^0=1.

    En este caso 0^0 no estaría definido, y no se puede demostrar que 0^0=1.
    Lo que si que podemos hacer es completar la definición con 0^0=1, lo cual es consistente con las otras reglas y nos es útil en muchas situaciones. En combinatoria creo que todo el mundo lo define. También lo definen Maple, Coq y python por ejemplo. Otros como Wolfram|Alpha lo dejan sin definir.

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  157. @Naka Cristo

    Puedes ir un poco más lejos con esa definición. Los exponentes negativos quedan definidos ahí también, sin hacer ningún cambio. Y el caso de 0^0=1 puede incluirse también, sin aumentar la definición, simplemente cambiando a^1=a por a^0=1.

    Y pueden quedar definidos también los exponentes racionales, añadiéndo la siguiente propiedad a la definición:

    (a^n)^m = a^{n m}

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  158. No me cuentes historias; es una indeterminación, la misma palabra lo dice; no siempre el valor es el mismo.¿ Por qué escoges X^X? Porque es la más simple, pero también hay otras funciones lógicas y no mucho más complicadas que den esa indeterminación y al resolverlo no tiene por qué dar 1. Es una indeterminación y ya está.

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  159. @Sive | 10 de October de 2010 | 13:03 (y perdona este tremendo desfase mío en las contestaciones, pero no doy abasto con el curro), a mí también me gusta el argumento y también me gustan y estoy de acuerdo (como no podía ser de otra manera, claro) con tus puntualizaciones 🙂

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  160. ^DiAmOnD^:

    Has utilizado límites y has derivado ( L´Hopital), no hablas de cualquier función, hablas de tomar una función con una sóla variable y segun tu criterio la función más lógica es X^X, con lo que me pregunto si el resto de las funciones de una sóla variable son lógicas. A priori lo que estas dejando claro es tu falta de expresión clara y concisa y por ende la base de tu demostración es totalmente absurda, quiero decir, me parece estupendo que elijas esa función y nos digas que su límite es uno, pero por qué no escoges otras funciones de una sola variable que den la indeterminación 0^0? Además de esta crítica tengo también que explayarme en el hecho de que 0^0 es una indeterminación, esto quiere decir que no admite un valor único y por tanto te considero un valiente a la hora de escribir este articulo.
    Has matado a las matematicas y a la lógica.

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  161. Yo, me niego a volver a explicar el propósito del artículo, ya que lo he hecho varias veces, tanto en el mismo artículo como en los comentarios. Creo que si intentaras leer el artículo completo y mis comentarios de después entenderías por qué escribí lo que escribí.

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  162. ^DiAmOnD^:

    Admito que los comentarios no los he leido, acabo de echarles un vistazo ahora mismo. Aun así, me reitero en lo dicho. Hablas de un 0^0 numérico y no un exponencial de una función, segun he leido, y tomas como función representativa, la más simple para posteriormente tomar limites, por lo que ese 0^0 «numerico» lo has representado con una función ( ya estás operando con la función exponencial para llegar a tus conclusiones ). Así es que que es una contradicción en sí misma; no sé si me he explicado bien, pero si tan seguro estás de tu hipotesis defiendela coherentemente, aunque quizá por ser mala entendedora sea yo quien necesite unas palabras de más.

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  163. Por cierto, si puedes explicarme qué diferencia hay entre un 0^0 numerico y otro 0^0 indeterminado te lo agraeceré.

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  164. No me ha gustado la demostración.

    Se basa en la idea de que un número coincide con el límite de una función arbitrariamente elegida que tiende a ese número. Aunque demostraras que absolutamente todas las funciones que tienden a 0^0 den 1, no habrás demostrado nada puesto que no puedes definir un número mediante un límite.

    ¿ Cuanto vale 1/0 ? No está definido. La división por cero es una operación prohibida en matemáticas.

    Sin embargo,¿ cuanto vale lim(x->o) 1/x ? Vale infinito. ¿Luego según tu demostración 1/0 es infinito?

    Un saludo

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  165. @Jaime: decir que un límite es «infinito» es otra forma de decir que la función no está acotada en un intervalo arbitrariamente pequeño que contenga al valor al que tiende la función.

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  166. No sé si ahora me lo va a dejar publicar, pero me estaba diciendo que era un comentario duplicado. Lo mismo con este texto pasa por el detector…

    @Jaime: decir que un límite es «infinito» es otra forma de decir que la función no está acotada en un intervalo arbitrariamente pequeño que contenga al valor al que tiende la función.

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  167. y como seria lim de x cuando tiende a 0 de x^x^x?

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  168. Si 0! es igual a 1 entonces 0 elevado a cero es igual a 1. El porque 0 elevado a cero es indeterminado se debe a que se consideraba en el pasado como una funcion delta en la que es posible dos soluciones 0 o 1. Se demostro hace años por una matematica que se aproxima mas a 1 que a 0 sin embargo aqui os dejo mi demostracion en la que demuestro que 0 elevado a 0 es igual a 1 siempre que :
    – (A) –>sea real,determinado,i diferente a 0
    – 0!=1
    aqui teneis el pedeefe–> https://docs.google.com/fileview?id=0BxQnkYE-NykbNjYyNWVmNzQtMmZkZi00OTRkLWFmZjItM2NmNTEzN2EyM2Q3&hl=es

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  169. El metodo que aplico es mas del estilo newtoniano mientras que la demostracion que haces es mas estilo leibniz de todas formas es sabido de hace años que 0 elevado a 0 es 1 siempre que consideremos 0 como un numero determinado ya que en nuestro universo fisico que yo sepa no existen ni valores negativos ni se puede llegar a 0 ni infinito, ya que el signo negativo solo es un punto de vista contrario a lo que se establece como positivo y el cero como el punto intermedio entre el punto de vista positivo y negativo o simplemente nada. Lo que quiero decir es que en definitiva el valor infinito y el valor cero son de por si valores indeterminados (los podemos deducir pero nunca podemos llegar hasta ellos)–>(siempre podemos dividir la materia en partes mas pequeñas de energia pero nunca llegar hasta cero)–>(no existe massa negativa, o volumen negativo). Por lo que mi respuesta final a lo que se debate es que desde el punto de vista matematico actual 0 elevado a cero es 1 y desde el punto de vista fisico es simplemente indeterminado.

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  170. La expresión 0 elevado a 0 ciertamente no es ningún número. Es una operación que no se puede realizar.

    Si le queremos darle sentido como el límite de una función que tiende a cero elevada a otra que también tiende a cero, entonces sería una indeterminación. Es decir, sólo con esos datos, no se puede decir cuál es el límite de una función elevada a la otra.
    Por ejemplo en el caso que se expone es claro que el límite es 1.
    Pero si f(x)=e^(-1/(x^2)) y g(x)=x^2, entonces, el límite de f(x)^g(x) sería 1/e.
    Si f(x) es como la anterior y g(x)=x el límite por la derecha sería 0 y por la izquierda sería infinito.
    Se puede conseguir que el límite valga cualquier número positivo (incluso infinito), por eso se dice que la expresión 0 elevado a 0 es indeterminada, porque sólo el dato de que las dos funciones convergen a 0 no sirve para deducir el límite de una función elevada a la otra.

    (Perdón por no escribir las fórmulas de un modo más claro, pero creo que se entienden)

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  171. Pues para la primera demostración yo hubiera hecho: (0^0)=(0^b)/(0^b), siendo b un número cualquiera (venga , hasta podéis coger el 0 si queréis). Como tenemos EXACTAMENTE lo mismo tanto en denominador como numerador nos queda un 1 como una catedral. Poco ortodoxo, quizá, pero muy efectivo y corto.

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  172. Sinceramente:
    – Nunca me ha convencido que 0x0=0, pero ojo con dividir por cero. Si no se puede dividir por cero o sobra la ecuación o sobra el criterio para despejar dividiendo en una ecuación. Lo que no vale es la chapuza del ojo con dividir por cero.
    – Nunca me ha convencido que 0^0 sea una indeterminación. Siguiendo por ahí resulta que la gente se plantea dudas sobre cosas indeterminadas. Por esa via vamos a darle validez a plantear dudas sobre dudas. Si se plantean dudas de algo será porque existe.
    – Nunca me ha convencido que f(x)^g(x) pueda tender a un valor cuando ambas tienden a cero; pero eso sí, en algún caso ese límite no se puede calcular: otra chapuza.
    – Nunca me ha convencido el concepto de límite. Cuando algo se hace muy pequeño desaparece. Pues no, te cuentan, como si tal, que es pequeño pero que da igual, que como si siguiera siendo grande.
    – Y sincerandome de todo, no me creo que los números reales formen un continuo de la leche. A ver quién ha visto qué hay después de un número real de infinitas cifras.

    Y ya para terminar, lo único que me anima a seguir con estas historias es la increible casualidad de que se parezca al mundo real en que vivimos.

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  173. si 0 elevado a 0 es 1, está clao que la nada genera el Universo y las leyes de la
    termodinámica son subjetivas y que en internet hay mucho patata creacionista
    haciéndose pasar por catedrático en matemáticas sin tener ni idea del tema

    Lo que no tengo claro es si el cero o el conjunto vacio, existe o no existe porque afirmar
    que el cero existe y no existe es lo mismo. Aunque parece que el cero si tiene
    propiedades.

    Agradezco este tema, saludos.

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  174. @holatao:
    Ni existe ni no existe. Simplemente, Zermelo y Fraenkel listaron unos axiomas que eres libre de creerte o no, y entre ellos está el que establece la existencia del conjunto vacío. No es algo que podamos «tocar» (ey, mira qué conjunto vacío más interesante tengo hoy) sino eso, un objeto formal que si quieres, existe y si no, pues no.

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  175. Samuel | 10 de December de 2010 | 08:45
    @Samuel

    «Ni existe ni no existe. »
    es lo mismo NI EXISTE que NO EXISTE

    @Samuel
    «Simplemente, Zermelo y Fraenkel listaron unos axiomas que eres libre de creerte o no,»

    Las verdades evidentes que el ser humano afirma como verdaderas son tanto o mas subjetivas que el mismo ser humano, (ver el principio antropico).

    No mas dogmas ni adoctrinamientos por favor, seamos serios, lo que apreciamos como evidente, por ejemplo atraccion gravitatoria o espacio vacio, no tenemos ni remota idea que es.

    @Samuel
    «y entre ellos está el que establece la existencia del conjunto vacío. »

    que un axioma establezca algo no quiere decir que sea verdadero.
    Es lo mismo decir que el cero existe que el cero no existe, la nada, el conjunto vacio , el cero tiene una propiedad unica que le viene de no tener propiedades, no tener propiedades es tener 1 propiedad.

    @Samuel

    «No es algo que podamos “tocar” (ey, mira qué conjunto vacío más interesante tengo hoy) sino eso, un objeto formal que si quieres, existe y si no, pues no.»

    Esto que austed le parece un tema sin importancia a cientificos de renombre entre ellos S:Hawkimg los trae de cabeza.
    La unica explicacion logica-matematica del origen del Universo es la nada.

    Saludos.

    PD
    curioso que respondiese tan rapido, se lo agradezco.

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  176. @holatao
    Yo lo que defiendo es la no-axiomatización de la Física, puesto que debe estudiar la naturaleza y debe ceñirse a lo que ésta presente; y, para las matemáticas, un modelo formal que somos libres de aceptar o no como modelo formal para las Matemáticas; no como unos «principios» que podamos aplicar a la Física.
    De ahí que diga que los axiomas somos libres de creernoslos o no; los de Zermelo-Fraenkel son los que todos los que conozco siguen, junto con el Axioma de Elección. No obstante, podemos considerar que es falso y tomar los ZF + ¬AE y, matemáticamente, lo que deduzcamos, sería válido.

    Sin ir más lejos, voy a ilustrar lo que digo con el Teorema de Banach-Tarski, un resultado de Topología que, llanamente, dice que podemos «cortar» una esfera de radio 1 en 8 «trozos» tales que si juntamos 5 de ellos tenemos otra esfera de radio 1; y si juntamos los otros 3 trozos, tenemos otra esfera de radio 1 (compacta, sin huequecitos).
    Esto, por muy correcto que sea, es cuanto menos chocante e irrealizable en Física, al menos a nivel macroscópico. Además, resulta que este Teorema es EQUIVALENTE al AE, por lo que entonces nos tocaría elegir si creernos que el producto cartesiano infinito de conjuntos no vacíos es no vacío (AE) o resistirnos, y negando el AE, decir que no podemos «duplicar» por arte de Banach una esfera.

    P.D.: simplemente, leí rápido, no hay nada que agradecer 😉

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  177. A la realidad (al Universo) le da igual que «La unica explicacion logica-matematica del origen del Universo sea la nada.», la realidad es la que es (sea lo que carajo sea).

    ¡Vaya! si que ha derivado el tema del post ¿no? :O

    PD: para caracterizar matemáticamente al Universo, deberías conocer su modelo (en matemáticas, sus axiomas), lo cual parece razonable pensar que es imposible. Por tanto, parece aventurado decir que es la única explicación lógica-matemática. ¿no?.

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  178. @josejuan:
    +1
    Has «metido» una de las frases que suelo soltar cuando me preguntan «demasiado» sobre el Universo y su relación con las matemáticas. La realidad es lo que es.

    Sí, esto tiene tanto que ver con 0! como indeterminados estamos (y no, no estoy hablando de Heisenberg ;))

    P.D.: Eso es lo que intentan con la Teoría de Cuerdas… es muy ambicioso, pero… quién sabe, lo mismo nos sorprenden los Físicos.

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  179. Para mí 0 elevado a 0 no existe. El límite nos da una idea de como se comporta la función x^x, para x muy pequeños. Así de simple, aunque JAMÁS la función llegará a tomar ese valor. Por lo tanto 0^0 es indeterminado, pero el límite si existe y es 1, que son 2 cosas totalmente distintas.

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  180. Para mi, para ti, para el, para nosotros , para vosotros, para ellos. Ni que fuesemos de distintas especies, hombre por dios

    Vale lo mismo el intervalo entre 0 y 1 que el intervalo entre 1 y 2 si tenemos en cuenta que el punto donde esta el cero vale cero y el punto donde esta el 1 vale 0.0…01 ?

    El punto ocupado por el cero vale cero en cambio el punto donde esta el 1 es mayor que cero, luego el intervalo entre 0 y 1 vale 0.9 periodo y el intervalo entre 1 y 2 vale 1, porque 2-1=1 luego 0^0 = 0.0…01^0.0…01 = 1

    La cuestión es: el punto de una recta imaginaria que ocupa el cero, tiene o no valor mayor que cero ?
    Digo recta imaginaria porque en la realidad no hay rectas perfectas.

    Es lo mismo decir que el cero existe que decir que el cero no existe.
    Un conjunto vacio puede deformar sus propiedades siendo percibido como un conjunto no vacio y seguira siendo un conjunto vacio para un observador objetivo.

    Parece una tontería pero este tema pone en contacto matematicas con filosofia y percepcion subjetiva del humano y es fundamental para la teoría unificadora del todo que entre otras cosas ha de explicar que es la gravedad.

    Feliz año nuevo, saludos.

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  181. 4 años y sin demostrarlo.

    Para Gregor:

    » Pero si f(x)=e^(-1/(x^2)) y g(x)=x^2, entonces, el límite de f(x)^g(x) sería 1/e…»

    f(x) no se puede evaluar en 0, luego ese ejemplo no sirve, pues f(x) y g(x) deben existir si x=0.

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  182. 0^0 es indeterminado (muy breve):

    sea f(x)=0^x, entonces se tiene que f(1)=0 , f(-1)= (1/0)^1 = indeterminado.

    por otro lim lateral derecho f(x) = 0 , en cambio lim lateral izquierdo f(x) es indeterminado.
    Como ambos son diferentes (uno de ellos no numérico) entonces el limite no existe.

    Luego 0^0 no arroja ningún valor real. Si procede de una función, entonces se debe evaluar de otra forma, por ejemplo L’Hôpital.

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  183. Otra forma sería utilizando una función más compleja como g(x,y)=x^y más los conceptos de límite.

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  184. Bueno, excelente, pero que sucede entoncs con el caso de la tabla de codigos ascii! es dcir, el codigo ascii de la letra «L» es 01001100…. tenemos los primeros 2 (de derecha a izquierda) con el valor de 0, entoncs, segun la conversion de binario a decimal, tenemos que el primer numero (en este caso, nuestro primer 0) elevado a la 0, y el segundo 0 elevado a 1, el tercer dato que es 1 elevado al cuadrado y el siguiente 1 elevado al cubo, entoncs, bueno pues ahi es donde tengo entoncs la duda, xq segun la tabla de codigos ascii me dice que el primer 0 elevado a la 0 es = a 0 y el segundo 0 elevado a 1 = a 0…….. entoncs, 0 elevado a la 0 segun limites es 1, pero segun el «lenguaje maquina» es 0………… porque????

    Soy profesor de computacion, y este es mi primer año dando clases, y bueno, e investigado sin nada concreto, me gustaria tener una base matematica segura para poder partir de ahi para explicar en clase!
    Muchas gracias!

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  185. Pablo, el código ASCII que comentas es un número en base 2, o sea que vale 0*2^0+0*2^1+1*2^2+1*2^3….. es decir 0+0+2+4… y no hay ninguna indeterminación.

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  186. Comprendo, y si muchas gracias, el problema es que como dice hasta arriba «en nuestra epoca de colegio nos dicen….» y pues, lo que sabia era que 0x2=0 y luego 0^0…. y e ahi el detalle……. en serio muchas gracias.

    ahora bien, nose si alguien conozca el tema de normalizacion y desnormalizacion de bases de datos… se manejar las 3 formas de normalizar y unos cuantos ejemplos de desnormalizaciones, pero algun concepto o x asi decirlo «ley» para aplicar estas dos herramientas?…. existe??…….. muchas gracias!

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  187. Mirad 0^0 no está ni definido numéricamente. No tiene ningún sentido, lo quieras hacer como lo quieras hacer. El único sentido ocurre en una indeterminación. No puedes valorar 0^0 desde un límite de la función x^x… es que son cosas totalmente distintas (además de considerar que la función es contínua en ese punto al tomar el límite).

    Por otro lado me interesa eso que alguien ha dicho de definir 0!=1 por ser el neutro de la multiplicación. ¿Existe alguna definición de n! que implique 1! y 0! que sea general y no requiera de convencionalismos? Gracias.

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  188. necesito ke me dijan ke esss estooo¨:
    esta definido el 0 por ke????

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  189. Todo esto que estais poniendo, matematicos con 5 masters y solo 3 dedos de frente y ni siquiera se puede segurar que el cero sea un numero.

    En una recta, cualquer punto vale 0.0…1 e incluso el punto cero vale 0.0…1 luego en fisica no existe el cero entonces en fisica 0= 0.0…1
    En matematicas existe el cero ? Me trae sin cuidado ya que las matematicas son muchas, son juegos de numeros que dependiendo del observador daran unos u otros resultados. Los matematicos no se ponen de acuerdo si el cero es un numero o no pero vosotros, listos, si.

    Y repito, si vosotros sabeis mas que los programadores de la calculadora del google, que haceis aqui ? estais perdiendo dinero.

    Indefiniciones ? indefiniciones humanas mejor direis, que no nos enteramos de nada.
    Que no sepamos que es un agujero negro, que no sepamos que origina el big bang, que no sepamos que es un electron o la gravedad , no es razon para llamarlo indefiniciones, indeterminaciones, objetos puntuales sin volumen, interaccion sin particula portadora, ect. Listos.
    No sois matematicos, sois inventores de matematicas.

    0^0 = 1

    http://www.google.es/#hl=es&biw=889&bih=490&q=0%5E0&aq=f&aqi=g10&aql=&oq=&fp=fb6b37bae2ca0e6b

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  190. Vaya, la semana pasada en un congreso saqué el tema de que 0^0 vale 1 y de hecho hasta tenía pensado escribir un post sobre ello en mi blog (de hecho lo tenía a medias). Desde luego que el planteamiento en el post no me gusta ya que tendríamos que ver qué significa función representativa.

    Mi forma de ver que 0 elevado a 0 es 1 es a partir de la definición directa pura (pura por teoría de conjuntos).

    Resumiéndolo, para calcular a^b, se coge un conjunto X de cardinal b, un conjunto Y de cardinal a y se mira cuantas aplicaciones existen de X a Y. Si a=b=0, el conjunto que cogemos es el vacío, y resulta que existe una aplicación del vacío en el vacío, la aplicación vacía (puede sonar raro, pero es así). De aquí se deduciría que su valor es 1.

    Para no dejar la explicación tan resumida, voy a terminar la entrada en mi blog y la enlazo aquí.

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  191. Vaya, me acabo de dar cuenta de que esta entrada tenía ya 5 años!!! Es lo que me pasa por llegar aquí a través del twitter de gaussianos. En fin, no me he leído los más de 200 comentarios pero estoy seguro de que eltopologico se habrá pasado por aquí ya y explicado antes lo mismo que había dicho yo. En fin, pongo de todas formas el link:

    http://www.zurditorium.com/cero-elevado-a-cero-no-es-una-indeterminacion

    y enlazo la de eltopologico por si no se pasó por aquí:

    http://eltopologico.blogspot.com/2008/04/cero-elevado-la-cero.html

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  192. Carlos, el caso es que no sé si El Topo Lógico se pasó por aquí, pero lo que es seguro es que tanto yo como otros comentaristas de este post sí lo hicieron por sus artículos, que de hecho aparecen en los comentarios de éste.

    Por cierto, gracias por enlazar mi post en tu artículo. Y también por volver a sacar este tema. Yo intenté por todos los medios explicar lo que tú has comentado en tu post, pero después de más de 200 comentarios no tengo claro que lo haya conseguido :S.

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  193. Supongamos que 0^0 existe = k, entonces sea k=0^0, luego lnk = ln(0^0) –> lnk = 0*ln0 (propiedad de logaritmos), pero ln0 no existe. Luego no estaría definido 0^0, pues la función exponencial y logaritmica están muy bien relacionadas entre sí.
    No creo que haya más que decir, pues si 0^0 existe, entonces ln0 también.

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  194. ln0 ??? Eso que es ? Usted no hace matemáticas, las imagina e inventa.

    El logaritmo natural puede definirse para cualquier número real positivo x>0

    Ingeniero no, astro-nauta ?

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  195. Ln(0) claro que no existe. En todo caso la matemática (sin s) en inventada por si no lo sabe, al igual que el alfabeto, etc.

    Entonces si ln(0) se define para reales no negativos, entonces 0^0 no está defina tampoco (se deduce fácilmente). Ud. mismo lo dice.
    PUNTO FINAL AL ASUNTO.

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  196. Sr. Holatao, no confunda truncamiento, aproximación, precisión y exactitud.

    Por ejemplo el vacío del espacio no existe como tal, ya que su densidad volumétrica no es 0 átomos/parsec^3 absoluto (he ahí su confusión). O bien la temperatura promedio del espacio de 4K, inexistiendo el 0 absoluto en la escala Kelvin, el tiempo 0 segundos del Big Bagng, Y así los ejemplos físicos son innumerables.

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  197. @Ingeniero:

    Supongamos que (-2)^2 existe = k, entonces sea k=(-2)^2, luego ln(k) = ln((-2)^2) –> ln(k) = 2*ln(-2) (propiedad de logaritmos), pero ln(-2) no existe. Luego no estaría definido (-2)^2, pues la función exponencial y logaritmica están muy bien relacionadas entre sí.
    No creo que haya más que decir, pues si (-2)^2 existe, entonces ln(-2) también.

    Ops…

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  198. Aunque sea bajar el nivel del blog un poco, creo que gaussianos debería dedicar una o varias entradas a esos matices que no se suelen enseñar en otras carreras, como las ingenierías, y que causan que muchos aficionados a las matemáticas se queden a cuadros con ‘demostraciones’ como la anterior, incapaces de ver dónde está el error.

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  199. Sive, pues no descarto hacerlo, no te creas. Todo se andará. Gracias por la sugerencia :).

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  200. Sive, interasante contraejemplo.

    Se asemeja a lo siguiente:

           (-2)^{2/2} = (-2)^{1} = -2

    o bien

           (-2)^{2/2} = sqr{(-2)^2} = sqr{4} = 2

    ¿qué me dices tú? ¿dónde está el error?

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  201. Ingeniero, los contraejemplos no son interesantes, o al menos este adjetivo se les queda corto.

    Un contraejemplo es algo devastador. No existe nada con un poder argumental comparable al de un contraejemplo válido. Nada.

    No te lo tomes como algo personal, yo también soy ingeniero, y puesto que lo soy, sé que el enfoque práctico que se le da a las matemáticas en estas carreras, tiene estos efectos colaterales.

    En cuanto a tu segunda demostración errónea (ya sé, esta vez, el error es intencionado), tengo que discrepar, no se parecen en nada (salvo en que ambas son erróneas). El error es de otra naturaleza.

    En el caso de la primera demostración, en el fondo es algo que ya he mencionado en los comentarios de esta misma entrada, cuando intenté explicar que el valor de 0^0 no se puede demostrar (ni tampoco su inexistencia), y que su valor se debe fijar atendiendo únicamente a criterios de conveniencia.

    Me refiero a este HECHO:

    No se pueden usar las propiedades de una función fuera del dominio donde está definida

    Cuando lo ves por escrito, parece de cajón, ¿verdad?, pero como es algo que no se enseña (o no se suele enseñar), pues nos aprendemos propiedades a lo loco y las usamos como si fueran aplicables siempre. En particular, no se puede escribir:

    \log{a^b} = b \log{a}

    Si a es negativo o cero.

    Y lo mismo se puede decir del logaritmo del producto, o del cociente. Por ejemplo:

    log 6 = \log{((-2)(-3))} = \log{(-2)} + \log{(-3)} = Ups!

    En cuanto a tu ejemplo de demostración errónea, permíteme que la exprese como quisiste expresarla, para evitar confusiones:

    (-2)^{2/2} = \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2

    En este caso el error es mucho más conocido. Creo recordar que el peligro de olvidar la raíz negativa, y de las ‘soluciones falsas’ que se introducen en las ecuaciones al elevar al cuadrado, es algo que se enseña en los institutos (no sé si la LOGSE se habrá cargado eso, que no me extrañaría).

    Si lo hubieras escrito así:

    (-2)^{2/2} = {(\sqrt{-2})}^2 = Ups!!

    Matizando que trabajamos en R , entonces el error sí sería de la misma naturaleza que el de tu primera demostración.

    Volviendo al tema de los logaritmos, y por si no te vale la explicación general de «no se pueden usar las propiedades de una función fuera su dominio», te recomiendo que busques la demostración de:

    \log a^b = b \log a

    Y en esa demostración, cambies a por -2, y b por 2 (o las variables que usen). Y tú mismo verás como la demostración se cae a pedazos. Y lo mismo sucederá si haces a=0 y b=0.

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  202. Ok, estamos de acuerdo, mientras nos atengamos a los dominios, no debería haber problemas.

    Pero sigo con una duda, y es la siguiente (salió mal en LATEX)

    si la expresión

       (-2)^{2/2} = (-2)^1 = -2

    o bien sin simplificar el exponente y utilizando la notación radical se tiene que

      (-2)^{2/2} = \sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2

    Me refiero al número en sí (raíz positiva), no a las soluciones de la ecuación cuadrática

      x^2=2
    que claramente son dos.

    Es decir, ¿cuál de las dos expresiones es la correcta?.
    que hay dos soluciones.

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  203. En cuanto a 0! creo que es 1 por conveniencia solamente. No se puede aplicar la función gamma, pues no está definida para negativos ni para el 0.

    Recuerdo del triángulo de Pascal que la primera columna es para n = 0 , la segunda para n = 1, la tercera para n= 3 (binomio) ,etc.
    y la cúspide de ella es el número 1 (n=0) y no 0. Parece que Pascal ya lo había intuido.

    Desconozco si alguien puede demostrar que 0!=1 y no otro valor, es decir que no sea un axioma.

    Vamos que cinco años y no leo ninguna conclusión. En todo caso si se ingresa 0^0 a una calculadora TI-89 arroja «undef» , en cambio la de google arroja 1. ¿Quién tiene la razón? o ninguno en realidad?

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  204. Ingeniero, es que cuando haces esto:

    (-2)^{2/2} = \sqrt{(-2)^2}

    Y te olvidas de la raíz negativa, estás cometiendo el mismo error que cuando haces:

    x = -2
    x^2 = (-2)^2
    x = \sqrt{(-2)^2}
    x = \sqrt{4}
    x = 2

    Primero, te olvidas de la raíz negativa, y segundo, te olvidas de que al elevar al cuadrado se introducen soluciones adicionales.

    Esto se evita simplemente aplicando la siguiente propiedad:

    x^{a/b} = \sqrt[b]{x^a}

    Únicamente si a/b es irreducible, que además es como se define la potenciación con exponentes fraccionarios.

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  205. Sí, pero mira este caso:

       2^{1/2} = \sqrt{2}
    es decir el signo + de la raíz está implícito ya. No hay dos signos, sino el resultado de

       2^{1/2} + 2^{1/2}

    serían tres:

        2\sqrt{2}  ;  -2\sqrt{2} ; 0

    y a mi juicio es sólo el primero de ellos.

    Tengo claro que el exponente debe ser irreductible, pero ¿por qué razón? será para evitar lo que planteo, ¿que una misma expresión aritmética represente dos números diferentes?

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  206. Si, cuando se habla, por ejemplo de la raiz de 2, nos referimos a la positiva. Y cuando lo escribimos sin más así \sqrt{2} o así 2^{1/2} , es la raiz positiva.

    Pero este no es el caso, en el caso de la ‘demostración’, se hizo un desarrollo en el que aparecía una raiz cuadrada que no estaba inicialmente, y se decidió (porque sí) que la válida tenía que ser la positiva.

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  207. Para mi es una función modulo encubierta, nada mas, osea son funciones que al combinarse funcionan como una función modulo(compuesta), y si parten a la función es evidente que van a tener diferentes resultados pero en si ,si la analizan como función compuesta ambos resultados están bien, y los pseudos-contrajemplos son solo justificaciones del porque es valido matemáticamente que obtengamos ambos resultados, y todavía no soy ingeniero, me parece que es cuestión de ingenio mas que sapiencia.

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  208. hola tengo un problema , cuando quiero convertir un numero binario a base diez resulta el problema en muchas ocasiones que 0 a la 0, entonces si le doy el valor de uno, me sobra un numero cuando hago la suma de los numeros resultantes de la conversion base dos a base diez, y se dejo como cero, si me da, ¿ que hago?
    cula es el valor real?
    help!!!

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  209. Kellys para pasar de una base a otra, no aparece la indeterminación que encabeza el artículo.

    En particular, los dígitos de los números binarios se suelen denominar «bits» y se enumeran como «bit 0» (el menos significativo, es decir, el primero de la derecha) hasta el «bit n-ésimo» (el más significativo, es decir, el primero de la izquierda). Ojo, el bit n-ésimo tiene por índice n-1.

    Así, un número en binario con n bits sería:

    b_{n-1}b_{1}b_{0}

    Cada bit de un número binario, está asociada con su correspondiente potencia de 2: el bit 0 con la potencia 2^{0}, el bit 1 con la potencia 2^{1}, …, el bit k-ésimo con la potencia 2^{k-1}, …

    Si multiplicas cada potencia con su bit y lo sumas, habrás pasado el número a base 10.

    Por el ejemplo, el número 1011_{2} pasado a base 10 sería:

    2^{3} · 1 + 2^{2} · 0 + 2^{1} · 1 + 2^{0} · 1 = 8 · 1 + 4 · 0 + 2 · 1 + 1 · 1 = 8 + 2 + 1 = 11_{10}

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  210. ¿Cuánto vale cero elevado a cero?

    Esta es la cuestión principal, os vais por las ramas, lo cual , conociendoos, me parece normal.
    Repito, ¿Cuánto vale cero elevado a cero? esta es la cuestión principal, lo que nos hace plantearnos si el cero existe o si el cero es realmente un número….

    Cuando los dos terminos de la potenciación tienden a cero observamos que el resultado tiende a uno, luego y suponiendo que el cero exista o dicho de otra forma, suponiendo que el cero sea un número, lo cual no dudo ni lo dejo de dudar, tenemos :

    0.000…1^0.000…1 = tiende a uno 1

    luego
    0^0 = 1
    No es cuestión de ser un sabio ni un matemático con 5 doctorados y solo 3 dedos de frente, es cuestión de lógica.
    Lo siento, pero si no entendeis esto, nunca entendereis como funciona el Universo.
    Y es que no sabemos pensar ya que las expresiones, «la nada existe» es equivalente a la frase, «la nada no existe»

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  211. Dejo un enlace que habla al respecto, en el cual hacen la misma pregunta.

    http://www.askamathematician.com/?p=4524

    Salu2. 😀

    PD: 240 comentarios con el mio, Wow que entrada más discutida… eso es bueno siempre que sea constructivo.
    BTW todos los números menores a un millon tienen a lo sumo 240 divisores. 🙂

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  212. Genial el enlace ZetaSelberg, además la entrada lo dice todo, sin dejar nada a los comentarios de la gente.

    Lo importante es entender la conclusión, cuando dice que 0^0=1 pero…

    «The choice is not “right”, it is merely nice.»

    Porque esto es lo que parece que no entiende casi nadie (incluido el ser supremo holatao).

    El comienzo de la intervención del personaje matemático que se inventa el autor es clave también:

    «Zero raised to the zero power is one. Why? Because mathematicians said so. No really, it’s true.»

    (Más o menos dice: «Cero elevado a cero es uno ¿Por qué? Porque los matemáticos lo dicen. No, en serio, es así»)

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  213. Sí, muy buen enlace, ZetaSelberg, un buen resumen de la problemática y las diferentes maneras de afrontarlo.

    Quería comentar que la ecuación 0^0 = 1 me hace pensar en «la creación a partir de la nada». Es decir, tenemos a un lado de la ecuación solamente ceros (nada) y al otro lado el uno, que es algo. ¿No os resulta sugerente?

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  214. El significado de 0^0 es una convención. Como todas las convenciones, es una cuestión de conveniencia. Por lo que tengo entendido, actualmente en matemática discreta la convención es 0^0 = 1, y nadie se molesta en aclaralo, se da por supuesto.

    En el libro ‘Concrete Mathematics’ de R. Graham, D. Knuth y O. Patashnik, se dedica un párrafo al asunto, al que se llega fácilmente por la primera entrada del índice (¿o habría que decir la 0-ésima entrada del índice …):

    «Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the functions x^0 and 0^x have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define

    x^0 = 1, for all x,

    if the binomial theorem is to be valid when x = 0, y = 0, and/or x = – y. The theorem is too important to be arbitrarily restricted!. By contrast, the function 0^x is quite important. (See [220] for further discussion.)»

    Es decir, más o menos:
    Algunos libros de texto d3ejan la cantidad 0^0 indefinida, porque las funciones x^0 y 0`x tienen diferentes valores límites cuando x decrece hasta 0. Pero esto es un error. Debemos definir

    x^0 = 1, para todo x,

    si el teorema del binomio ha de ser válido cuando x = 0, y = 0, y/o x = -y. !El teorema es demasiado importante para ser arbitrariamente restringido!. Por contraste, la función 0^x es poco importante (Ver [220] para discusión adicional).

    (previamente habla del teorma del binomio con la notación (x + y)^n)

    La cita es:

    [220] Donald E. Knuth, «Two notes on notation,» American mathematical Monthly 99 (1992), 403-422.

    En cuanto a 0! = 1, es una convención extraordinariamente conveniente, diriamos que casi obligada. Extendoindo la relación de recurrencia todo lo que da de si,

    n! = n(n – 1)!

    2! = 2*1! ===> 1! = 2!/2 = 1

    1! = 1*0! ===> 0! = 1!/1 = 1

    0! = 0*(-1)! ===> No podemos calcular así (-1)!, pues deberíamos dividir por 0:

    (-1)! = 0!/0

    pero de hecho, el factorial es la restricción a los enteros no negativos de la función Gamma de Euler, que tiene singualridades aisladas en cero y los enteros negativo, mientras que para los positivos es Gamma(n) = (n – 1)!.

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  215. Este sitio es único, ojalá todos los que escribieran en internet lo hicieran con sinceridad, y no se hicieran los tontos ante comentarios. Aplaudo de pié a los que hicieron el artículo porque leyeron y siguieron la linea de comentarios. Son un ejemplo. Saludos!

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  216. Me ha encantado este artículo y la actividad que ha generado.

    Seguramente esta convención toca la fibra axiomática de la teoría de números. El origen del número 0 data del siglo III a.C, y es un número básicamente antiintuitivo, porque no expresa positividad, ni negatividad, aunque puede ser definido como el resultado de la suma de su opuesto.

    Filosoficamente hablando parece que encontramos una frontera intelectual al pensar que cero elevado a cero pueda dar origen a 1, como si la nada al emerger de su reposo no pudiera dar origen a la multiplicidad.

    Desde un punto de vista matemático (que no demostrativo…pues no tengo el conocimiento suficiente para ello), el problema pienso que radica en tratar de aplicar propiedades de cierto campo de la matemática al emparejarlo con operadores que pueden desvirtuar su carácter primordial. Realizar operaciones como límites (y entiendo lo que quiere decir «gaussiano») al sembrar este dilema, pueden llevar a agregar suposiciones que aún no siendo falsas, tampoco tienen por qué ser verdaderas.

    En todo caso, parece lícito pensar por lógica formal que 0 elevado a 0 pueda ser 1. Algebraicamente no parece ninguna tontería. A ver si alguien puede darnos una explicación de este tipo con más detalle.

    Lo bueno además sería que algún matemático aportara una demostración geométrica de este dilema (esto sería ya la repanocha…jeje)

    Un abrazo cordial a todos los participantes.

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  217. parecen olvidar que 0^0=0^1*0^-1=0*(1/0). si aceptamos que 1/0 no es posible entonces tampoco lo es 0^0

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  218. Nisargadito,

    Si has ojeado los doscientos cuarenta y tantos comentarios (hay que ver cuánta polémica), en alguno se explica bien que no se puede demostrar, es un convenio que 0^0 vale 1, pero un convenio conveniente. Se puede argumentar lo conveniente que es, con el número de aplicaciones del conjunto vacío en sí mismo, o con lo de que a^b = 1 x a x a x .. x a, el producto de «a» está «b» veces.

    Y como argumento geométrico que buscas, vale el enunciado del hilo. Prueba a dibujar la gráfica de la función x^x por ejemplo en http://fooplot.com/. Te puede servir como «argumento geométrico» de que para x=0 el valor conveniente es 1.

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  219. Manuel, nunca se ha planteado ninguna ambigüedad en las expresiones como 0^2=0 o como 0^3=0.

    Sin embargo, según tú, 0^2=0^3*0^-1=0*(1/0) haría también inevaluable a 0^2.

    De esta otra expresión 0^2=0^2*0^0=0^(2+0)=0^2 concluímos la utilidad del convenio para que se mantengan las igualdades.

    El polémico (en esta entrada del blog, al menos) convenio representa muchas ventajas y pocos inconvenientes.

    Aceptemos que el 0, como número, lleva implícito un singular comportamiento al ser el único número que representa «nada» cuyo inverso es «especial».

    Aun teniendo que tratarlos con especiales mimos creo que el cero y el infinito son los aportes más valiosos al desarrollo de las matemáticas.

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  220. Hola a todos desde Puerto Rico!

    He notado que algunos de los comentaristas están expresando que el número cero elevado a cualquier cosa (excepto él mismo) da como resultado cero. Esta regla solamente se aplica exponentes positivos. Si elevamos cero a un exponente negativo el resultado sería el recíproco de este, el cual no está definido o simplemente no existe. Si lo hacemos con un exponente imaginario (0^i) no obtendríamos algo conocido, porque no existe un convenio entre matemáticos ni una demostración, ni siquiera una definición aceptada sobre el tema.

    En el caso del cero como exponente, sí. Si elevamos cualquier número real, imaginario o complejo a cero (se debate aquí lo del cero como base) obtendríamos uno. El uno como base elevado a cualquier cosa sea número, infinitud o indeterminación comoquiera resulta en uno.

    Algunos confunden algo indefinido (1/0) con algo indeterminado (0/0). Lo que nombramos como infinito o indefinido es aquello que no tiene fin. Es, por tanto, lo que no puede existir, a diferencia de cero que es la ausencia de algo en un contexto dado. Lo indeterminado puede ser cualquier cosa que escogiéramos para la solución de algo sin caer en una contradicción. Por ejemplo, la ecuación x+1=x+2 es indefinida, ya que cualquier valor que le pongamos a la variable x crearía una desigualdad, mientras que la ecuación x=x sería indeterminada, porque cualquier valor que le asignemos haría de esta una igualdad. En geometría una recta representa la indeterminación y dos rectas paralelas la indefinición.

    En cuanto a si 0^0 es igual a uno, vamos a ver lo siguiente. Si hacemos una gráfica de y=1 obtendríamos una recta horizontal que intercepta el eje de y en el uno, pero si hacemos una gráfica de y=0^0 tendríamos el eje de y. Lo único que tienen ambas en común es el punto (0,1).

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  221. No participare en las discusiones de arriba por que seria meter las manos al fuego y apenas voy adentrandome a este mundo maravilloso de las matematicas; acudo a este blog por que buscando por internet fue lo unico que pude encontrar sobre la funcion x^x (equis a la equis), estoy en mi primer curso de calculo diferencial y mi maestro no supo como decirme como derivar x^x y navegando por internet no lo logro encontrar algo que me sirva. Alguna ayuda, recomendacion sobre como derivar x^x, de antemano gracias.

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  222. Derivación logaritmica. En general, si tienes

    y(x) = f(x)^g(x)

    podemos tomar logaritmos, con objeto de transformar la potencia en un producto:

    Ln(y(x)) = Ln(f(x)^g(x)) = g(x)*Ln(f(x))

    Ahora podemos derivar esta expresión:

    (Ln(y(x)))’ = (1/y(x))y'(x) = g'(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f'(x) ==>

    y'(x) = y(x)(g'(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f'(x))

    y'(x) = f(x)^g(x)(g'(x)*Ln(f(x)) + g(x)*(1/f(x))*f'(x))

    En la práctica es más fácil. Por ejemplo, para y(x) = x^x,

    Ln(y(x)) = Ln(x^x) = x*Ln(x)

    Derivando,

    y'(x)/y(x) = Ln(x) + x*1/x = 1 + ln(x)

    y'(x) = y(x)(1 + ln(x)) = x^x(1 + ln(x))

    Si te quedan dudas, pregunta de nuevo.

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  223. d/dx(x^x) = x^x (log(x)+1)

    Lo puedes hacer tomando logaritmos y luego derivando..

    f(x) = x^x

    log(f(x)) = log (x^x) = x log(x)

    y ahora derivas.. (a la izquierda regla de la cadena, a la derecha regla del producto)

    (1/f(x)) * f`(x) = log(x) + x*(1/x)

    f`(x)/f(x) = log(x) + 1

    y despejas f`(x)

    f`(x) = f(x) * (log(x) + 1) = x^x * (log(x) + 1)

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^x

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  224. Bueno considere la función f(x)=x^x y observé que Lim f(x) x->0 no esta definido. Tengo entendido que para que este limite exista debe ser el mismo al aproximarse por la izquierda y por la derecha. Pero Lim f(x) = 1 cuando x->1 solo cuando se aproxima por la derecha, cuando uno se aproxima por la izquierda el limite no esta definido; deberias observar como se comporta la función f(x) para valores negativos. Ahora puedo proponer lo siguiente: (a^0)=1 ya que (a^0)=(a^b)/(a^b)=1=(a^(b-b))=(a^0). Supongamos que (0^0) esta definido -> (0^0)=(0^b)/(0^b)=(0/0) el cual no esta definido, si (0/0)=1 -> 0=1*0 multiplicamos ambos lados por un numero d cualquiera no necesariamente 1. (0*d)=(1*0*d) aplicando propiedad distributiva 0=(1*d)*0 -> (0/0)=d -> d=1 lo cual no es cierto ya que hemos supuesto que d no necesariamente es 1. Es decir que 1 es igual a cualquier numero real. Por tanto (0^0) No esta determinado.

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  225. si 0^0=1 las indeterminaciones 0^0 serian 1

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  226. Por cierto bien podría usarse la funcion x^0, esta funcion tiene una descontinuidad removible en 0, pero el limite por la izquierda y por la derecha es el mismo.

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  227. Aunque si lo que quieres es una demostración sin usar límites,puedes utilizar una serie de Taylor:

    e^0=1

    Transformas e^0 en la serie de Taylor correspondiente:

    \sum_{n=0}^{\infty} ({0^n \over n!}) = 1

    Ya que 0^n es 0 para todo n distinto de 0, todos los elementos de la suma infinita son triviales, salvo el primero. Por lo tanto, nos quedamos solamente con:

    {0^0 \over 0!} = 1

    Sabemos que 0! es 1, por lo tanto:

     {0^0 \over 1} = 1

    y finalmente

    0^0 = 1

    No he leído todos los comentarios anteriores; si esta demostración ya la ha publicado alguien más, no la he visto.

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  228. rderaiz yo la he comentado, aunque de pasada, y he explicado por qué no es una demostración válida. Pero dado que el valor de 0^0 es una mera cuestión de conveniencia, sí que sirve como fuerte argumento a favor de asignarle el valor 1.

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  229. Y ya que estamos:

    i^i=e^{-\pi/2}

    \log(-1)=i\pi

    (-1)^i=e^{-\pi}

    En mi opinión, no veo demasiado interesante tomar 0^0=1 más allá de una conveniencia, ya que, como se ha dicho en algunos comentarios, el sentido que se le quiera dar es subjetivo al no existir una única forma de darle sentido. Esto me recuerda cuando se quiere definir una aplicación en un conjunto cociente. Para que esté bien definida, no debe depender de los representantes. En este caso, sí depende de los representantes, esto es, la función elegida.

    Con lo que me quedo de la aplicación exponencial es que establece un homomorfismo de grupos entre (\mathbb{C},+) y (\mathbb{C}-\{0\},\cdot) ((\mathbb{R},+) y (\mathbb{R}^{+},\cdot)) en el caso real.

    Es interesante que la aplicación exponencial establezca una biyección entre \mathbb{R}\times(-\pi,\pi] con \mathbb{C}-\{0\}. (\mathbb{R} con \mathbb{R}-\{0\} en el caso real).
    Además la exponencial biyecta \mathbb{R}^{-}\times(-\pi,\pi] con el interior del disco unidad centrado en el origen menos el origen; y \mathbb{R}^{+}\times(-\pi,\pi] con el exterior de dicho disco.

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  230. En ese caso podías haber utilizado la función f(x)=x^0

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  231. Tengo una duda…

    Cuando se dice probar que 0! = 1 de la forma en que se prueba ahí, no se está haciendo un razonamiento circular? es que la definición del factorial de cero fue hecha antes de esa fórmula.

    Por otro lado, yo conozco una manera de decir que el número de permutaciones de un conjunto de cero números es una sin definir por consistencia: la permutación vacía, la que se logra sin hacer nada (vista en matemáticas discretas)

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  232. Ah ok, si no aparece la definición de 0! antes de la fórmula, entonces no hay razonamiento circular. Gracias, Diamond

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  233. para demostrar eso simplemente emplea el concepto de una funcion constante:
    f(x)=k.1=k.x(a la cero)
    entonces si x vale cero
    k.1=k.x(a la cero)
    se van las k y queda
    1= x(a la cero)

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  234. error la funcion mas representativa para calcular el limite de 0^0 es

    y^x y calcular el limite de varias variables, claramente si escojemos el camino y=x obtenemos tu resultado, si escogemos otro (x=0; y=0 ) llegamos a 0 o a 1, lo cual nos dice que la funcion no es continua y 0^0 no esta bien definido

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  235. No hay que confundir el culo con las témporas. En realidad el asunto es muy sencillo…

    Cuando construyes los números de forma axiomática en teoría de conjuntos se construyen primero los números naturales y se identifican con el ordinal \omega. A partir de ellos es senzillo construir los enteros \mathbb{Z}. Éstos forman un grupo con la suma (\mathbb{Z},+). Aquí el mundo es bonito y maravilloso y 0^0=1.

    Ahora bien. No hay que confundirlos porque no son lo mismo: \omega \neq \mathbb{N}\subset \mathbb{R}. Es una estructura algebraica con unas propiedades distintas. Aquí la exponencial es una función y tal y como pasa con los logaritmos y con muchas otras funciones puede presentar discontinuidades. No tiene mucho sentido hablar de un «valor numérico» símplemente porque son funciones no operaciones algebraicas entre números.

    ¿Que aparece el 0^0 en demostraciones formales a veces? Sí. Por ejemplo cuando en algunos sumatorios que recorren valores que empiezan en cero (por aquí han hablado de Taylor). No hay que olvidar que en los sumatorios trabajamos con índices que marcan órden y que están siempre estrictamente contenidos en los números naturales, donde no hay problema.

    ¿Hay ambigüedad? No. Símplemente son dos definiciones DIFERENTES para dos ámbitos DIFERENTES. Algunos autores prefieren evitar el cero incluso en la potencia de los ordinales para evitar dar lugar a estas controversias que realmente no son tales: es una definición formal que bien usada y conscientemente no da problemas. Ahora bien: no es nada suficientemente vital y dejar de considerar que 0\in \omega \implies 0^0=1\in \omega no acarrea tampoco ninguna informalidad.

    ¡Un saludo!

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  236. Parece que el tema ha traido mucha mas controversia de la que se suponia. Desde muy en el principio se explico que el hecho de que se haya definido por convenio que 0^0=1 no implica que haya forma de probarlo, porque como ya dije, es solo por convenio, y en efecto cero a la cero SI esta indeterminado, pero no implica que no se deba darle un valor de convenio porque de hecho, esa definicion aclara mucho en la matematica y le da sentido a muchos teoremas en el algebra y en el calculo. Solo eso. Saludos.

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  237. LogA=0
    En este caso A no es igual a 1, A es indeterminado

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  238. Las funciones log X y 1/x deben estar definidas en un entorno cerrado del punto cero, para poder aplicar L¡Hopital. Y logX no existe para valores negativos, ni en el punto 0, como le pasa a 1/X. Con lo cual falla todo lo expuesto

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  239. LLego muy tarde a esta controversia, pero quisiera dejar mi opinión.

    Lo que se está haciendo es intentar dar un valor a 0^0 sin decir qué significa el símbolo de potencia. Si nos pusiésemos de acuerdo quizá encontraríamos una solución.

    Si definimos la potencia de exponente natural como «el producto de la base por sí misma tantas veces como indica el exponente» (la primera definición que nos dieron a todos y que solo es válida cuando el exponente es al menos dos) es evidente que a^(m+n)=a^m · a^n, por lo que si queremos extender la definición a exponentes enteros, sería a^2=a^(2+0)=a^2 · a^0, de donde a^0 =1 (siempre que a sea distinto de 0).

    Si a=0 las cosas funcionan bien para exponentes positivos, pero cuando nos encontramos con el exponente 0, las cosas se complican.

    En el planteamiento que hace ^DiAmOnD^ la idea es intentar definir 0^0 por paso al límite de una potencia cuando tanto base como exponente tienen límite 0. El problema es que él lo hace suponiendo que base y exponente son iguales.

    ¿Qué pasa si la base es x y el exponente es k/ln(x)?. Se comprueba fácilmente que el límite es e^k, con lo que se podría obtener cualquier valor. Esto es lo que normalmente se entiende al decir que 0^0 es indeterminado (concepto relacionado únicamente con el cálculo de límites)

    Yo propongo la siguiente solución (aunque evidentemente según lo anterior no permite extender de forma continua la función potencial-exponencial):

    Dados dos conjuntos A y B de cardinales respectivos m y n, el número de aplicaciones de A en B es n^m.
    Adoptamos esta definición de potencia para base y exponentes naturales.
    Entonces 0^0 es el número de aplicaciones que hay entre dos conjuntos de cardinal 0.

    No es difícil, siguiendo la definición de aplicación como subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos verificando ciertas propiedades, comprobar que entre el vacío y él mismo existe una única aplicación (el conjunto vacío), luego 0^0=1.

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  240. En la misma linea, sabemos que el número de biyecciones entre dos conjuntos de n elementos es n!

    Si aceptamos esto como definición de factorial, 0! es el número de biyecciones entre conjuntos de 0 elementos, es decir entre el vacío y él mismo.
    El conjunto vacío verifica las propiedades de la biyección.
    Se concluye que 0!=1

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  241. Supongo que a estas alturas todo estara dicho y no habra nibguna duda. No obstante me gustaria hacer un algunas aportaciones.
    La primera es que sí, elpost era un poco ambiguo, parecia que pretendias encontrar el valor de 0^0 latex. Esya esta aclaro y lo que pretendias era salvar la discuntinuidad No EVIATBLE de la funxcion f(x)=x^x latex cuando x \rightarrow 0 latex.
    En segundo lugar, intendando responder precisamente a esa pregunta, la res puesta es sencilla: no exisvalorde .0^0 latex. Simplemente no esta definida. La explicacion la encontramos en en algebra, en la definicion de cuerpo (si hay dudas preguntad y lo avlaro en un comentarip)
    Y la ultima cosa que quiero decir es sobre la funciom gamma. Ella generaliza el factorial a los NUMEROS COMPLEJOS, de modo que la funcion gamma se define sobre \mathbb{C} latex. Y en cuantp a su inversa minca me lo habia planteado, pero no veo inxonveniente a que, definida sobre los reales positivos, tenga inversa. Complicada, pero inversa.
    Pd1: siento el desastre ortografico que estoy escribiendo con el movil y me va fatal. No puedo ver lo que eacribo y no me doy cuenta de muchos fallos.
    Pd2: Por favor, usen LaTeX para escribir formulas. Por aquello de que si no esta escrito en LaaTEX no son matematicas.

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  242. La singularidad de tu funcion es EVITABLE, el no se colo. En este aspecto me gustaria que Joaquin 11/122009 explicase como demuestra que el limite es diferente segun se acerca por la derecha o por la izquierda.

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  243. Pues básicamente porque no está definido en los números reales la potencia de un negativo elevado a un real…

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  244. Antes de ponerse a estudiar si cero elevado a cero tiene sentido, es conveniente plantearse qué carajos quiere decir algo elevado a algo.

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  245. Pero son cosas distintas. No es lo mismos afirmar que a \neq b que decir que \nexists \, b. En el primer caso b existe porque a existe. En el segundo a puede existir o no. Y él dice que a\neq b.
    Y luego, obviamente, sí, de forma general x^x\notin\mathbb{R}, \hspace{1mm} x<0. Pero para eso tenemos \mathbb{C}.

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  246. Creo que se podria demostrar de una forma mas rigurosa. Por ejemplo, a partir del binomio de newton:

    (x+y)^n=sum(n!/(n!(n-k)!)x^(n-k)y^k para k {0,1,…,n}

    Entonces si n=0. n!=0:

    (x+y)^0=x^0*y^0

    Si y=0

    x^0=x^0*0^0 -> 0^0=1

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  247. Alguien me podría hacerme el favor de explicarme ¿por qué 0/0 es una indeterminación sí 0*0=0? No comprendo muy bien esa parte y sí es posible aclararme la duda de (a/0=infinito), no sería más bien otra indeterminación… Espero por favor me puedan ayudar.

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  248. Johan, el término INDETERMINACIÓN se utiliza para hablar de LÍMITES de funciones: 0/0 no es ni siquiera una expresión que tenga sentido desde un punto de vista algebraico, es decir, 0/0 no se puede hacer, sin embargo cuando hablamos de LÍMITES de funciones 0/0 lo utilizamos para decir que tenemos dos funciones que tienden a 0 y por tanto el LÍMITE DEL COCIENTE es INDETERMINADO = podría ser cualquier cosa. Un ejemplo: \lim_{x -> 0} \frac{x}{x}

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  249. Según lo que he leído aquí, han llegado a la conclusión de que 0^0 no debería estar definido por el hecho de que si aplicamos el límite de f^g de manera que f y g tiendan a cero, podemos hallar resultados diferentes dependiendo de la escogencia de las funciones. Un ejemplo es el límite cuando x->0 de x^x, que bien se probó es igual a 1, y el otro es el límite cuando x->0 de x^(k/lnx), cuyo valor es igual a e^k (depende de k).

    Lo que yo quiero decir es que la finalidad de esta discusión es ver cuánto «debería» valer 0^0 cuando ese cero es absoluto. Ya sé que eso básicamente no se puede, pero tenemos que ver cuál es el valor que más se parece a él. Como cuando hablamos de ceros absolutos estamos hablando de ceros que en verdad son cero, entonces no estamos hablando de ceros distintos (la base es igual al exponente), por lo que me parece que lo más adecuado es considerar el caso cuando ambas funciones son iguales, es decir, considero lo más adecuado definir:

    0^0 = Lim [x->0] x^x = 1

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  250. Según lo que he leído en los comentarios, muchos creen que 0^0 no debería estar definido por el hecho de que si tomamos el límite de f^g cuando f y g tienden a cero, podemos encontrar distintos valores dependiendo de la escogencia de las funciones f y g. Por ejemplo, está el caso del límite cuando x tiende a cero de x^x, que bien se probó es igual a 1, y el caso del límite cuando x tiende a cero de x^(k/lnx), cuyo valor es igual a e^k (variable: depende de qué constante k hallamos escogido).

    A mi parecer, el propósito original de este foro es establecer una definición para 0^0 cuando esos ceros son ceros absolutos. Mi proposición es que como cuando hablamos de ceros absolutos nos estamos refiriendo a ceros que en verdad son cero, no a funciones que tienden a cero, entonces en 0^0 estamos hablando de base y exponente iguales, por lo que en mi opinión lo correcto sería definirlo como:

    0^0 = lim [x->0] x^x = 1.

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  251. Yo lo veo de una forma más sencilla:

    2 ^ 6 = 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
    2 ^ 3 = 1 x 2 x 2 x 2
    2 ^ 1 = 1 x 2
    2 ^ 0 = 1
    2 ^ – 1 = 1 / 2

    0 ^ 2 = 1 x 0 x 0
    0 ^ 1 = 1 x 0
    0 ^ 0 = 1

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  252. apoyo a rockyfive hay que remitirnos a la definición de potencia

    x^n=1*x^n=1*x*x*x…*x x multiplicada n veces

    el problema yace en que x^0 implica multiplicar cero veces x, y es dificil pensar que no tienes que multiplicar

    x^0=1*…nada… es decir no multiplicar? estariamos definidiendo la forma de ausentar un operador en este caso el producto y eso da miedo de solo pensarlo… la unica forma de quitar una operación que se me ocurre es efectuarla y aplicar la inversa en este caso multiplicar y dividir al mismo tiempo(consiguiendo operar un elemento neutro que igual es operar)

    algo asi

    x^0=1*(x/x) primero multiplicando al 1 por x y luego quitandoselo por medio de la divison… todo razonable hasta aqui…

    si supusieramos que multiplicamos y dividimos al mismo tiempo para tratar de poner y quitar dicho operador estariamos multiplicando por cero y luego dividiendo entre cero

    es decir que

    0^0=1*(0/0) esto tiene infinitas soluciones 😮

    por tanto 0^0 tendria infinitas soluciones jeje

    muy probablemente cometi montones de erratas y no me di a entender jeje pero bueno… divague

    saludos gaussianos

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  253. Para Johan Camilo,
    «¿por qué 0/0 es una indeterminación sí 0*0=0?»

    Razonamiento estrictamente aritmético (no funcional)

    Cuando calculamos el cociente entre dos números enteros a y b sabemos que el resultado debe obedecer dos reglas muy simples:

    1°) a/b = c 2°) c debe ser el único número que verifique la primera condición.

    Por ejemplo:10/2 = 5 porque 5.2 = 10 y 5 es el único número que verifica esta igualdad, no hay otro.

    Sin embargo, cuando se trata de dividir un número positivo o negativo por cero no es posible hallar un número que verifique las dos condiciones.
    Por ejemplo, si tenemos 3/0 y suponemos que existe cierto número desconocido «x» que verifica la primera condición debería ser que 0 . x = 3 pero esto es un absurdo porque:
    «todo número multiplicado por cero da cero» (¡ no 3 !)

    Sin importar cuán grande elijamos a «x», 0.x nunca va a dar 3 (va dar, como ya dijimos: cero, ver teoremitas iniciales: x.0= 0 para todo x). Es decir:

    No es posible dividir un número positivo o negativo por cero

    Por otra parte, si tratamos de dividir cero por cero nos encontramos con una sorprendente situación:

    Parecería que 0/0 = 0 puesto que 0 (divisor) . 0 (resultado) = 0 (dividendo)

    Y se estaría cumpliendo así, la primera condición. Sin embargo, cualquier observador notará que se podría afirmar: 0/0 = 1 puesto que 0 . 1 = 0

    Y del mismo modo, podría decirse que el «resultado» es -1; 2; 17; raíz cuadrada de 7, etc o cualquiera de los infinitos números reales (por no meternos con complejos …), es decir, el resultado no está determinado, por eso decimos que:

    0 / 0 es una INDETERMINACIÓN

    Nota:
    Afirmar que 0/0 =1 es como simplificar los factores «inversos»; lo que conduce a contradicciones del tipo: x . 0 = 0 , entonces 0.1= 0.2 «pasamos» el 0 dividiendo 0.1/0 = 2 y al «simplificar» tenemos 1=2 lo cual es «altamente» Absurdo!
    Jua Jua!! Espero que ayude

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    • Si 0^0=1 1 = (1^0)/(0^0) = (1/0)^0 -> indeterminación pues la división por 0 no está definida

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      • Una acotación:

        El extraer un exponente común a los dos elementos de un cociente es una propiedad «derivada» que generalmente se cumple. Se puede demostrar para denomiandores distintos de cero, haciendo uso de teoremas y axiomas, pero esta propiedad no es un axioma.

        (a^c) / (b^c) = (a/b)^c

        Lo que quiero decir es que no tiene que cumplirse a priori. Si fue demostrada para denominadores distintos de cero, entonces el hecho de que no se cumpla cuando el denominador es cero no dice nada. Es como el caso de la ley cancelativa: x*a = x*b ==> a = b. Esta propiedad no sirve para establecer que como 0 = 0*5 y 0 = 0*4, entonces 5=4, y ni siquiera significa que la ley sea incorrecta, ya que esta ley se estableció para x distinto de cero.

        En todo caso, queda 1 = (1^0)/(0^0), y luego no hay propiedades que permitan simplificar más.

        Distinto es si se demuestra que 0^0 contradice otro axioma.

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  254. Es simple: Axiomáticamente hablando todo numero elevado a 0 es igual a 1 excepto el mismo cero el cual de ser elevado a cero seria igual a cero.

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  255. SEGUN LA SERIE GEOMETRICA 0 A LA 0 ES IGUAl A 1

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  256. En lógica, lo que se intentó demostrar es un sofisma, es decir, tratar de hacer parecer verdadero algo que claramente es falso. Para conseguir este propósito, se trata de hacer parecer correcta una afirmación tautológica que no es tal, pues se aplica una supuesta propiedad de la función logarítmica que solamente es aplicable a una función «continua». Se sabe que la función en cuestión no es continua, por lo cual, no es posible aplicar la propiedad .

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    • Olvidé mencionar un detalle. La función logarítmica es continua en los reales positivos solamente, sin incluir los extremos. El extremo inferior de los reales positivos es el «cero», por lo cual la función logarítmica no es continua en «cero». Por lo tanto, no es posible aplicar el teorema de L’Hopital

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  257. Por favor, no digáis más que 0^0 es indeterminado. Eso no tiene ningún sentido, y me duelen los ojos cada vez que lo leo. En lugar de eso, si queréis defender esa postura, podéis decir que «no está definido».

    La función x^0 es una función como otra cualquiera, y por tanto una de dos: o en x=0 no está definida, o sí lo está y entonces debe tomar algún valor.

    Podemos defender entonces que este valor es cero, uno, cualquier otro valor, o también que debemos dejarlo sin definir. Pero no tiene sentido decir que es «indeterminado».

    Cuando decimos que un límite es indeterminado, estamos diciendo que no sabemos si dicho límite existe, o que, de existir, desconocemos su valor, y que tenemos que aplicar otras técnicas para averiguarlo. Esto no se puede aplicar a las funciones, ni siquiera a los multiformes.

    Llamar a las cosas por su nombre tiene sus ventajas. Por ejemplo, en nuestro caso, antes de afirmar que 0^0 no está definido, deberíamos preguntar a los matemáticos si lo han definido o no (ya que las definiciones son estrictamente arbitrarias).

    Las matemáticos dirán que sí, y que vale 1.

    Y ya tendríamos la respuesta correcta a esta cuestión.

    Ya también sabríamos por qué vale 1:

    Porque sí.

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  258. Mal mi amigo muy mal. 0^0 no esta definido.
    Tu calculo por limites es apenas é uno entre una infinidad de casos y no puede de ninguna manera ser tildada de «demostracion».
    Cuanto vale el limite limx^y, cuando x->0 y tambien y->0?…. ummh?

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    • ¡Exacto! Depende de la forma cómo x e y se acerquen al origen, dará una cosa u otra. Es por eso que topológicamente 0^0 no está definido y en el contexto de límites es una «forma indeterminada». Otra alternativa para definirlo es desde el punto de vista conjuntista. Si x es el cardinal del conjunto A e y el de B entonces x^y es el cardinal de A^B (el cardinal del conjunto de aplicaciones de A en B, o sea el numero de aplicaciones)
      En el caso 0^0, x=y=0 se trata de la aplicación del conjunto vacío a sí mismo, lo que da una única aplicación y 0^0=1

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  259. No estoy seguro, de hecho, creo que no sé; pero hay algo que no me cuadra muy bien en las explicaciones y demostraciones que llevan a determinar que el 0 elevado a la potencia 0 sea en efecto 1. Incluso la terminal (bash) de mi sistema operativo dice que 0^0 = 1, pero me da la impresión de que es mero convencionalismo. Bordeando un poco el problema, es verdad que la división entre 0 no está definida (no puedes dividir algo entre 0 porque es ilógico: eso niega el concepto de división) pero me da la impresión de que esto es aplicable a numeradores distintos de 0 y no necesariamente al 0; que así suceda con los límites supongo que se deberá a que un primer 0 puede ser infinitesimalmente más pequeño que un segundo 0 y por ende el segundo infinitamente más grande que el primero, pero esto únicamente para límites. Por otra parte un poco aventurada, yo me atrevería a decir que dividir el 0/n tampoco se puede (es verdad que el resultado es 0 pero porque teníamos 0 en un principio, no porque hayamos efectuado división alguna -¿cómo dividir lo que no se tiene? ¿convencionalismo?-); es algo que tampoco se puede en el mundo real, pero en la abstracción matemática se hace a diestra y siniestra. Se me antoja que 0^0 bien puede ser 0^(n-n) = 0^n/0^n = 0/0 y acepto válida dicha expresión (porque así se me antoja) y la hago igual a 0 del mismo modo en que unas líneas más arriba 0/n me daba 0 sin haber tenido tampoco nada que dividir. No soy matemático y ya me dirán que hace años los matemáticos demostraron que la división entre cero NO está definida y por ende esto es un sinsentido; yo tampoco recuerdo que hayan demostrado que en efecto 0^0 sea 1 aunque reconozco que intentar demostrarlo sigue siendo válido. Invito a diferenciar los conceptos «demostración» y «comprobación»: coja usted un cesto con 0 manzanas y multiplíquelas 0 veces por las mismas 0 manzanas y me cuenta luego si le aparece 1 manzana en el cesto.

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    • Julio dijo: «coja usted un cesto con 0 manzanas y multiplíquelas 0 veces por las mismas 0 manzanas y me cuenta luego si le aparece 1 manzana en el cesto».
      Respuesta: Meta en un cesto una manzana, dividala entre 0,5, ¿te aparecen dos manzanas? Por consiguiente tu razonamiento no funciona

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      • Si, aparecen dos, porque dividir por 0,5 es lo mismo que multiplicar por 2.

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    • esw una indeterminacion aplicariamos , en el caso de un ejercicio la regla dlopital o factorizariamos y simplificariamos

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    • «coja usted un cesto con 0 manzanas y multiplíquelas 0 veces por las mismas 0 manzanas y me cuenta luego si le aparece 1» —> Quisiera saber primero cómo multiplicarlas 0 veces por 0 manzanas.

      Tengo un razonamiento para 0^0 = 1 que puede que sí veas lógico. Recuerda que el factor que equivale a no haber operado por nada en una multiplicación, es decir, el elemento neutro, es el 1, a diferencia de la suma cuyo elemento neutro es el 0.

      Veamos primero una multiplicación con otras potencias.

      – Si tenemos 5 * 4^3, esto equivale a 5 * 4 * 4 * 4, es decir, que aparece el 5 y luego el 4 tres veces.
      – Si tenemos 5 * 4^2, eso es igual a 5 * 4 * 4, o sea que tenemos tres factores: el 5 y dos 4’s.
      etc.

      Entonces, en general, si tenemos 5*4^n, donde n es un entero, eso debe ser igual a un 5 multiplicado por una cantidad n de 4’s.

      Ahora bien, ¿cuánto es 5 * 4^0? Siguiendo el razonamiento anterior, deberíamos tener un 5 y cero veces el 4, lo que es lo mismo que tener al 5 solamente. Así que 5 * 4^0 debe ser igual a 5, de lo que se deduce que 4^0 es igual a 1.

      Ahora sustituyamos el 4 por un 0.

      – Si tenemos 5 * 0^3, esto debe ser igual a la multiplicación de un cinco y tres ceros –> 5*0*0*0, lo que da resultado cero porque el cero es el elemento absorbente de la multiplicación.
      – Si tenemos 5* 0^2, aparece un cinco y dos ceros —> 5*0*0 = 0

      Pero si tenemos 5* 0^0, el exponente cero está diciendo que el factor cero no aparece ninguna vez, por lo que el 5 se queda solito. Así que no hay motivo para pensar que el resultado debe ser cero, porque en ningún momento actuó el elemento absorbente. Tenemos que 5 * 0^0 = 5, lo que significa que multiplicar por 0^0 es lo mismo que multiplicar por uno.

      ==> 0^0 = 1

      ——— —————- ——————- ——————-

      Ahora debo aclarar que aquí no acaba la discusión. Cuando yo vi esta explicación por primera vez me pareció que era completamente lógica y que no habría motivo para pensar otra cosa distinta a que 0^0 = 1. Pero no todas las calculadoras arrojan este resultado. Algunas ponen «indefinido», como es el caso de WolframAlpha, y ahora voy a explicar el motivo.

      La axiomática para construir los números no es única. Hay muchas formas de definirlos, pero lo importante es que en ninguna (o al menos de las que he visto) los naturales son lo mismos enteros no negativos, ni tampoco los enteros son un subconjunto de los racionales, ni éstos de los reales. Son estructuras totalmente diferentes. Es decir, el 0 natural no es el mismo 0 entero, ni el mismo 0 racional, ni el mismo 0 real. Lo que sí pasa es que, por ejemplo, los enteros no negativos tienen un comportamiento isomorfo al de los naturales.

      Para ilustrar, una de las construcciones que utiliza la teoría de conjuntos es:

      0 = { } –> El conjunto que tiene cero elementos (conjunto vacío)
      1 = { 0 } = { { } } –> El conjunto que tiene un solo elemento: el cero, que es el conjunto vacío.
      2 = { 0, 1 } —> El conjunto que tiene dos elementos, el cero y el uno.
      En general, el natural n es el conjunto que tiene a todos los naturales desde el cero hasta el n-1

      Pero los enteros son clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales.

      0 = [ (n, n) ] —> El 0 entero está representado por cualquier par ordenado en donde las dos coordenadas coincidan y sean números naturales.

      1 = [ (n+1,n) ] –> El 1 está representado por cualquier par ordenado en donde la primera coordenada supere en 1 a la segunda coordenada, y n sea natural.

      -1 = [ (n,n+1) ] –> El 1 está representado por cualquier par ordenado en donde la segunda coordenada supere en 1 a la primera coordenada, y n sea natural.

      etc.

      De manera que cuando tenemos que definir las operaciones de suma, multiplicación, potenciación, etc., tenemos que hacerlas en base a las operaciones de conjuntos, y al ser los enteros distintos a los naturales, las maneras de definir sus operaciones respectivas también serán distintas. La suma de enteros no puede definirse igual que la suma de naturales.

      Entonces, lo que quiero decir acá es que ese razonamiento de 0^0 = 1 fue válido para los enteros, porque en ellos la potenciación a^b significa que el factor «a» se multiplica consigo mismo una cantidad «b» de veces. Pero si queremos tener una definición única de potenciación en los reales (que no tienen nada que ver con los enteros), ¿cómo aplicaríamos el mismo razonamiento? ¿Cuál es el significado de 4^pi? ¿Cómo haces para que el 4 aparezca una cantidad 3,14159… de veces?

      No se puede. La potenciación en los enteros se construye como la operación inversa de los logaritmos, que son calculables mediante integrales, que a su vez son un límite. De manera que la potenciación de reales es en el fondo un límite, y 0^0 definido como límite no existe. Si tienes dos funciones f y g, y las elevas: f^g, cuando f tiende a cero y g tiende a cero no hay un valor único para ese límite, depende de la función tomada, por lo que no existe.

      El autor del blog hizo un caso particular. En primer lugar, esa demostración es errónea, como ya lo demostraron previamente en otros comentarios, y además no es la única manera posible de aproximarse a 0^0. Así que esta expresión no estaría definido en los reales. En los enteros sí, pero es algo completamente distinta. Son otras estructuras que también se llaman cero y el operador también se llama «elevar», pero no son iguales.

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      • me estás jodiendo, decime que no sos matemático. Todo lo escrito es un delirio no hiciste ninguna demostración por otro lado en la teoría de conjuntos, el 0 no es el conjunto vacío, El conjunto vacío es vacío el 0 es un elemento más como puede ser el 1 el 2 o el -1 , -3.

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  260. Olvidé agradecer por el artículo. Interesante página. ¡Enhorabuena!

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  261. NO ESToy de acuerdo… cero elevado a cualquier numero NATURAL da 1… cero no es natural.

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    • Mariela, tu argumento tiene algunos errores:
      – Cero elevado cualquier número natural suele ser cero (la única excepción discutible es si el exponente es cero y de eso va esta discusión)
      – Cero SI es natural
      – No explicas en qué no estás de acuerdo

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  262. Post como este lo único que hacen es confundir a la gente afirmando cosas totalmente erróneas, simplemente por el hecho de que quien escribe esto no es ningún matemático; por tanto, cosas que desconoce las puede tomar como ciertas, y eso lo deja notar en sus comentarios donde insistentemente intenta defender un argumento equivocado, pensando en que sí tiene la razón. 0^0 es indefinido porque, así como cualquier otra expresión indefinida, puede tener más de una respuesta, dependiendo de cómo se analice. En las matemáticas, NUNCA, una expresión no puede tener como resultado dos respuestas distintas, por lo tanto al presentarse más de una solución, la expresión es indefinida (no se puede definir en una única respuesta). Eso es todo, 0^0 será indefinido ya sea que aparezca dentro de un límite o no. ¿Si analizas x^x cuando x tiende a 0 por la derecha es igual a 1? pues sí. En ese caso ni siquiera x^x puede tomar límite cuando tiende a 0 por la izquierda y por tanto el límite para cuando tiende a 0 no existe. Aún así existiera ese límite, no puede decirse que por consecuencia la expresión es igual a ese límite, ya que los límites solo analizan los laterales, sin considerar el punto en la función. Es por eso que en x/x sí existe el límite cuando x=0 y tiene el valor de 1; pero no por eso se va a decir que 0/0 también vale 1, sería un absurdo, 0/0 sigue siendo indeterminado.

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    • Decir que el autor no es un matemático es ir mucho más allá de lo que sabes de él. ¡Pues claro que es un matemático! y muy bien informado por cierto. Yo tuve algún intercambio de pareceres con él cuando escribía artículos, a cual más interesante, en el diario El País.

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  263. Si cero es nada, al elevarlo a lo mismo, podría ser que dicha «nada» al sumarse a sí misma ninguna vez siga siendo la misma nada a la que se le «dotó» en un principio de «unidad», de «existencia» al considerarla como un «elemento» operable, de modo que para el caso específico de la potencia, la «no existencia» existiría y es una (1) al «ser» sólo una.

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  264. A ver. Aquí se mezclaron muchas cosas. Que 0^0=1 es aceptado por muchos matemáticos, con la justificación que indica el autor, de hacer continua en el origen la función más simple que puede adquirir tal valor, f(x)=x^x.

    Pero tiene sus detractores: si la definimos así, por coherencia matemática, toda operación matemática, límites incluidos, deberían dar ese valor. Pero es conocido el hecho de que, en el ámbito de los límites, la expresión 0^0 es una indeterminación, es decir, que da lugar a diferentes posibles resultados. Con lo que podría esgrimirse este argumento para rechazar que 0^0=1

    Por otro lado está la construcción conjuntista de las matemáticas, iniciada por Cantor y continuada por el grupo Bourbaki. Normalmente sólo se estudia en las Facultades de Matemáticas y no suele trascender a otros estudios, como Ingenierías o Física.
    En ésta, a partir del cardinal (para el caso finito=nº de elementos) del conjunto A^B o número de aplicaciones de A en B, cuyo valor es a^b siendo a=card(A) y b=cad(B) cuando tanto A como B son el conjunto vacío, entonces a=b=0. Pero entre A y B (ambos vacíos) se puede establecer una aplicación: la aplicación vacía. Esto justifica que 0^0=1 desde este punto de vista conjuntista.

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    • Estimado: las demostraciones matemáticas , utilices el camino que quieras tienen que dar lo mismo , 0^0 es indeterminado por lo siguiente.
      0^0 = e^(0.ln 0) , donde ln 0 es indeterminado de ahí en mas todo lo demás es indeterminado.

      Por otro lado el conjunto vacío es vacío , el cero es un elemento mas como cualquier otro, como puede ser el 1 o el -1.

      Además el autor de la nota debería haber aclarado que está fabricando una función donde para X distintos de cero es f(x) =x^x y para el valor de x = 0 vale f(x) =1. Esto no es lo mismo que decir 0^0=1.

      No se de donde sacan que hay matemáticos que dicen 0^0=1 , o por lo menos yo no he conocido a ninguno en años.

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      • En mi comentario indico claramente que hay varios puntos de vista, como sucede con muchos otros temas. Yo no me decanto por ni uno ni por otro, sólo indico lo que hay ¿Sabes algo del axioma de continuidad por ejemplo? Hay quién lo acepta, hay quien no. Lo peor es que está demostrado que no se puede demostrar ni a favor ni en contra y si fuera falso, la mitad de las Matemáticas se vendrían abajo. Ya ves, ni siquiera en Matemáticas hay verdades absolutas como tú pretendes.

        Sobre 0^0=1, si puedes, léete alguno de estos, que no salieron ayer precisamente. También te indico que en el grupo Bourbaki hay varias medallas Fieds:

        *N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5

        *Nicolas Bourbaki (1970). Algèbre. Springer., §III.2

        *Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992)

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        • Estimado: en matemáticas existen muchas cosas no demostradas, o por lo menos de difícil demostración, eso es cierto. Pero no es precisamente 0^0, si lees mas abajo yo he escrito una demostración donde muestra que es indeterminado.
          por otro lado como ingeniero te tengo que decir que las demostraciones son absolutas por el camino que quieras. No estoy utilizando lógica difusa que es otra rama.

          Por otro lado en que parte lo que me recomendaste

          *N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5

          *Nicolas Bourbaki (1970). Algèbre. Springer., §III.2

          *Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992)

          ¿ en que parte dicen que 0^0=1 ?

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          • Sí, hombre. Es indeterminado en el Cálculo clásico y en el ámbito de límites…pero hay más teorías. Lee las primeras líneas aquí

            https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero

            donde pone «In algebra, combinatorics, or set theory, the generally agreed upon answer is 0^0 = 1» . En la documentación que puse aparecen los capítulos y secciones. Yo soy doctor en Matemáticas y como dije, estás teorías conjuntistas parten de axiomáticas distintas a las clásicas, aunque a la larga, concuerdan generalmente. En las ingenierías no se tocan estos temas ni por asomo, como no se tocan Espacios Topológicos generales, Topología algebraica, Teorías de grupos…ni casi nada. Tampoco un ingeniero necesita eso para nada. (soy profesor de Ampliación de Matemáticas en Ingeniería y sé muy bien lo que se da, tanto en grado como en máster)
            Saludos

  265. para mi, es tan simple como esto:

    0^0 = 0^(x-x), con x0
    0^(x-x) = 0^x / 0^x , propiedad basica de potencias.
    0^x / 0^x = 0/0 y eso no esta definido. punto. sin limites ni enredos, simple matematica.

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    • era con x0, no se por que no salio

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    • Estimado: estoy de acuerdo con que es indeterminado , pero la demostración no es muy feliz, ya que con ese ejemplo te podrían decir lo siguiente:

      sabemos que 0^2 = 0

      supongamos que se puede hacer esto

      0^2 = 0^(3-1) = (0^3)/(0^1) = 0/0 esto adolece de un error 0^2 = 0*0 y (0^3)/(0^1) = 0*0*0/0 es indeterminado

      como ves el error aparece después del primer signo =. No lo mismo 0^2 que 0^(3-1) o sea si tenemos A^2 = A(3-1) mientras que A sea distinto de 0.

      lo mismo ocurre con 0^0.

      La demostración mas feliz es A^B = e^(A*ln B) si hacemos A = B = 0 nos queda en el exponente 0 * ln 0 y ln 0 es indeterminado , por lo tanto de ahí en mas todo es indeterminado. ln 0 no es menos infinito como he leído en algunos lugares, tiene a -infinito a medida que me acerco a 0 por derecha que es otra cosa. De todas formas si fuese -infinito por cero también es indeterminado.

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      • Mmmmm. cierto, pero el problema solo se produce porque la base es 0. para cualquier numero x!=0:

        x^2= x^(3-1)=x^3 / x=x*x*x / x = x*x = x^2. se verifica.

        Mas bien sirve como demostracion de porque no se puede dividir por cero.

        Es como esto:

        sea

        X=Y , entonces, multiplicando por x
        x^2=xy
        restamos y^2
        x^2 – y^2 = xy – y^2
        factorizamos
        (x+y)(x-y)=y(x-y)
        simplificamos el (x-y) y queda
        x+y=y
        pero x=y, entonces
        2x=y
        2x=x
        2=1
        –><–
        el error se produce al simplificar (x-y), porque x-y es cero…
        saludos!

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  266. Diamond, deberíamos hacer una fiesta de celebración cuando este post cumpla años: publicado en 2006 y hoy 2018 aún sigue activo con mas de 300 comentarios y contando.

    No creí que diera para tanto.

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  267. Esta demostrado, por limites, en el primer articulo del hilo
    lim X^X cuando X tiende a 0, es igual a 1

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  268. Bueno para efectos de serie de potencias se considera 0^0 = 1 , lo que me llevó a esta página

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    • X^a/X^a= 1 –> 1=x^(a-a) = x^0 para todo X y para todo a por tanto 0^0=1

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      • hay un problema al comienzo de tu formulación: 0/0 es indeterminado y surgiría si x=0 y «a» es distinto de 0 (si «a» fuese cero volveríamos al inicio del problema)

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  269. No creo que utilizar una función en concreto como x^x y hallar su límite en el cero sea un procedimiento válido, sería como usar el límite de la función x/x para concluir que 0/0 =1.
    Si 0^0 fuera un número real bien definido entonces los límites de la forma 0^0 no serían indeterminados, es contradictorio decir que un límite de la forma 0^0 es indeterminado pero 0^0=1

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