Introducción

El pasado lunes presentábamos un método de resolución de ecuaciones diofánticas lineales. También vimos que no sólo existen este tipo de ecuaciones diofánticas: dependen de los exponentes de sus variables. Por desgracia cuando los exponentes no son 1 (es decir, cuando no son lineales) no tenemos un procedimiento general para resolverlas. Esto lo sabemos desde 1970, cuando Yuri Matiyasévich consiguió demostrar (después de 20 años de trabajo) que no es posible encontrar un algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica tiene soluciones o no las tiene. Este fue uno de los 23 problemas, concretamente el décimo, que David Hilbert propuso en el año 1900.

Después de este mazazo vamos a alegrar un poco el asunto: aunque no tengamos un procedimiento para todas las ecuaciones diofánticas sí que sabemos resolver algunos casos particulares de ellas. El artículo de hoy trata sobre uno de estos casos: la ecuación de Pell.

La ecuación de Pell

Una ecuación de Pell es una ecuación diofántica que tiene la siguiente forma:

x^2-dy^2=1

con d un entero que no es un cuadrado perfecto. Por ser una ecuación diofántica lo que se pide es encontrar las soluciones enteras de dicha ecuación.

¿Quién es Pell? John Pell fue un matemático inglés que vivió durante el siglo XVII. La cuestión es que no está muy claro por qué este tipo de ecuaciones llevan su nombre. Al parecer el error lo cometió en gran Euler al asociar un método de resolución de este tipo de ecuaciones a Pell en vez de a Brouncker, el verdadero propietario de dicho método. En su época Euler era un escritor muy leído, por lo que la inclusión de este fallo en uno de sus libros provocó que esta asociación errónea de propagara con gran rapidez.

Pero bueno, no pasa nada, ya vimos hace un tiempo que no podemos fiarnos a ciegas del nombre que acompaña a ciertos resultados.

El estudio de la ecuación de Pell se remonta a la antigua Grecia. En algunos trabajos de Arquímedes se muestra el conocimiento de alguna solución para el caso d=3 y hasta se conjetura que los griegos tenían más nociones sobre el asunto, aunque no se tienen documentos que lo corroboren. Sí se sabe más del estudio sobre esta ecuación realizado en la antigua India. Brahmagupta encontró la solución más pequeña para el caso d=92 y Bháscara una técnica general para encontrar soluciones.

El desafío de Fermat

Pero fue nuestro admirado Pierre de Fermat quien profundizó en la ecuación de Pell. En 1657, al final de su carrera, mandó el siguiente desafío a los matemáticos ingleses:

Dado un número cualquiera que no es un cuadrado existe un número infinito de cuadrados tal que si el cuadrado es multiplicado por el número dado y la unidad es añadida al producto el resultado es un cuadrado.

Es decir, dado d que no es un cuadrado, existen infinitos cuadrados, x^2, tales que si los multiplicamos por d y añadimos 1 a este producto el resultado es un cuadrado, digamos y^2. Esto nos lleva a la ecuación dx^2+1=y^2 que es precisamente la ecuación de Pell.

Dado que, según parece, en la época de Diofanto se tomaban las soluciones racionales como las soluciones válidas de estas ecuaciones, los ingleses resolvieron muy pronto el desafío de Fermat (¿podéis vosotros?). Fermat había incluido en su desafío un preámbulo donde explicaba que se pedían soluciones enteras, pero dicha explicación debió perderse y no llegó a sus destinatarios.

El caso es que Fermat aclaró este punto a los ingleses cuando recibió las soluciones. Estos, aunque indignados por el cambio de las condiciones del problema, se dedicaron a ello. Wallis y Brouncker son los que parece que pusieron más empeño.

En este y en algún otro desafío aparecían separados tres casos particulares de la ecuación de Pell. Concretamente los casos d=61, 109, 149. La razón es que estos casos son bastante más complicados de analizar para d < 200. Esto nos indica que Fermat debía poseer un método general para resolver la ecuación de Pell (no creemos que tuviera tanta suerte al elegir los casos particulares).

La cuestión es que los ingleses, al parecer Brouncker (o al menos Wallis se lo atribuye a él), consiguieron resolver los casos particulares y además dieron un procedimiento general para llegar a la solución para cualquier valor de d. El problema de este método (y posiblemente también del que poseía Fermat, si es que no eran el mismo) es que en ningún momento se demostraba que el método funcionaba siempre. Se aplicaba a una ecuación con un d concreto y se obtenían las soluciones, pero no se demostraba que el método era válido para todos los casos. Puede parecer que esto es un detalle que no tiene demasiada importancia, pero no es así. El mismo Euler fracasó al intentar demostrar este hecho y hubo que esperar más de un siglo para que Lagrange consiguiera dicha prueba.

La ecuación de Pell en la actualidad

En el momento actual el método de resolución de la ecuación de Pell se basa en fracciones continuas. En el artículo de la Wikipedia inglesa dedicado a la ecuación de Pell podéis consultarlo y en este enlace se puede ver de forma más resumida y en español.

Y para terminar os dejo esta web donde dado el valor de d obtendréis la solución mínima para ese caso (encontré esta otra página, pero al parecer no funciona). Recordad que d no puede ser un cuadrado perfecto, aunque también podéis intentarlo con estos y ver qué ocurre en este solucionador.

Print Friendly, PDF & Email