Hablábamos el pasado miércoles sobre la curiosa sucesión Look-and-say y la constante de Conway, número que surgía como límite de los cocientes entre las cantidades de cifras de cada elemento de la sucesión entre el elemento anterior. Esta constante de Conway era la siguiente:

\lambda = 1.30357726 \ldots

y muchos decimales más sin ningún patrón. Vamos, que este número \lambda es irracional.

En este mismo post comentábamos que \lambda también era, sorprendentemente, un número algebraico. ¿Sorprendentemente? ¿Por qué?

Recordemos que un número algebraico es un número (en general, complejo) que es solución de algún polinomio cuyos coeficientes son números enteros. Los números para los cuales no existe tal polinomio se denominan números trascendentes.

Si le explicáis a alguien todo esto (si puede ser con ciertos conocimientos matemáticos, más que nada para que sepa usar con suficiente soltura los polinomios y las soluciones de los mismos), probad ahora a comprobar si lo ha entendido:

Profesor: A ver si lo has entendido. Dime un número que sea algebraico.

Alumno: Pues…cualquier número entero vale, ¿no? Si k \in \mathbb{Z} entonces la ecuación polinómica x-k=0 tiene coeficientes enteros y a k como solución.

P: Sí, y en general todos los racionales sirven, ya que si todo número racional m/n es solución de la ecuación polinómica nx-m=0, que, evidentemente, tiene coeficientes enteros.

Bien, dime otro.

A: Pues…no sé…¡ah, sí! \sqrt{2}, ya que es solución de la ecuación polinómica x^2-2=0…Y muchos más: \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots, vamos, \sqrt{n}, si n \in \mathbb{N} no es un cuadrado perfecto (si lo es ya está incluido en los naturales) también es algebraico.

P: ¡Exacto! Pero hay muchísimos más:

  • El número de oro: \phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2} (solución de x^2-x-1=0).
  • La unidad imaginaria i (solución de x^2+1=0).
  • El propio \lambda = 1.30357726 \ldots (solución de…bueno, de la ecuación polinómica de grado 71 que aparece en el post enlazado al principio de éste).
  • …

    • A: Sí, muchísimos.

Esta parte de la supuesta conversación entre vosotros (profesor) y la persona a quien le habéis contado este tema (alumno) podría ser más o menos como habéis leído. Vamos a suponer ahora que en realidad vuestro alumno tiene conocimientos de matemáticas algo más avanzados y sigamos conversando:

P: Bien, dime ahora un número trascendente.

A: Fácil: \pi.

P: Cierto, el número \pi es trascendente. No existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga a \pi entre sus soluciones. Dime otro.

A: Esto…pues…ah, sí, el número e.

P: Exacto, el número e también es trascendente. Llevamos dos. Dime uno más.

A: Uhmmmm…otro número trascendente más…pues…no se me ocurre ninguno ahora, pero debe haber más…

P: Pues sí, claro que hay más. Y si leyeras Gaussianos más a menudo sabrías alguno más:

  • El número de Liouville: \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}
  • El número de Champernowne: 0,123456789101112131415 \ldots
  • El número de Hilbert: 2^{\sqrt{2}}
  • Y algunos más que aparecen en este post.

Pero tengo que confesarte que en cierto modo no es raro que no conocieras ninguno más, ya que no es fácil encontrarlos.

A: ¿No? Pero también hay muchos, ¿verdad?

P: Claro que hay muchos, pero es complicado demostrar que un cierto número es trascendente.

A: Vale, supongo que sera porque entre tanto algebraico los trascendente escasean, ¿no?

P: Pues…no, ni muchísimo menos. Y te lo voy a demostrar.

Eso es lo que vamos a hacer después de esta conversación ficticia (aunque, bajo mi punto de vista, ciertamente plausible): demostrar que los números trascendentes no escasean, ni mucho menos. De hecho vamos a demostrar lo siguiente:

Hay más números trascendentes que números algebraicos

hecho que, por otra parte, puede ser muy chocante para los no iniciados.

Georg CantorDe todas formas, la demostración de este resultado es bien sencilla. Entre los números reales hay tanto números algebraicos como números trascendentes. Y además sabemos que este conjunto \mathbb{R} de los números reales es no numerable, es decir, no puedo enumerar sus elementos (siempre que intente enumerarlos resultará que me he dejado alguno por el camino). El primero en observar este hecho fue Georg Cantor). Y, bueno, aunque creo que no hace falta decirlo lo hago: un conjunto no numerable tiene más elementos que cualquier conjunto numerable.

Por otra parte, hemos dicho que un número es algebraico si es solución de un polinomio de coeficientes enteros. Bien, pero el conjunto de los enteros es infinito-numerable (infinito, sí, pero puedo enumerar sus elementos), y el conjunto de los polinomios cuyos coeficientes están dentro de un conjunto numerable también es numerable. Como el número de soluciones de un polinomio es también numerable, al combinar todo esto obtenemos que el conjunto de los números algebraicos es numerable.

O sea, que tenemos que los números reales algebraicos, que es un subconjunto de los números reales, es un conjunto numerable. Pero \mathbb{R} no lo es. Por tanto, lo que quede en los reales al quitar los algebraicos es no numerable. ¿Qué es lo que queda? Los números reales trascendentes.

¿Qué significa todo esto? Pues lo que habíamos dicho: que hay muchísimos más números trascendentes que algebraicos. Por eso puede resultar tan extraño que cueste tanto encontrar un número trascendente. Y por eso es tan sorprendente que un número que aparece de la forma que apareció el \lambda del que hablamos en el post anterior sea algebraico…

…¿o no es tan sorprendente?

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