Este artículo es mi aportación a la primera edición de Carnaval de Matemáticas organizado por Tito Eliatron.

Motivación

Un polígono convexo es un polígono que cumple que todos sus ángulos interiores miden menos de 180º. De forma más intuitiva, un polígono es convexo cuando todos sus vértices están apuntando hacia el exterior del polígono. Por ejemplo, el siguiente polígono es convexo

Polígono convexo

pero éste no lo es

Polígono no convexo

Según esta definición es evidente que todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular…) son convexos.

Bien, aclarado este punto vamos a realizar un experimento con estos polígonos regulares. Lo que vamos a hacer es dividir cada uno de ellos en triángulos trazando diagonales que no se corten entre si. Y vamos a contar de cuántas formas podemos hacer esa subdivisión para cada uno de los polígonos.

TriánguloTomemos el primer polígono regular en lo que a número de lados se refiere, el triángulo equilátero. Está claro que en un triángulo equilátero no se puede trazar ninguna diagonal, pero como la propia figura es un triángulo digamos que ya tendríamos el polígono dividido en triángulos. Esto es, el número de formas en las que podemos dividir un triángulo equilátero en triángulos trazando diagonales de la forma descrita antes es 1.

Pasamos al siguiente, el cuadrado. En él podemos trazar dos diagonales que lo dividen en triángulos

Cuadrados

Por ello, el número de formas en las que podemos dividir el cuadrado en triángulos como se comentó antes es 2.

El siguiente es el pentágono. En este caso cada forma de dividirlo en triángulos así consiste en trazar dos diagonales que no se corten. Estas son las 5 formas.

Pentágonos

Con el hexágono el número de diagonales a trazar es tres por vez. Nos quedan las siguientes 14 formas de dividir un hexágono regular como hemos dicho antes:

Hexágonos

Con un heptágono obtendríamos 42 formas, con un octógono 132, y así sucesivamente…Un momento, ¿cómo que y así sucesivamente? Hemos obtenido la siguiente sucesión de números:

1, 2, 5, 14, 42, 132, \ldots

A la vista de estos elementos no parece que sea muy evidente cómo encontrar el siguiente término. La sucesión de números obtenida más bien parece aleatoria, casual, sin ningún interés…

La pregunta está clara:

¿Aparecen estos números en algún otro sitio? ¿Tienen algo de interés?

Pues va a ser que sí…

Los números de Catalán

Al parecer fue el gran Leonhard Euler (quién si no) el que se hizo la pregunta relacionada con los polígonos que hemos descrito antes. De hecho encontró una manera de calcular los términos de la sucesión. Si llamamos C_n al n-ésimo elemento de la misma, dicha expresión es la siguiente:

C_{n-2}=\cfrac{2 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (4n-10)}{(n-1)!}, para n > 2

Por ejemplo, calculemos C_5 (es decir, debemos tomar n=7:

C_5=\cfrac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \cdot 18}{(7-1)!}=\cfrac{302140}{720}=42

que es el quinto término de la sucesión que hemos comentado al principio.

Como esta expresión puede ser algo complicada de manejar os dejo otra más sencilla (al parecer la más sencilla que se conoce). El término n de esta sucesión, C_n, se puede calcular de la siguiente forma:

C_n=\cfrac{(2n)!}{n! (n+1)!}

Pero esta sucesión de números toma su nombre de Eugène Charles Catalan, matemático belga del que ya hablamos en este artículo. La razón es la resolución por parte de éste del siguiente problema:

Tenemos n letras dispuestas en forma de palabra en un cierto orden. Deseamos añadir n-1 pares de paréntesis en esta palabra de forma que dentro de cada par de paréntesis caigan dos términos. Estos dos términos pueden ser dos letras juntas, una letra junto con un grupo encerrado ya entre paréntesis o dos grupos contiguos. ¿De cuántas formas podemos realizar esta tarea?

Vamos a explorar los primeros casos:

  • Para dos letras, ab, hay sólo una forma:

    (ab)

  • Para tres letras, abc, tenemos dos formas:

    ((ab)c) y (a(bc))

  • Si tenemos cuatros letras, abcd, se obtienen cinco formas:

    ((ab)(cd)), (((ab)c)d), (a(b(cd))), (a((bc)d)) y ((a(bc))d)

Obtenemos los números 1, 2 y 5. Y si continuáramos obtendríamos 14, 42, \ldots. Esto es, la sucesión presentada en el comienzo de este artículo.

Es interesante apuntar que a veces esta sucesión se toma de la siguiente forma:

1,1,2,5,14, 42, \ldots

Escribiéndola de esta manera tenemos una forma muy interesante de calcular cada término si conocemos los anteriores:

Sea k el último número de Catalan que conocemos y sea n la posición del número siguiente en esta sucesión. Entonces dicho número se calcula mediante la siguiente expresión:

\cfrac{k \cdot (4n-6)}{n}

Por ejemplo, si el último término que conocemos es el 14, el siguiente es el que ocupa la sexta posición. Entonces k=14 y n=6 y el siguiente término es:

\cfrac{14 \cdot (4 \cdot 6-6)}{6}=42

Ya llevamos dos situaciones, en principio sin relación aparente, donde aparece esta sucesión. Pero no son los únicos. Árbol plano, plantado y trivalentePor ejemplo, Arthur Cayley demostró que los números de Catalan también nos dan el número total de árboles (Árbol: grafo conexo que no tiene circuitos) planos (Plano: se puede dibujar en un plano sin que haya intersecciones entre aristas), plantados (Plantado: tiene un tronco en cuyo extremo se haya la raíz) y trivalentes (Trivalente: en cada punto, excepto en la raíz y en extremos, se unen tres vértices). Un ejemplo de árbol de este tipo es el que aparece en la figura de la derecha.

Por cierto, es muy interesante ver gráficamente la relación existente entre las tres situaciones relacionadas con esta sucesión de números que se han mostrado hasta ahora. En esta imagen podéis ver dicha relación.

Pero, como era de esperar, estas situaciones no son las únicas con esta propiedad. Los números de Catalan aparecen en otros muchos lugares (seguro que a más de uno os recuerda a la sucesión de Fibonacci). Por poner un par de ejemplos más, esta sucesión está relacionada con un problema sobre caminos recorridos por una torre en un tablero de ajedrez y con un problema sobre uniones de puntos sobre una circunferencia con segmento que no se corten.

Y para terminar os dejo una sorprendente conexión entre estos números de Catalan y el triángulo de Pascal. Sí, exacto, los números de Catalan también están escondidos en este fabuloso triángulo. Y es sencillo encontrarlos.

Tomamos el triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal

y nos quedamos con la columna central, esto es, 1, 2, 6, 20, \ldots. Ahora restamos a cada número de esa columna central el número que tiene al lado en el triángulo. Podéis comprobar que así también obtenemos los números de Catalan (no, si ya decíamos que al final iban a tener alguna relación con la sucesión de Fibonacci).


Fuente:

  • Viajes en el tiempo y otras perplejidades matemáticas, de Martin Gardner.
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