Introducción

Mucho se ha hablado en Gaussianos de Fermat y su último teorema. Pero que yo recuerde todavía no se ha mostrado ninguna demostración relacionada con él. En este artículo vamos a ver la de un caso, concretamente n=4, que a la postre resulta determinante para la demostración global del teorema.

Primer paso: demostrar el teorema para n=4

Sello del Teorema de Fermat-Wiles
Por si alguien no sabe todavía de qué va este último teorema vamos a enunciarlo otra vez:

No existen enteros positivos x,y,z y n tales que x^n+y^n=z^n para n > 2.

En esta parte del artículo vamos a demostrar que este resultado es cierto para n=4, es decir:

Teorema: No existen enteros positivos x,y y z tales que x^4+y^4=z^4.

Demostración:

Vamos a utilizar el método de reducción al absurdo. Supongamos que existen x,y y z tales que x^4+y^4=z^4. Podemos suponer que cada par de ellos son primos relativos (ya que si dos de ellos tuvieran un divisor común el otro también debería tenerlo y por tanto podríamos simplificarlo). Esto implica que x^2,y^2 y z^2 son una terna pitagórica (es decir, terna de números cuyas longitudes son los lados de un triángulo rectángulo), por lo que, intercambiando los papeles de x e y si fuera necesario, tenemos lo siguiente (echad un ojo al artículo sobre ternas pitagóricas enlazado en esta misma frase si no sabéis por qué):

x^2=2pq
y^2=p^2-q^2
z^2=p^2+q^2

donde p y q tienen distinta paridad y cumplen que 0 < q < p[/latex].  Pero la segunda ecuación se puede escribir como [latex]y^2 + q^2 = p^2[/latex] y, como [latex]p[/latex] y [latex]q[/latex] son primos relativos, se sigue que [latex]y, p[/latex] y [latex]q[/latex] forman una terna pitagórica primitiva. Por lo tanto [latex]p[/latex] es impar y, como [latex]p[/latex] y [latex]q[/latex] tienen distinta paridad, [latex]q[/latex] es par.  De aquí:    <p align="center">[latex]q = 2ab
y = a^2 – b^2
p = a^2 + b^2

donde a y b son primos relativos de paridad opuesta y a > b > 0. Así:

x^2 = 2pq = 4ab(a^2 + b^2)

Esto demuestra que ab(a^2 + b^2) es un cuadrado (exactamente el cuadrado de \textstyle{\frac{x}{2}}). Pero ab y a^2 + b^2 son primos relativos, ya que si un primo P divide a ab debería dividir también a a o a b, pero no a ambos, ya que a y b son primos relativos. Por tanto no puede dividir a a^2 + b^2.

En consecuencia ab y a^2 + b^2 deben ser ambos cuadrados. Pero si ab es un cuadrado deben ser a y b los dos cuadrados (al ser primos relativos). Digamos entonces que a = X^2 y b = Y^2. Por tanto X^4 + Y^4 = a^2 + b^2 es un cuadrado. Pero esto es suficiente para aplicar el método del descenso infinito, ya que la única suposición que se hizo al principio es que z^4 era un cuadrado, no una cuarta potencia. En otras palabras, si x e y son enteros positivos tal que x^4 + y^4 es un cuadrado la demostración anterior nos permite encontrar otros dos enteros positivos, X e Y, tales que X^4 + Y^4 es un cuadrado. Además:

X^4 + Y^4 = a^2 + b^2 = p < p^2 + q^2 = z^2 < z^4 = x^4 + y^4[/latex]   .   Por tanto tenemos una sucesión decreciente infinita de enteros positivos, lo cual es imposible. Es decir, este razonamiento prueba que el último teorema de Fermat se cumple para [latex]n = 4.

¿Qué tiene de especial el caso n=4?

Partiendo de lo que acabamos de demostrar se tiene que x^{4m} + y^{4m} = z^{4m} no se puede dar para x, y y z enteros positivos cuando m es un entero positivo, ya que X = x^m, Y = y^m y Z = z^m serían solución de X^4 + Y^4 = Z^4, pudiendo aplicarles entonces la demostración anterior. Por tanto el último teorema de Fermat es cierto para todo n múltiplo de 4.

Ahora, un entero positivo n > 2 que no es múltiplo de 4 no es una potencia de 2. Entonces debe ser divisible por algún primo p \ne 2, digamos n = pm. Por tanto es obvio que para demostrar que x^n + y^n = z^n es imposible será suficiente demostrar que x^p + y^p = z^p es imposible. Esto es:

Una vez que el último teorema de Fermat ha sido probado en el caso n = 4 la demostración del caso general se reduce a probarlo en el caso en el que n > 2 es primo.

Esta es la importancia del caso n=4: demostrando el teorema sólo en este caso permite tenerlo demostrado para todos los no primos.

Ahora sólo faltaría demostrarlo para los exponentes números primos.

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