El pasado 7 de enero de 2016, el grupo GIMPS cumplía 20 años de vida de la mejor forma posible: anunciando el descubrimiento (y la confirmación) del primo de Mersenne número 49 (aquí tenéis la nota de prensa del anuncio). Este nuevo número primo que hemos conocido tiene la friolera de 22338618 dígitos, superando así en más de cinco millones de dígitos a su antecesor como mayor número primo conocido.

El nuevo primo de Mersenne que acabamos de conocer, y que se designa como M_{74207281}, es el siguiente:

M_{74207281}=2^{74207281}-1

y, como decíamos antes, tiene más de 22 millones de cifras. Como he comentado en otras ocasiones, pienso que es muy complicado asimilar el abismal tamaño de un número así, por lo que suelo poner un ejemplo como el siguiente para intentar ayudar a dicha asimilación:

Imaginad que tenéis un billón de euros. Una cantidad enorme, ¿verdad? Bien, pues el número «un billón» tiene 13 dígitos: 1000000000000.

Así que imaginad lo gigantesco que es un número de ¡¡22 millones de dígitos!! Por cierto, si alguien quiere ver a M_{74207281}, aquí lo tenéis en txt (y comprimido en zip).

En este enlace podéis ver la lista completa de primos de Mersenne conocidos hasta ahora. Conviene apuntar que hasta el número 44, 2^{32582657}-1, la lista es completa (se confirmó hace poco más de un año). Es decir, se ha comprobado que hasta ese número no hay más primos de Mersenne salvo los que aparecen en la lista. A partir de él no se sabe si hay más primos de Mersenne que los descubiertos hasta ahora, por lo que podría ser que haya más primos de Mersenne menores que alguno de los ya conocidos que todavía no se han descubierto. Estaremos atentos a los acontecimientos.

Y este descubrimiento no ha venido solo, sino que ha traído «premio»: esta búsqueda de primos de Mersenne utilizando el software de GIMPS ha ayudado a encontrar un bug en los procesadores Skylake de Intel (que, por cierto, parece que ya está solucionado). En arstechnica tenéis más información al respecto. Para que luego digan que la búsqueda de estos primos enormes, o el cálculo de más y más decimales de números irracionales como \pi, e o \sqrt{2}, no sirven para nada…

Os dejo algunos enlaces de webs donde ya han hablado sobre este descubrimiento y después algunos sobre estos números de Mersenne que se han publicado en Gaussianos:

Marin MersenneEs interesante recordar que los números de Mersenne son números de la forma M_n=2^n-1 y su nombre se debe a Marin Mersenne. Con este nuevo descubrimiento, se sabe que 49 de ellos son primos, habiendo sido descubiertos los más grandes por el citado grupo GIMPS. De estos números de Mersenne se sabe que para que sean primos necesariamente el exponente n debe ser también un número primo, aunque no siempre que tomemos como exponente un número primo obtendremos un primo de Mersenne (por ejemplo, 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89).

También se sabe que cada primo de Mersenne tiene asociado un número perfecto, es decir, un número que es igual a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número):

Si 2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces el número 2^{n-1} \cdot (2^n-1) es un número perfecto.

Por ejemplo, para n=3 tenemos que como 2^3-1=7 es primo el número 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28 es un número perfecto. Y efectivamente lo es:

1+2+4+7+14=28

Por tanto, en este caso tenemos que el número

2^{74207281-1} \cdot (2^{74207281}-1)

es un número perfecto. Si alguien tiene tiempo (posiblemente miles de años), que calcule sus divisores y los sume (si contarlo a él), y que después compruebe que el resultado es el propio número, que, por cierto, tiene unos 44 millones de cifras…

Esta entrada participa en la Edición 6.X: «El grafo» del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Cifras y Teclas.

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