En matemáticas es muy peligroso trabajar con lo que yo llamo el piloto automático, es decir, trabajar de forma mecánica sin pensar si los pasos que estamos siguiendo son correctos, hacer un ejercicio siguiendo el mismo camino que se siguió en otros ejercicios similares sin tener en cuenta si el ejercicio en cuestión tiene alguna particularidad que lo hace esencialmente distinto a los que estamos usando de base.

Y es muy peligroso porque nos hace cometer errores. Y lo peor es que son errores de los que no nos damos cuenta, por lo que no tenemos posibilidad de rectificar. En este artículo voy a poner un par de ejemplos de situaciones típicas en las que puede ocurrirnos esto.

La raíz cuadrada y 1=2

Existen muchas demostraciones de que 1=2, todas, evidentemente, con algún error. Seguro que muchos de vosotros habéis tenido ocasión de encontraros con alguna de ellas. En ciertos casos el error es fácil de ver, pero en otros está tan escondido que es muy complicado detectarlo. Posiblemente ésta sea la situación que se da en esta demostración de que 2=1 que publiqué hace ya algún tiempo. Vamos a ver otra:

\begin{matrix} 1-3=4-6 \\ \mbox{Sumamos 9/4 a ambos lados:} \\ 1-3+\cfrac{9}{4}=4-6+\cfrac{9}{4} \\ \mbox{Expresamos ahora cada miembro como el cuadrado de un binomio:} \\ \left (1- \cfrac{3}{2} \right )^2=\left (2-\cfrac{3}{2} \right )^2 \\ \mbox{Aplicamos ra} \acute{\imath} \mbox{z cuadrada a ambos lados:} \\ 1-\cfrac{3}{2}=2-\cfrac{3}{2} \\ \mbox{Por tanto:} \\ 1=2 \end{matrix}

Bien, ¿dónde está el fallo? Para algunos estará muy claro, pero es más difícil verlo que en otras demostraciones parecidas a ésta. El fallo se encuentra en el paso en el que aplicamos raíz cuadrada a ambos lados. ¿Por qué? Muy sencillo:

Como 3^2=9, entonces \sqrt{9}=3. Y como 7^2=49, entonces \sqrt{49}=7. De aquí podríamos concluir que \sqrt{x^2}=x, ¿verdad?

Pero también ocurre que (-3)^2=9, pero \sqrt{9} \ne -3.

¿Cuál es el problema? Muy fácil: que \sqrt{x^2}=|x|.

Es decir, que si al tomar raíz cuadrada en un miembro de la igualdad nos aparece un número negativo debemos cambiarle el signo para convertirlo en positivo, vamos, tomar su valor absoluto. Y precisamente esto es lo que ocurre en la demostración anterior, ya que 1-\textstyle{\frac{3}{2}} es negativo, por lo que debemos multiplicarlo por -1, quedando entonces

\begin{matrix} \cfrac{3}{2}-1=2-\cfrac{3}{2} \\ \mbox{De donde:} \\ \cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2} \end{matrix}

que sí es correcto.

A mí me parece un buen ejercicio para trabajar con los alumnos que se inician con los radicales, más que nada para evitar que esos fallos se produzcan mucho más adelante en su vida académica, que por desgracia es lo que termina ocurriendo.

Eduardo me dio la idea para este artículo a través de un mail. Y Tito Eliatron también quiso hacer hincapié en este curioso e interesante error.

Bonus logarítmico

El error en el que se incurre en la situación anterior es el olvido del valor absoluto. Este olvido no es ni mucho menos exclusivo de las raíces cuadradas. De hecho es un error muy común (yo diría que demasiado). Os voy a poner otro ejemplo en el que he visto que ocurre mucho:

Sabemos que la derivada de \log{(x)} es \frac{1}{x}. Y también sabemos que la integral es el proceso inverso de la derivada. Por tanto:

\displaystyle{\int \cfrac{1}{x} \; dx=\log{(x)}+C}

¿Esto es cierto? Sí…pero no. Probemos con una integral definida:

\displaystyle{\int_{-3}^{-2} \cfrac{1}{x} \; dx=\left. \log{(x)} \right ]_{-3}^{-2}=\log{(-2)}-\log{(-3)}}

¿Ein? El logaritmo de un número negativo no existe…Pero la integral está bien hecha…¿o no?

En realidad no, ya que:

\displaystyle{\int \cfrac{1}{x} \; dx=\log{|x|}+C}

El olvido de ese valor absoluto en una integral indefinida no es tan importante a efectos del resultado, pero en una integral definida puede ser fatal. Como los alumnos comienzan a trabajar con integrales indefinidas hay que asegurarse de que los quede claro que ese valor absoluto es obligatorio para que no se les olvide más adelante.

¿Qué otros ejemplos parecidos a estos conocéis?

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