Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.


Este post sobre una curiosa propiedad de determinadas particiones en dos conjuntos de algunos conjuntos finitos de números me recordó una curiosa propiedad de cualquier partición en dos conjuntos infinitos del conjunto de todos los números naturales que leí en algún libro de Honsberger.

Sea P = \{2, 3, 5, 7, 11, \cdots \} una secuencia cualquiera no decreciente,esto es, P(n), \  n \ge 0, de enteros no negativos.

La función \pi(h) que da el número de términos de la secuencia P(n) que son menores o iguales que h, \  h \ge 0, define una nueva secuencia no decreciente de enteros no negativos que para la secuencia anterior P resulta ser \pi = \{0,0,1,2,2,3,3,4, \cdots \}

A esta segunda secuencia, cuyos términos cuentan los términos de la primera menores o iguales que h, la llamamos secuencia contadora de la primera secuencia.

Como la secuencia contadora es una secuencia no decreciente de no negativos, podemos obtener a su vez la secuencia contadora de esta secuencia contadora y así sucesivamente.

Pero sucede que:

Dada cualquier secuencia no decreciente de enteros no negativos, la secuencia contadora de la secuencia contadora es la secuencia inicial.

La curiosa conexión con las particiones de números está en:

Si tomamos dos secuencias de forma que una sea la secuencia contadora de la otra, y sumamos vectorialmente a cada una de ellas la secuencia de todos los naturales N= \{1,2,3,4,5, \cdots \}, resulta una partición \{A, B\} de los números naturales.

En el caso de las secuencias anteriores P y \pi resulta la partición:

A= \{3, 5, 8, 11, \cdots \}

B= \{1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 12, \cdots \}

Recíprocamente, si partimos en dos subconjuntos infinitos el conjunto de todos los naturales y restamos la secuencia N= \{1,2,3,4,5, \cdots \} de los naturales de las dos secuencias resultantes de la partición, obtenemos dos secuencias no decrecientes de enteros no negativos que son cada una contadora de la otra.

Los resultados anteriores tienen una demostración visual sin palabras, debida a Dijkstra.

Si busca, el lector encontrará representadas en la figura adjunta las 4 secuencias que hemos usado como ejemplo:

P = \{2, 3, 5, 7, 11,  \cdots \}

\pi = \{0,0,1,2,2,3,3,4, \cdots \}

A= \{3, 5, 8, 11, \cdots \}

B= \{1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 12, \cdots \}

y la secuencia
N= \{1,2,3,4,5, \cdots \}, de los números naturales.

Y, tras unos momentos de reflexión, verá que la posibilidad de construir una figura análoga para cualquier partición en dos de los naturales da una demostración de los hechos anteriormente expuestos.

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