Generando ternas pitagóricas

Introducción

A finales de 2006 vimos en Gaussianos cómo construir triángulos pitagóricos. El desarrollo de aquel artículo terminaba con la siguiente conclusión:

Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

(2pq , p^2 - q^2, p^2 + q^2)

El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los elementos de la misma por un número.

Hace unos días encuentro en el blog Números un post cuyo título es Generar pares pitagóricos. En él se muestra un procedimiento para generar pares de números cuya suma de cuadrados es un cuadrado perfecto, es decir, pares pitagóricos. A partir de ellos, por tanto, podemos encontrar el tercer elemento de la terna calculando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos del par.

En realidad en la entrada que comento de este blog se muestra el resultado mediante un ejemplo (que en realidad no comienza bien, pero acaba dado el resultado esperado), pero no se incluye demostración del mismo. En este artículo pretendo dar dicha demostración.

Método para generar ternas pitagóricas

Lo primero que vamos a hacer es presentar el método mediante un ejemplo:

  1. Tomamos dos números racionales positivos cuyo producto sea dos. Por ejemplo:

    \cfrac{3}{7} y \cfrac{14}{3} \qquad \left ( \cfrac{3}{7} \cdot \cfrac{14}{3}=2 \right )

  2. Sumamos 2 a cada racional:

    \cfrac{3}{7}+2=\cfrac{17}{7} \qquad \cfrac{14}{3}+2=\cfrac{20}{3}

  3. Operamos para que las fracciones tengan el mismo denominador:

    \cfrac{17}{7} \cdot \cfrac{3}{3}=\cfrac{51}{21} \qquad \cfrac{20}{3} \cdot \cfrac{7}{7} =\cfrac{140}{21}

  4. Tomamos los numeradores, elevamos cada uno de ellos al cuadrado y sumamos:

    {51}^2+{140}^2=22201

    Como se tiene que \sqrt{22201}=149, hemos encontrado una terna pitagórica:

    (51,140,149)

Demostración del método

Este artículo quedaría cojo si no damos una demostración del resultado. Aunque es relativamente sencilla vamos a verla:

  1. Tomamos dos números racionales positivos cuyo producto sea dos:

    \cfrac{m}{n} y \cfrac{2n}{m} \qquad \left ( \cfrac{m}{n} \cdot \cfrac{2n}{m}=\cfrac{2mn}{mn}=2 \right )

  2. Sumamos 2 a cada racional:

    \cfrac{m}{n}+2=\cfrac{m+2n}{n} \qquad \cfrac{2n}{m}+2=\cfrac{2n+2m}{m}

  3. Operamos para que las fracciones tengan el mismo denominador:

    \cfrac{m+2n}{n} \cdot \cfrac{m}{m}=\cfrac{m^2+2mn}{mn} \qquad \cfrac{2n+2m}{m} \cdot \cfrac{n}{n} =\cfrac{2n^2+2mn}{mn}

  4. Tomamos los numeradores, elevamos cada uno de ellos al cuadrado y sumamos:

    (m^2+2mn)^2+(2n^2+2mn)^2=m^4+4m^3 n+8m^2 n^2+8mn^3+4m^4

    Nos aparece un polinomio dependiente de m y de n que, para que el método funcionara, debería ser un cuadrado perfecto. Y, en efecto, lo es:

    m^4+4m^3 n+8m^2 n^2+8mn^3+4n^4=(m^2+2mn+2n^2)^2

    Por tanto obtenemos la siguiente terna pitagórica:

    (m^2+2mn,2n^2+2mn,m^2+2mn+2n^2)

Relación entre las dos ternas pitagóricas

Hemos visto dos formas de encontrar ternas pitagóricas. Una pregunta casi directa a partir de ello es: ¿hay alguna relación entre ellas? La respuesta es . Vamos a verla:

Tomemos la terna pitagórica que encontramos con el método descrito y permutemos los dos primeros elementos:

(2n^2+2mn,m^2+2mn,m^2+2mn+2n^2)

Expresemos cada uno de sus elementos de la siguiente forma:

(2(m+n)n,(m+n)^2-n^2,(m+n)^2+n^2)

¿Os suena? ¡Exacto! Tomando p=m+n y q=n obtenemos la terna pitagórica que aparece al comienzo de esta entrada.


Interesante cuestión este tema de las ternas pitagóricas. ¿Alguno de vosotros sabéis más formas de generar ternas de este tipo?

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La matemática es para…

La matemática es un campo infinito autorrealizador de acciones opcionales, de labores arquitectónicas y de otro tipo; para la explotación, las excursiones heroicas, las atrevidas incursiones y las conjeturas.

Stanislaw Lem

INFINITUM. Citas matemáticas

En concreto para las conjeturas. ¿Verdad?

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Encontremos la función

El problema de esta semana es el siguiente:

Sea f(x) una función real de variable real que satisface las siguientes condiciones:

1.- Si x > y y f(y)-y \ge v \ge f(x)-x, entonces f(z)=v+z, para algún z entre x e y.
2.- La ecuación f(x)=0 tiene al menos una solución real. Además, el conjunto de las soluciones tiene máximo, es decir, hay una solución que es mayor o igual que todas las demás.
3.- f(0)=1
4.- f(1987) \le 1988
5.- f(x)f(y)=f(xf(y)+yf(x)-xy)

Encontrar el valor de f(1987).

Vamos a por él.

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La conjetura de Goldbach
Mar16

La conjetura de Goldbach

Aunque en internet se puede encontrar mucha información sobre este tema y en Gaussianos ha sido nombrado alguna vez, todavía no tenía artículo propio. Hoy es el día.


Introducción

Seguro que a muchos de vosotros os ha ocurrido que ha aparecido en vuestra cabeza alguna posible relación entre números naturales que no sabíais si era cierta o no, si había sido estudiada ya o era totalmente nueva. A veces esto ocurre porque nos paramos a pensar a partir de algún resultado obtenido o al desarrollo de algún problema que consultamos; otras la propiedad surge de pronto, sin previo aviso, sin motivo aparente.

Por desgracia la mayoría de las veces la relación entre números que se nos ocurre está estudiada ya, por lo que se sabe si es cierta o no. Pero hay ocasiones en las que no ocurre ninguna de estas dos cosas, es decir, hemos encontrado una relación entre números que no se ha estudiado con anterioridad, por lo que no se sabe nada sobre la certeza o falsedad de la misma.

Bajo mi punto de vista esa es la forma en la que surgen las conjeturas en matemáticas. Todas ellas son resultados que quien formula cree ciertos, aunque no tiene una demostración formal del mismo. Para algunas se desveló su resultado con cierta facilidad, otras exigieron más esfuerzo y en otros casos todavía no sabemos nada, ni hacia un lado ni hacia el otro. La conjetura de Goldbach es una de ellas.

La conjetura de Goldbach

Comienzo de la carta de Goldbach a EulerEl resultado conocido como conjetura de Goldbach (aunque posiblemente es más acertado denominarla conjetura fuerte de Goldbach) fue propuesto por Christian Goldbach a través de una carta (que podéis ver aquí) enviada a Euler en 1742. Su formulación es la siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Enunciado enormemente sencillo que, como ocurre en muchas otras ocasiones (por ejemplo, el UTF), nos llevan a estudios muy complicados. Algunos ejemplos (se puede repetir el número primo):

  • 4=2+2
  • 6=3+3
  • 10=3+7
  • 20=7+13
  • 30=7+23
  • 100=3+97
  • 1000=3+997
  • 1000000=17+999983

En esta página podemos obtener la representación de un número par como suma de dos números primos simplemente introduciendo el mismo (no he encontrado qué límite de cifras tiene el programa).

El gran matemático suizo (Euler) no consiguió demostrar ni refutar el resultado (por no dedicarle el tiempo suficiente o por no dar con la tecla correcta). Y en la actualidad, casi 300 años después, seguimos igual. Nadie ha dado una demostración formal totalmente concluyente sobre la veracidad del resultado y tampoco se ha encontrado ningún contraejemplo (es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos).

En los últimos tiempos, gracias al desarrollo tecnológico, se ha podido comprobar con la ayuda de los ordenadores que la conjetura es cierta para todo número par menor que 10^{18}. Es decir, se sabe con total seguridad que todo números par menor que un 1 seguido de 18 ceros puede escribirse como suma de dos números primos. Pero ya sabemos que eso no nos sirve como demostración (recuerdo el artículo sobre la conjetura de Polya, donde también se comentaba algo de la conjetura de Goldbach). Utilizando la tecnología podremos continuar con las comprobaciones, aumentaremos la cantidad de números pares comprobados, pero no podremos concluir que el resultado es cierto (no podemos llegar al final de los números). Sí podríamos determinar que la conjetura es falsa si se encontrara un contraejemplo con este método, pero según los expertos es poco probable que este hecho ocurra.

Y es poco probable por una razón muy sencilla: se cree firmemente que la conjetura es cierta. ¿Hay algún argumento que pueda convencernos de ello? Pues sí, uno muy simple: cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas en las que podemos expresarlo como suma de dos números. Por tanto mayor es la probabilidad de que exista una forma de escribirlo en la que los dos números sean primos. No nos sirve de demostración, pero puede servirnos de idea para enfocar nuestros estudios sobre el tema.

Si hemos dicho que sería más acertado llamar conjetura fuerte a este resultado será por algo, ¿no? Pues sí. La razón es que hay otra conjetura de Goldbach, denominada débil, que dice lo siguiente:

Todo número impar mayor que 7 puede escribirse como suma de 3 números primos impares.

Esta conjetura tampoco está resuelta, pero se ha avanzado mucho en su demostración. En la actualidad (hasta donde sé), se ha conseguido demostrar que para todo número impar mayor que 10^{1346} la conjetura es cierta. Por tanto sólo tendríamos que comprobar número a número que todo impar menor que 10^{1346} puede ponerse como suma de 3 números primos impares. El problema es que esa cota todavía es demasiado grande para nuestra tecnología. Tendremos que esperar algún avance de la misma o que se pueda rebajar formalmente ese número.

Para terminar os comento que para darle algo más de interés al tema se sabe que esta conjetura está relacionada en cierta forma tanto con la conjetura de los primos gemelos (aquí podéis consultar un artículo sobre el tema) y la hipótesis de Riemann. No podía ser de otra forma con un resultado como éste.

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Celebrando el día de π (pi) con una aguja y una medusa
Mar14

Celebrando el día de π (pi) con una aguja y una medusa

Como muchos de vosotros sabréis, hoy es el día de \pi (pi). Por si alguien no sabe por qué es así explico la razón:

En el mundo anglosajón las fechas se escriben de esta forma:

Mes/Día

Por tanto hoy, 14 de marzo, sería 3,14, aproximación de \pi a dos decimales.

Otros años (como podréis ver al final del artículo) hemos hablado de páginas relacionadas con \pi, hemos publicado wallpapers, etc. Este año os voy a hablar de un tema que para mí es una de las situaciones más sorprendentes en donde aparece \pi y que todavía no había tocado en Gaussianos: la aguja de Buffon.

La aguja de Buffon

El experimento es bien sencillo y se puede realizar sin ningún problema en casa:

Aguja de BuffonTomemos una aguja de longitud l, un folio y un bolígrafo. Dibujemos en el folio rectas paralelas distancia una longitud l entre ellas. Después lancemos la aguja en el papel un cierto número de veces. En cada lanzamiento la aguja puede cortar una de las líneas o quedar totalmente entre dos de ellas (lo podéis ver en la figura de la derecha). Contemos el número de lanzamientos, N, y el número de veces en las que la aguja corta a alguna de las rectas, A. Multiplicamos N por 2 y dividimos el resultado entre A. Veréis que el resultado es muy cercano a \pi y será tanto más cercano a él cuanto mayor sea el número de lanzamientos.

Esto es lo que demostró Georges Louis Leclerc, conde de Buffon en 1777. El experimento está relacionado con la probabilidad. El enunciado más formal podría ser así:

En la situación anterior, si llamamos S al suceso la aguja corta a una línea, tenemos que:

P(S)=\cfrac{A}{N}=\cfrac{2}{\pi}

Si la aguja es más corta que la distancia entre las líneas, llamémosla D, se puede demostrar que:

\pi=\cfrac{2 \cdot N \cdot L}{A \cdot D}

Si la situación es la contraria es resultado que obtenemos se complica bastante.

Podéis ver un desarrollo matemático de la aguja de Buffon en MathWorld.

El experimento de la aguja de Buffon, por tanto, puede utilizarse para calcular aproximaciones de \pi. El problema que nos encontraríamos radica en que la convergencia del método es bastante lenta. En este enlace tenéis un simulador de java del experimento donde podéis comprobar que para llegar a una aproximación relativamente cercana a \pi hay que realizar muchísimos lanzamientos.

π-cadura

Para completar el artículo os dejo una curiosa foto que me envió Daniel al mail hace ya bastante tiempo y que no recuerdo haber visto en ningún otro sitio. Se trata de una picadura de medusa que tiene una forma muy parecida al número \pi:

Picadura Pi

Como me comentaba Daniel en dicho correo el tema es bastante curioso ya que no está creado a propósito para tener esta forma sino que ha sido la propio naturaleza la que modeló la picadura con esa forma.


Otros días de \pi en Gaussianos:

Y, evidentemente, en Microsiervos también celebran el día de \pi.

Imagen y datos obtenidos de la Wikipedia en español.

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