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Curiosidades sobre los números de Fibonacci en Menéame

Números de FibonacciTanto la sucesión de Fibonacci F_n como el número de oro o número aúreo \phi poseen multitud de propiedades y relaciones. Algunas son relativamente evidentes y otras son bastante curiosas. Os voy a comentar en este artículo algunas con las que me he topado en los últimos días que me parecen interesantes y (en algún caso diría que) sorprendentes.

  • Fórmula de Binet

    La siguiente fórmula, atribuida a Binet aunque parece que De Moivre ya la conocía 100 años antes (ya sabemos que en matemáticas no siempre podemos fiarnos de los nombres) nos dice cómo calcular el n-ésimo número de Fibonacci. Nos la podemos encontrar de varias formas:

    F_n=\cfrac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}} F_n =\cfrac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5} F_n=\cfrac{\varphi^n-(-1/\varphi)^{n}}{\sqrt 5}

    Es sencillo comprobar este hecho por inducción. En este enlace podéis ver una prueba de ello.

    Dado que (1-\phi)^n tiende a {0} cuando n \rightarrow \infty podemos aproximar el número de Fibonacci F_n a través de \textstyle{\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}}. Añadiendo un sumando podemos dar una fórmula exacta más reducida que las anteriores:

    F_n=\bigg \lfloor \cfrac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \cfrac{1}{2} \bigg \rfloor

  • Serie de potencias

    Si tomamos la sucesión de Fibonacci de la siguiente forma:

    F_n= \begin{cases} 0, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ F_{n-1}+F_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}

    los números de Fibonacci son 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots. Tomemos la función f(x) definida como la serie de potencias centrada en {0} cuyos coeficientes son los números de Fibonacci, es decir:

    f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty F_n \, x^n}=0 \, x^0+1 \, x^1+1 \, x^2+2 \, x^3+ \ldots

    Entonces podemos demostrar que la f(x) tiene una expresión bastante sencilla:

    f(x)=\cfrac{x}{1-x-x^2}

  • Comprobar si un número entero positivo es un número de Fibonacci

    Esta es la propiedad que más me sorprendió al verla de las que voy a comentar en esta entrada. Dice lo siguiente:

    Si N es un número entero positivo, N es un número de Fibonacci si y sólo si 5 \cdot N^2+4 ó 5 \cdot N^2-4 es un cuadrado perfecto.

    Como podéis ver la regla es bien sencilla. Veamos algunos ejemplos:

    F_0=0 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 0^2+4=4=2^2
    F_1=1 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 1^2-4=1=1^2
    F_2=1 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 1^2+4=9=3^2
    F_3=2 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 2^2-4=16=4^2
    F_4=3 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 3^2+4=49=7^2
    4 no es un número de Fibonacci porque ni 5 \cdot 4^2-4=76 ni 5 \cdot 4^2+4=84 son cuadrados perfectos.
    F_5=5 es un número de Fibonacci porque 5 \cdot 5^2-4=121=11^2
    6 no es un número de Fibonacci porque ni 5 \cdot 6^2-4=176 ni 5 \cdot 6^2+4=184 son cuadrados perfectos.

    Este dato lo he sacado de esta página, donde además comentan que este hecho fue demostrado por un tal Ira Gessel. He intentado buscar una demostración por internet pero no he encontrado nada concluyente. Partiendo de la fórmula de Binet yo he conseguido (a falta de ordenar mi razonamiento y algún pequeño detalle) demostrar la implicación hacia la derecha, es decir, Si N es un número de Fibonacci entonces 5 \cdot N^2+4 ó 5 \cdot N^2-4 son cuadrados perfectos. La otra no he tenido tiempo de intentarla. A ver si alguien se anima con ello (con las dos implicaciones; si no sale nada ordeno mi demostración y la publico).

  • Relación con los números de Lucas

    La sucesión de Lucas es una sucesión del mismo tipo que la sucesión de Fibonacci, es decir, se define igual, pero cuyos primeros términos son 2 y 1, esto es:

    L_n=\begin{cases} 2, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ L_{n-1}+L_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}

    Su nombre viene de Édouard Lucas, matemático francés que estudió este tipo de sucesiones. Los números de Lucas son los términos de dicha sucesión. Los primeros son:

    2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322, \ldots

    Existe una relación muy estrecha entre la sucesión de Fibonacci y la sucesión de Lucas. De hecho internet está lleno de información sobre el tema. La curiosidad que quiero comentar me ha surgido escribiendo este artículo y no recuerdo haberla visto en ninguna página (si la encontráis por ahí escribid un comentario).

    La cuestión está relacionada con la propiedad anterior. Hemos dicho que N es un número de Fibonacci si 5 \cdot N^2+4 ó 5 \cdot N^2-4 son cuadrados perfectos. Según parece en cada caso uno y sólo uno de esos dos números es un cuadrado perfecto (con excepción de F_1=F_2=1, para los cuales tanto uno como otro cumplen esa propiedad). No tengo demostración de ello pero así lo creo. Pero hay más: cuando n es par el cuadrado perfecto es el que lleva el +4 y cuando n es impar es el que tiene el -4 el que cumple que es un cuadrado perfecto. Lo he comprobado con más números pero no me he podido parar a intentar demostrarlo.

    Y no acaba la cosa aquí. Conforme escribía los ejemplos me he fijado en los cuadrados perfectos que iban apareciendo: 2^2,1^2,3^2,4^2,7^2,11^2,18^2,29^2, \ldots ¿Os suenan? Pues sí, son los cuadrados de los números de Lucas. Al menos eso es lo que parece conforme avanzamos en el cálculo. Si esta propiedad fuera cierta, teniendo en cuenta la relación +4 si n es par y -4 si n es impar, tendríamos que la siguiente igualdad es cierta:

    (L_n)^2=5 \cdot (F_n)^2+4 \cdot (-1)^n

    No creo que haya descubierto nada nuevo, pero no recuerdo haberla visto en ninguna de las fuentes que he consultado. Si alguien tiene información sobre la veracidad o falsedad de la misma que nos lo comunique a través de un comentario.

Como he dicho antes hay otras muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci (y de su relación con los números de Lucas) que serían dignas de mención. De hecho algunas de ellas ya han sido comentadas en Gaussianos. Otras todavía no. Os invito a que participéis en los comentarios con opiniones sobre las tres propiedades que os he presentado (demostrar los detalles que faltan sería interesante) así como con aportes en forma de otras propiedades interesantes sobre estos números.

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