Hace unos días Juan F. me enviaba este problema a través de nuestro formulario de contacto:
¿Hay algùn punto en el interior del cuadrado de lado
que cumpla que la suma de las distancias desde dicho punto a los cuatro vértices sea un número racional?
A ver qué conseguimos sacar sobre esta cuestión.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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La función suma de distancias a los vértices para un punto
es
Toma
, que es continua. Por el teorema de los valores intermedios, 
toma todos los valores entre 
y 
. Con lo cual hay infinitos puntos interiores de la forma 
tales que la suma de distancias es racional.
Uno facil: el triángulo rectangulo interior de catetos 0,6 y 0,8 e hipotenusa 1 (uno de los lados del cuadrado)tiene su vértice interior en un punto que está a 0,6 ó 0,8 de cada vértice del cuadrado (porque genera cuatro triángulos rectángulos semejantes al tomar como hipotenusas cada uno de los lados del cuadrado).
Luis, creo que te equivocas. El punto de coordenadas x=0.48 e y=0.64 forma con los puntos (0,0) y (0,1) un triángulo rectángulo en que la hipotenusa es el lado del cuadrado que va de (0,0) a (0,1).
Distancia((0.48,0.64) a (0,0))=0.8
Distancia((0.48,0.64) a (0,1))=0.6
Hasta aquí todo concuerda con lo que tu dices, pero:
Distancia((0.48,0.64) a (1,1))=raiz(0.4), IRRACIONAL
Distancia((0.48,0.64) a (1,0))=raiz(0.68), IRRACIONAL
Como puedes ver, las dos últimas distancias son irracionales y su suma también lo es.
Además esta partición del cuadrado no genera 4 triángulos rectángulos, sino solo uno, el primero.
Consideremos el interior del cuadrado con la topología habitual. Prácticamente por definición se ve que la distancia entre un punto fijo y uno variable es una función continua del cuadrado en la recta. Por lo tanto la suma de distancias a cuatro puntos también es continua. Como el cuadrado es conexo, la imagen es un conexo de la recta, que o bien es un punto o bien un intervalo. Todo intervalo (sea abierto, cerrado o «semiabierto») contiene puntos racionales, debido a la densidad de Q en R. Basta ver que la función distancia a los cuatro puntos no es constante,… Lee más »
Creo que un problema interesante sería encontrar un punto para el que las distancias a los cuatro vértices sean todas racionales, o demostrar que no se puede.
Podemos hacer esto:
Definamos la Métrica Discreta en ese cuadrado:
Luego, toda distancia a a los vértices es 1 y su suma es un número racional.
por favor que se me lo puedan enviar los cursos realizados para estar informado de mundo matematica y sus materias a fines
Yo he encontrado un punto concreto en el cual se cumple que la suma de las distancias es, no sólo racional, sino entera. Para x = y = 0.24634703191136 Se cumple que la suma de las distancias es «exactamente» igual a 3. Para quien esté interesado en el valor exacto, decir que es una solución de la ecuación de segundo grado: Donde es: La otra solución de la ecuación también es válida, dando lugar a otro punto. Si se toma uno de los valores para la x y el otro para la y, salen otro par de puntos (lo que… Lee más »
Me faltó completar mi respuesta:
Están interesados en un punto en el cual la suma de las distancia a los cuatro vertices sea un numero racional,pero no han definido la métrica a usar, luego, con la metrica discreta que he propuesto (si quieren verifican que es metrica) se cumple que cualquier punto cumple la condicion.
No entiendo la t de Epi
Desde la fórmula para las distancias que ha puesto epi, haciendo x=y llegamos a:
Igualando ahora a un p/q racional:
$latex \sqrt{2x^2-2x+1} = \displaystyle\frac{p/q -\sqrt{2}}{2} \\
2x^2-2x+1 = \left(\displaystyle\frac{p/q -\sqrt{2}}{2}\right)^2$
Resolviendo esta ecuación nos sale como solución positiva:
Por lo que el punto (x,x) está a esa distancia de los vértices, siempre que hayamos tomado p,q dentro de los posibles. La acotación no la he comprobado, pero creo que es hasta el
Es lo mismo que ha puesto Sive, tomando en ese caso p/q=3
Por si se tiene aún interés en esta cuestión: ¿Hay algún punto con ambas coordenadas racionales cuya suma de distancias sea racional?
La función restringida a
toma todos los valores entre 
y 
. Tiene que haber algún 
tal que 
por lo que ha dicho epi.
Igual me pongo a hacer cuentas mañana, pero ahora a las 2 (perdón,
, que queda más bonito) de la mañana es un pelín tarde… o, mejor dicho, un pelín pronto.
El
tiene la ventaja de que las cuentas se simplifican bastante, ya que sólo quedan dos raíces cuadradas en la expresión:
En el problema de los 3 nueves, no entiendo la solución de los números 44 y 47, las cuales empiezan por «tr» que no viene en las normas de aceptación.
44= tr (9^sqrt (sqrt (9)) – .9)
47= tr (9^sqrt (sqrt (9)) + sqrt (9))
La verdad es que no entiendo la solución. Deberé estudiar más.
Si alguien me lo puede esplicar se lo agredecería.
otro: Precisamente elegí hacer x=y porque así en el desarrollo me aparecía una sóla raiz, y no dos, como en y=1/2.
Una sola raiz con incógnitas dentro, quiero decir.
Fernando: Habría sido bueno que indicaras que te referías a otro hilo, ya cerrado. Este:
https://gaussianos.com/el-problema-de-los-tres-nueves/
Si lees los comentarios, descubrirás que tr(x) equivale a quitar los decimales de x. Que yo sepa, es una notación que inventaron los participantes sobre la marcha, nada más.
[…] unas semanas en Gaussianos (otro blog de matemáticas) se presentó el siguiente problema ¿Hay algùn punto en el interior […]