Segundo problema de la Olimpiada Matemática de Galicia y de la de Asturias 2013, y, en general, supongo que de todas las Olimpiadas Matemáticas celebradas en España el pasado sábado 12 de enero. El enunciado es el siguiente:
Prueba que las sumas de las primeras, segundas y terceras potencias de las raíces del polinomio
valen lo mismo.
A por él.
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Este es facilito con las ecuaciones de cardano-vietta. Para empezar las primeras potencias suman -2, elevamos al cuadrado y tenemos que 4 es igual a las potencias de 2 más los productos de 2 orden de las potencias, que valen 3 (por las ecuaciones de cardano-vietta otra vez) así que simplificando también la suma de las segundas también vale -2. Las terceras requieren un poco más de cálculo. Multiplicando las sumas de las segundas potencias por la suma de las primeras potencias (-2*-2) llegamos a una expresión con las terceras potencias y términos de la forma a*b*(a+b). Pues bien, cómo a+b=-2-c sustituimos y simplificando obtenemos el producto de todas las raíces (que vale -4), las sumas de los productos de segundo orden (que vale 3) y las terceras potencias… simplificamos y listo
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Como bien se indica arriba por Cardano-Vietta se obtiene:
x1+x2+x3=-2 (1)
x1x2+x2x3+x1x3=3 (2)
x1x2x3=-4 (3)
Dividiendo (1)/(3) se obtiene: 1/(x2x3)+1/(x1x3)+1/(x1x2)=1/2;
Dividiendo (2)/(3) se tiene que: 1/x1+1/x2+1/x3=-3/4
(Esto lo vamos a utilizar más adelante) (**)
Como x1,x2,x3 son raices de p(x) se tiene: xi^3+2xi^2+3xi+4=0 con i=1,2 y 3;
Sumando las 3 ecuaciones y agrupando términos de igual exponente en x se tiene:
x1^3+x2^3+x3^3=-2(x1^2+x2^2+x3^2)-3(x1+x2+x3)-12
– Por (1) sabemos que (x1+x2+x3)=-2
Se observa que de entrada si los 3 paréntesis valieran -2 se verificaría la ecuación y por tanto se cumpliría el enunciado, pero se está suponiendo que los paréntesis son iguales, vamos a ver cuanto vale la suma del cuadrado de las raíces.
– Para ver cuanto vale la suma de los cuadrados de las raíces hacemos lo siguiente:
(x1^2+x2^2+x3^2)/-4=x1/(x2x3)+x2/(x1x3)+x3/(x1x2)=
y despejando de (1) x1, x2 y x3 de los numeradores:
= -(2+x2+x3)/x2x3-(2+x1+x3)/x1x3-(2+x1+x2)/x1x2 =
= -2(1/(x2x3)+1/(x1x3)+1/(x1x2))-2(1/x1+1/x2+1/x3) =
Estas expresiones nos aparecen de las relaciones de Cardano arriba (**) y sabemos cuanto valen:
= -1(1/2)-2(-3/4)=-1+3/2=1/2
De modo que: (x1^2+x2^2+x3^2)=1/2*(-4)=-2
Despejando finalmente de x1^3+x2^3+x3^3=-2(x1^2+x2^2+x3^2)-3(x1+x2+x3)-12 obtenemos que
x1^3+x2^3+x3^3 = 4+6-12=4-6=-2
De este modo queda demostrado.
Perdonad por lo engorroso, esto en un folio es más sencillo pero no controlo todavía LaTeX.
Un saludo.
Hola, yo tengo otra manera de probar lo mismo.
Sean a, b, c y las 3 raíces. Sabemos que nuetro polinomio se puede escribir como
que desarrollando nos queda
Igualando los coeficientes que acabamos de obtener con los del polinomio original resulta
Así que ya tenemos las primeras potencias:
Para las segundas, sabemos que
entonces
Las potencias terceras es cómo lo han hecho las 2 personas anteriores:
A mi esta forma me parece más sencilla, pero supongo que es porque es la primera que se me ha ocurrido ;D
Un saludo
Esto puede ser resuelto muy facilmente con un teorema que hallé y envié a esa web, espero que podamos verlo junto a ese problema para comprobar lo que digo 🙂
Gracias Colegas por compartir informacion excelente el metodo de aplicacion.
Saludos
resolviendo.co
Si
, 
y 
son las raíces, de la ecuación del polinomio tenemos:
Elevando la tercera ecuación al cuadrado obtenemos:
.
Y ahora la elevamos al cubo:
.
De aquí deducimos
Consecuentemente,
.
http://www.facebook.com/pages/Los-amigos-de-Moriarty/280782185389006# podrás resolverlo?
Yo este prefiero hacerlo así:
Si a, b y c son las raíces, se tiene que p(a) = p(b) = p(c) = 0 y
a^3 = – 2a^2 – 3a – 4
b^3 = – 2b^2 – 3b – 4
c^3 = – 2c^2 – 3c – 4
multiplicando por a^k, b^k y c^k respectivamente,
a^(k+3) = – 2a^(k+2) – 3a^(k+1) – 4a^k
b^(k+3) = – 2b^(k+2) – 3b^(k+1) – 4b^k
c^(k+3) = – 2c^(k+2) – 3c^(k+1) – 4c^k
Definimos entonces,
S(k) = a^k + b^4 + c^4
Sumando las tres igualdades anteriores, tenemos que
S(k+3) = -2S(k+2) – 3S(k+1) – 4S(k)
Si conocemos tres valores consecutivos de S(k), ya los conoceremos todos. De las relaciones de Cardano-vieta directamente, S(1) = – 2. Por otra parte, S(0) = a^0 + b^0 + c^3 = 3. Y
S(-1) = 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ab)/(abc) = 3/(-4) = -3/4
También directamente de cardano-Vieta. Entonces,
S(2) = -2S(1) – 3S(0) – 4S(-1) = -2(-2) – 3*3 – 4(-3/4) = -2
S(3) = -2S(2) – 3S(1) – 4S(0) = -2(-2) – 3(-2) – 4*3 = -2
POR FAVORRRRRRRRRRRRRRR me ayudar con este ejercicio por faaaaaaa
sea P(X)= ax*3+bx*2+cx, hallar valores de a, b, y c para que dos de sus raices sean x=2 y x=-3 y ¿cual es su tercer raiz?