Vamos con el problema semanal. Ahí va:
Encuentra todas las funciones
que cumplen las dos condiciones siguientes:
, para todo
.
cuando
.
Que se os dé bien.
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¿En
entra el 0?
La condición dice que f(x) tiende a cero cuando x tiende a infinito. Por lo tanto estaría bien decir que va de IR+ a IR+. Saludos
Así a priori se me han ocurrido este par de cosas. Sustituyendo en se ve que es un punto fijo de f (pues ). A partir de ahí con tenemos . Observamos que f compuesto con f da una semirrecta de pendiente positiva (pues era mayor que cero y también lo será ). A partir de ahí, f compuesto con f es biyectiva y entonces evidentemente f es biyectiva. Un par de soluciones trivial a ojo (y quizá las únicas, no sé) son . A mí me tiene pinta de que ahora hay que explotar la biyectividad (algo hice, pero… Lee más »
Me olvidé que con la condición del límite la función
queda descartada y solo queda 
. Y también es fácil de ver que el límite de la función cuando 
tiende a 
es infinito.
Información Bitacoras.com
Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema semanal. Ahí va: Encuentra todas las funciones que cumplen las dos condiciones siguientes: , para todo . cuando . Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este ar…
Allá vamos.
Como
, entonces,
, de donde se deduce que 
en el conjunto 
.
Ahora bien. Supongamos que
; entonces existe 
tal que 
.
Sea
y tomemos 
. Es obvio, pues que 
, por lo que 
y tenemos, pues, que 
en todo ${\mathbb R}^+$.
Y ya puestos, involuciones (que así se llaman a las funciones tales que
) hay muchas.
Uno podría pensar en F(x)=x y F(x)=1/x.
, la recta 
corta a la curva 
en 2 puntos (pongamos 
.
Pero por ejemplo, si
Entonces la función
si 
, 
si ![x\in [x_a,1/x_a]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cin+%5Bx_a%2C1%2Fx_a%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x\in [x_a,1/x_a]")
y 
si 
cumple lo exigido y, además, es continua.
por cierto, si
, entonces $\ltex f\equiv 0$ también sería solución a nuestro problema inicial (aunque no fuese involución).
Asumiendo que es derivable, se puede ver que es la única posibilidad así: Como , entonces , luego , y esto para todo $x>0$. De manera que . Así que el recorrido de es , y si es monótona será decreciente. Para ver que tiene que ser monótona derivo respecto de para ver si hay tal que . Tenemos que . De manera que para que debería ser para todo , lo que no puede ser. De manera que es monótona decreciente y va desde en a en . Entonces sólo puede tener un punto fijo, puesto que su gráfica… Lee más »
Un par de cosas:
Tito Eliatron, así a bote pronto parece que el segundo tramo de la función que has dado no cumple la segunda condición, ¿no?
Suponía que no valía asumir derivabilidad. Pero bueno, es una aproximación al problema.
Pero además estaba mal porque el punto fijo es f(1). Así que nada.
De todas formas sería cierto lo que decía porque, de existir un único punto fijo (que con la derivabilidad sale fácil aunque sea «trampa») entonces, como
es fijo, necesariamente 
, donde 
corresponde a ese único punto fijo. Pero entonces el hecho de que 
conduce a 
luego 
.
Así que si
es derivable, 
. Pero vale. Hay que hacerlo sin derivadas.
Dado punto fijo
, tomando en la condición 1 
obtenemos 
, continuando por inducción tenemos que 
es un punto fijo 
.
De la misma forma, como
haciendo 
obtenemos 
y de nuevo por inducción 
.
Si alguno de los punto fijos
no es igual a uno, de la observación anterior se obtienen sucesiones que van a infinito, pero sus imágenes no van hacia cero. Así que, todos son iguales a 1 y 
.
En primer lugar tenemos que
por lo tanto
El primer caso no se puede cumplir la primera condición, asi que solo en el segundo y tercer caso es verdad.
Karl, veo como justificas que el único punto fijo es
, pero no entiendo como concluyes luego que la única función posible es 
.
Lo que pone Ángel lo entiendo menos aún…
Daniel, para todo
tomando 
se ve que 
es punto fijo, luego 
y despejando 
Ya comprendí. Me armé un lío porque no tenía claro lo que comprobabas que era punto fijo (que era
para cualquier 
real) y claro obtienes un par de sucesiones una inversa de la otra de puntos fijos y la única forma de que ninguna se vaya a infinito es que sean 1.
La verdad es que es muy original el planteamiento. Muy buena solución.
Creo que he llegado tarde, pero de todas formas escribo mi solución (sin derivadas). 1. Tenemos por hipótesis que . Además,. como antes decía, (porque , y por la segunda condición tenemos que . 2. Además, podemos comprobar que es punto fijo de f, n natural . En efecto es fijo de si más que poner . Luego también es fijo con , pero . Y por inducción, con n natural es fijo. 3. Necesariamente para todo x. En efecto, supongamos que , Entonces tendríamos que es fijo, lo que implica que , lo que contradice 1. Análogamente implica f… Lee más »
En realidad en lo anterior mío sería
punto fijo, pero por lo demás correcto. Aunque se me adelantó Karl. Congratulations 🙂
Estoy con Tito Eliatron en el sentido de que es una función involutiva, y hay muchas, no solo 1/x. Esta es mi consideración: Sea un punto a>1. Consideramos que a partir de aqui hasta +infinito, la función es 1/x, pues cumple con lo requerido. Estoy viendo la posiblidad de que sea una exponencial negativa, estilo C*e(-D*x) que tambien tiende a 0 si x tiende a +infinito. No obstante desde 1 hasta a puede ser una sucesión de segmentos tales que: f(1) = 1 f(a) > f(b) si y solo si a > b para todo a,b que esta en (1,… Lee más »
Me equivoque, sería f(b) > f(c) si y solo si b < c para todo b, c que esta en (1, a]
Además que cumpla que f(a-) = f(a+) = f(a). Continua en a, pero no tiene por que ser derivable
Lo mismo para f(1) = f(1-) = f(1+)
El 1 claramente esta incluido, sería f(b) > f(c) si y solo si b < c para todo b, c que esta en [1, a]. Erratas. 😀
Y ya que estamos, en vez de segmentos pueden ser trozos de funciones monotonas decrecientes cuyos extremos sean continuos pero no tienen por que ser derivables.
Tengo que decir que en dicho intervalo [1,a] la funcion siempre será mayor que f(a)>0
He llegado a la conclusión de esto pensando en que un ordenador no traza la función 1/x, sino una sucesión de splines. Por tanto pienso que puede haber funciones a trozos involutivas, derivables en todos los puntos o no derivables en un conjunto finito de puntos. El enunciado condiciona solo en continuidad pues nos da un límite cuando x tiende a infinito, pero no en derivabilidad. 😀
GAUSSIANOS:
¿Qué problema hay con mi función definida a trozos? Quizás una imagen valga más que mil palabras:
https://www.flickr.com/photos/eliatron/15252849344/
Creo que la función definida a trozos no cumple la primera condición, si no me equivoco (que me equivoco casi siempre).
Tomando, por ejemplo,
tenemos que, de cumplirse la primera condición
. Pero, por otra parte 
, que no es lo mismo.
Mi anterior comentario corrigiéndome a mí mismo está mal, por cierto.
Este es mi concepto de función, con 8 trozos. Podría tener un numero par de trozos. El tramo 0,1 es un reflejo en la recta y=x del tramo 1,+infinito
https://www.flickr.com/photos/129602229@N08/15255708263/
Creo que el planteamiento de Tito Eliatron es correcto.
Pues yo veo la prueba de Karl clara
https://gaussianos.com/encuentra-todas-las-funciones-2/#comment-558204
Y la mía también, salvo porque puse
cuando debería haber puesto
(pero la conclusión que sacaba era correcta: 
).
https://gaussianos.com/encuentra-todas-las-funciones-2/#comment-558936
Revisandolo mejor, el planteamiento de Tito Eliatron solo se cumple en determinados casos, así que mi solución que es más general también.
Pero… la prueba de Karl está clara ¿no? La única solución es 1/x.
Creo que las soluciones a trozos no valen porque no cumplen la condición 1, la cual contiene más información además de la simetría respecto a la recta y=x. Karl y Miguel dieron en el clavo.