Como ya os he comentado en alguna ocasión, de vez en cuando me gusta hablar sobre algunos errores importantes que de forma recurrente cometen los chicos a los que les doy clase. Hoy vamos a ver uno de ellos relacionado con el coeficiente líder.

LíderGeneralmente el líder es el primero, el que va delante, el que marca tendencia. En relación con los polinomios, el coeficiente líder es el coeficiente del término de mayor grado del mismo, y, por tanto, es el primero, el que va delante y el que marca tendencia. Por poner un par de ejemplos, el coeficiente líder de este polinomio

7x^3+12x^2-3x+4

es 7, y el de éste

-5x^5+6x^3-2x+9

es -5, mientras que el de éste

x^4+11x^3+4x^2-5x+2

es 1.

Dejemos por un rato de lado al coeficiente líder para hablar sobre factorización de polinomios (descomposición de polinomios como producto de sus factores). En muchas situaciones es conveniente y necesario factorizar algún polinomio, por lo que es fundamental tener claro cómo hacerlo. No nos vamos a meter a fondo en ello, simplemente nos vamos a quedar con que un polinomio de grado 1 ya no puedes descomponerse más, uno de grado 2 puede descomponerse o no según lo que nos diga la famosa fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de grado 2 y para intentar descomponer uno de grado 3 o superior se suele usar la conocida como regla de Ruffini (que aunque no es «completa» sí que es útil es los casos que aparecen más habitualmente).

Vamos a descomponer uno de grado 2, pongamos x^2+3x-10. Para ello lo igualamos a cero y usamos nuestra fórmula:

\begin{matrix} x^2+3x-10=0 \\ \\ x=\cfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}=\cfrac{-3 \pm 7}{2} \end{matrix}

que nos da las soluciones x=2 y x=-5, de donde obtenemos los factores x-2 y x-(-5)=x+5. Por tanto, nuestro polinomio anterior es igual al producto de estos dos factores, es decir:

x^2+3x-10=(x-2) \cdot (x+5)

Podéis comprobar que efectivamente es así.

Probemos con otro. Esta vez será 3x^2+15x+12. Igual que antes, igualamos a cero y usamos la fórmula:

\begin{matrix} 3x^2+15x+12=0 \\ \\ x=\cfrac{-15 \pm \sqrt{15^2-4\cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}=\cfrac{-15 \pm 9}{6} \end{matrix}

que da como soluciones x=-1 y x=-4, y por tanto los factores x-(-1)=x+1 y x-(-4)=x+4. Entonces el polinomio que hemos descompuesto sería igual, como antes, al producto de estos dos factores, esto es:

3x^2+15x+12=(x+1) \cdot (x+4)

…algo falla, ¿verdad? Evidentemente. Si realizamos el producto de esos dos factores obtenemos como resultado el polinomio x^2+5x+4, que no es el polinomio inicial. Ahora, un poquito de vista nos lleva a darnos cuenta de que si multiplicamos todos los coeficientes por 3 sí que obtenemos el polinomio inicial. Pues precisamente ésa es la clave, al expresar un polinomio como producto de sus factores hay que multiplicar dicho producto de factores por el coeficiente líder del polinomio para que la factorización sea correcta. ¿Por qué en el ejemplo anterior no hizo falta hacerlo? Muy sencillo: porque el coeficiente líder de ese polinomio era 1, por lo que no es necesario realizar dicha multiplicación.

Este detalle tan simple se le escapa a prácticamente todos los chicos que han pasado por mis manos. Sí, a casi todos: a los más «justitos» y a los más «avispados», e independientemente de la complejidad de sus estudios. ¿La razón? Pues, a riesgo de equivocarme, pienso que es que (casi) siempre se les plantean ejercicios en los que el coeficiente líder de los polinomios a factorizar es 1, por lo que no tienen que preocuparse de este «detalle». Y pienso que la razón es ésta después de ver hojas de ejercicios desde hace unos cuantos años pertenecientes a todos los niveles. En ellas he visto que, generalmente, en los inicios de la factorización de polinomios en alguna ocasión aparece alguno con coeficiente líder distinto de 1, pero conforme se va avanzando de nivel estos ejemplos desaparecen, pasando a tener todos coeficiente 1, tanto en el instituto como en la universidad.

Esto supone que hasta para los más aplicados este asunto parezca completamente nuevo cuando se les presenta en un nivel relativamente avanzado, digamos 1º de Grado. Tendríais que ver la cara de la mayoría cuando ven que al hacer el producto de los factores no les queda el polinomio inicial, y que multiplicando el resultado que obtienen por el coeficiente líder se arregla todo. Las caras de sorpresa, como si estuvieran viendo a un mago en el momento álgido del truco, suelen poblar el aula en ese momento. Y todo esto si llegan a toparse con algún polinomio así y algún profesor (como yo) que les explique la situación, porque si no lo que nos encontramos son errores.

Pienso que esto no debería ser así, y que se puede solucionar mucho antes variando el tipo de ejercicios propuestos en todos los niveles. No podemos sacrificar el aprendizaje por la comodidad.

Me gustaría que los profesores que suelen visitar el blog nos dejen su experiencia y su opinión sobre este tema en los comentarios. Y que los alumnos nos cuenten cómo han visto este asunto en clase. Y bueno, que cualquiera que quiera opinar al respecto lo haga, faltaría más.


Imagen tomada de aquí.

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